利用函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)法求解數(shù)列的通項(xiàng)公式

盧良琦

【摘要】利用函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)法求解數(shù)列的通項(xiàng)公式是高中數(shù)學(xué)常用的方法之一，該方法適用于數(shù)列中后一項(xiàng)與前一項(xiàng)存在關(guān)于項(xiàng)數(shù)的數(shù)量關(guān)系再求通項(xiàng)公式的情形，本文證明了在含有后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的單項(xiàng)式中且兩者在次數(shù)相同（單調(diào)性函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)問題）情況下的三種情形并給出了規(guī)律性的結(jié)論.把后一項(xiàng)與前一項(xiàng)都看成同一未知數(shù)再轉(zhuǎn)化成一元二次方程后，當(dāng)Δ>0，通項(xiàng)公式既可能為常數(shù)列，也可能為分子與分母都有指數(shù)形式的分式，當(dāng)Δ=0，通項(xiàng)公式既可能在某項(xiàng)中不存在，也可能是常數(shù)列，還可能是基于反比例函數(shù)的某種平移的結(jié)果，當(dāng)Δ<0，通項(xiàng)公式既可能為周期數(shù)列，也可能是相對(duì)其他情況下最復(fù)雜的數(shù)列.通項(xiàng)公式在形式上的不同不僅取決于Δ，還取決于首項(xiàng)與一元二次方程的根的大小關(guān)系或一元二次方程的兩根的乘積是否為一.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn);通項(xiàng)公式;周期數(shù)列

結(jié)論一：

當(dāng)Δ>0，通項(xiàng)公式會(huì)因首項(xiàng)與一元二次方程的兩個(gè)根是否相同而有形式的明顯不同！

當(dāng)首項(xiàng)與一元二次方程的兩個(gè)根相等，通項(xiàng)公式全是與首項(xiàng)相等的常數(shù)列.

當(dāng)首項(xiàng)與一元二次方程的兩個(gè)根不相等，通項(xiàng)公式是分子與分母都為指數(shù)函數(shù)的分式，且后一項(xiàng)的分母是前一項(xiàng)的分子（不通分的情況下）.

結(jié)論二：

當(dāng)Δ=0，通項(xiàng)公式會(huì)因首項(xiàng)與一元二次方程唯一的根在大小的較量上不光有形式上的不同，還有不存在的可能！

當(dāng)首項(xiàng)小于一元二次方程的根，通項(xiàng)公式在某項(xiàng)中不存在！

當(dāng)首項(xiàng)等于一元二次方程的根，通項(xiàng)公式全是與首項(xiàng)相等的常數(shù)列.

當(dāng)首項(xiàng)大于一元二次方程的根，通項(xiàng)公式是通過反比例函數(shù)偏移后的函數(shù)，且后一項(xiàng)的分母是前一項(xiàng)的分子.

結(jié)論三：

當(dāng)Δ<0，通項(xiàng)公式會(huì)因兩根乘積是否為一有明顯形式上的不同！

如果兩根像兩個(gè)互為倒數(shù)的實(shí)數(shù)一樣的乘積是一，不區(qū)分因比較首項(xiàng)與一元二次方程的根的大小的情況，通項(xiàng)公式是分子與分母都為三角函數(shù)的分式且是最小周期為正整數(shù)的周期函數(shù)！

如果兩根乘積不是一，規(guī)律在三種結(jié)論中最不明顯.

【參考文獻(xiàn)】

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