方程思想在初中幾何中的運(yùn)用

馮東梅

【摘要】在初中數(shù)學(xué)的眾多知識點(diǎn)中都體現(xiàn)了方程思想，方程思想其實(shí)是一種代數(shù)問題，有一些初中幾何問題表面上看起來好像與方程思想毫無關(guān)系，但是解題時卻發(fā)現(xiàn)離不開方程思想的輔助.因此，在解決初中數(shù)學(xué)幾何問題時要善于挖掘問題中的潛在條件，利用條件解決數(shù)學(xué)疑難問題，最后在解決問題時要注意方程思想的運(yùn)用.

【關(guān)鍵詞】方程思想;幾何;運(yùn)用

一、方程思想的內(nèi)涵

方程思想是指在解決數(shù)學(xué)問題的時候，通過尋找問題中的未知數(shù)，將未知數(shù)與已知條件相結(jié)合建立一種等量關(guān)系，然后通過求解出方程中的解，最后順利解決數(shù)學(xué)問題的一種思想.

二、初中幾何

幾何主要研究空間中的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)，數(shù)學(xué)研究中主要研究數(shù)論、代數(shù)等等，它也是數(shù)學(xué)研究中最基本的研究內(nèi)容之一，與代數(shù)和數(shù)論在數(shù)學(xué)研究中都擁有著重要的地位.初中的幾何知識點(diǎn)主要包括解三角形、四邊形與圓.

三、方程思想在初中幾何中的實(shí)際運(yùn)用

（一）平面幾何建立方程求解——折疊問題

以折疊問題為例有線段的折疊、三角形的折疊、四邊形的折疊，還有結(jié)合平面直角坐標(biāo)系的折疊等問題均廣泛運(yùn)用方程思想求解.

以四邊形折疊為例.

例1 （1）把一張矩形紙片（矩形ABCD）按如圖1所示的方式折疊，使頂點(diǎn)B和點(diǎn)D重合，折痕為EF.若AB=4 cm，BC=8 cm，則DF=cm，重疊部分△DEF的面積是cm2.

解 設(shè)DF=x cm，則CF=（8-x） cm，由勾股定理得：CD2+CF2=DF2，即42+（8-x）2=x2，解得x=5，進(jìn)而即可求解重疊部分△DEF的面積;

此類題目常用勾股定理作為等量關(guān)系列方程求解某未知線段長，進(jìn)而求解周長、面積等問題，可以說方程思想的運(yùn)用是解決問題的關(guān)鍵.此題目還可以進(jìn)行變式訓(xùn)練，比如，與函數(shù)結(jié)合：（2）若以B點(diǎn)為原點(diǎn)，直線BC為x軸，直線AB為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，求直線DF的解析式，我們可以借助上題已經(jīng)用方程求得的線段長轉(zhuǎn)化成求點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法列二元一次方程組求得解析式;此題還可以再進(jìn)一步進(jìn)行知識延伸，又比如，（3）在x軸上找一點(diǎn)P，使得△PDF為等腰三角形.學(xué)生可以利用分類思想將問題歸為三種情況，a.PD=PF;b.DP=DF;c.FD=FP，設(shè)P（x，0），可利用上述的等量關(guān)系以及兩點(diǎn)間距離公式列方程，求解出所求點(diǎn)P的坐標(biāo).

（二）平面幾何建立方程求解——函數(shù)與幾何圖形中的相關(guān)問題

這類問題常見的類型有：函數(shù)與三角形、函數(shù)與四邊形、函數(shù)與圓等，均可運(yùn)用到方程思想解決.以幾何圖形與二次函數(shù)相結(jié)合的題目為例.

例2 如圖2所示，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是直角梯形，AB∥OC，OA=5，AB=10，OC=12，拋物線y=ax2+bx經(jīng)過點(diǎn)B，C.

（1）求拋物線的解析式;

（2）一動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC以每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，同時動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CO以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)O運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)C時，兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，當(dāng)t為何值時，△PQC是直角三角形？

解 （1）∵OA=5，AB=10，OC=12，

∴點(diǎn)B（10，5），C（12，0），

∴100a+10b=5，144a+12b=0， 解得a=-1 4，b=3，

∴拋物線的解析式為y=-1 4x2+3x.

（2）根據(jù)勾股定理，AC=OA2+OC2=52+122=13.

∵點(diǎn)P沿AC以每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，點(diǎn)Q沿CO以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)O運(yùn)動，∴點(diǎn)P運(yùn)動的時間為：13÷2=6.5（秒）.

則CP=AC-AP=13-2t，CQ=t，

∵∠ACO≠90°，∴分∠PQC=90°和∠CPQ=90°兩種情況討論：

① 當(dāng)∠PQC=90°時，cos∠ACO=CQ CP=OC AC，即t 13-2t=12 13，解得t=156 37;

② 當(dāng)∠CPQ=90°時，cos∠ACO=CP CQ=OC AC，即13-2t t=12 13，解得t=169 38.

綜上所述，t=156 37或169 38時，△PQC是直角三角形.

此題就利用了二元一次方程組求二次函數(shù)解析式，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列分式方程進(jìn)而求解直角三角形存在性問題、動點(diǎn)問題等.這道數(shù)學(xué)題的設(shè)計將初中幾何相似問題與函數(shù)以及方程思想進(jìn)行有機(jī)地結(jié)合，讓學(xué)生在學(xué)會方程思想的同時也鞏固了函數(shù)的知識點(diǎn)，有利于學(xué)生對知識的鞏固也有利于提高學(xué)生的邏輯思維能力和知識掌握能力.

四、結(jié) 語

方程思想貫穿于整個初中數(shù)學(xué)的始終，初中方程知識點(diǎn)主要由一元一次方程，二元一次方程（組）、分式方程以及一元二次方程等等，我們有必要去挖掘初中幾何中所蘊(yùn)含的方程思想，靈活地運(yùn)用方程思想去解決數(shù)學(xué)問題，掌握方程思想這種思想方法對我們分析與解決問題有很重要的實(shí)際意義.

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