立足“章首語”，教好“章引言課”

立足“章首語”，教好“章引言課”——以蘇教版高中數(shù)學(xué)新教材為例石志群（江蘇省泰州市教研室，225300）

摘要：蘇教版高中數(shù)學(xué)新教材的章首語，是基于“章引言課”的基本構(gòu)想（目標(biāo)）設(shè)計(jì)的。由此出發(fā)，對章引言課的教學(xué)建議有：發(fā)現(xiàn)解決章首語提出的初始問題的問題鏈，得到本章內(nèi)容框架;多角度認(rèn)識章首語給出的基礎(chǔ)結(jié)論，形成本章知識系統(tǒng);聯(lián)想章首語給出的類比對象，設(shè)計(jì)本章內(nèi)容架構(gòu);運(yùn)用章首語提出的思想方法，確定本章研究框架。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);章引言課;教材;章首語

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，往往是一節(jié)課一個(gè)情境，使得數(shù)學(xué)內(nèi)容之間缺少聯(lián)系。比如，教學(xué)“三角函數(shù)”一章（主題或單元），由跳水中的旋轉(zhuǎn)動(dòng)作、鐘表的校正等引入任意角，由角度制引入弧度制，由銳角三角函數(shù)引入任意角的三角函數(shù)……各小節(jié)（課時(shí)）的內(nèi)容孤立地存在。其結(jié)果是學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)散點(diǎn)化，數(shù)學(xué)能力得不到有效提升，數(shù)學(xué)觀念難以系統(tǒng)形成。

“章引言課”（基于主題或單元教學(xué)整體設(shè)計(jì)理念的教材中一章的起始課）的基本構(gòu)想（目標(biāo)）是：讓學(xué)生在一章內(nèi)容的學(xué)習(xí)之初，就能了解本章內(nèi)容的背景，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的過程，明確本章內(nèi)容的邏輯起點(diǎn)。在此基礎(chǔ)上，經(jīng)歷概略性問題的解決過程，建構(gòu)本章內(nèi)容的整體研究背景、研究方法、知識體系以及價(jià)值觀念、思想方法，從而促使學(xué)生全面、系統(tǒng)地認(rèn)識本章內(nèi)容。

蘇教版高中數(shù)學(xué)新教材（2019年版）的章首語正是基于這樣的構(gòu)想設(shè)計(jì)的。引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真研讀章首語，從整體視角認(rèn)識一章的知識結(jié)構(gòu)，為本章的學(xué)習(xí)提供恰當(dāng)?shù)摹跋刃薪M織者”，是非常有必要的。本文由此出發(fā)談?wù)剬φ乱哉n的教學(xué)建議，以供參考。

一、發(fā)現(xiàn)解決章首語提出的初始問題的問題鏈，得到本章內(nèi)容框架

有些章首語基于一定的現(xiàn)實(shí)背景，提出了本章初始的“大問題”（主問題）。通過對大問題的概略性研究，可以發(fā)現(xiàn)解決大問題的系列子問題（具有邏輯關(guān)系的問題鏈），由此可以得到本章的內(nèi)容框架（研究的核心內(nèi)容、目標(biāo)定位）。這就是章引言課的基本形態(tài)。

例如，必修第二冊第9章《平面向量》的章首語為：

冬天到了，大雪過后，白雪皚皚。如果你穿上滑雪板，站在被雪覆蓋的、平滑的斜坡上（如圖1），你會(huì)感到有一個(gè)力拉著你向下滑行。而且，斜坡越陡，這個(gè)力就越大，下滑的加速度也越大。

同樣地，把木塊放置在光滑的斜面上（如圖2），木塊將向下滑動(dòng)。斜面的坡度越大，木塊下滑的加速度也越大。

這些運(yùn)動(dòng)中含有哪些物理量？

用怎樣的數(shù)學(xué)模型刻畫這些物理量？

怎樣運(yùn)用這樣的數(shù)學(xué)模型去解決問題？

通過對滑雪原型的物理模型（斜面上放置的木塊）的受力、運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分析，可以得到力、加速度、速度、位移等物理量。通過對這些物理量的數(shù)學(xué)抽象，可以引出本章第1節(jié)內(nèi)容——“向量概念”。

類比數(shù)量，可以確定第1節(jié)研究的主要內(nèi)容：什么叫向量（概念）、相等向量（同一性標(biāo)準(zhǔn)）？向量之間有什么關(guān)系？……

數(shù)學(xué)對象，尤其是“量”（如數(shù)量），都能進(jìn)行運(yùn)算。而物理中的力有合力、位移有合位移……也就是說，向量也能進(jìn)行運(yùn)算。由此引出本章第2節(jié)內(nèi)容——“向量運(yùn)算”。

類比數(shù)量，以力、位移等為原型，從合力、合位移等可以概括出向量的加法、減法運(yùn)算;由加數(shù)相同時(shí)的特殊加法想到相等的向量的加法，可以得到向量的“乘法”運(yùn)算（數(shù)與向量相乘）;由數(shù)與數(shù)相乘想到向量與向量相乘，那么可以找到怎樣的物理原型？由此可以建立怎樣的向量乘法運(yùn)算？

向量既有大小，又有方向，說明其除了幾何特征，還有代數(shù)特征，那么如何用代數(shù)語言刻畫（表示）向量？在這種代數(shù)語言下，向量的關(guān)系、運(yùn)算如何刻畫（表示）？這便是本章第3節(jié)內(nèi)容——“向量基本定理及坐標(biāo)表示”。

從向量的原型（來源）和向量的特征分析，向量可以在哪些方面有所應(yīng)用？這便是本章第4節(jié)內(nèi)容——“向量應(yīng)用”。

……

至此，本章的知識體系自然形成了（見圖3）。

與此同時(shí)，本章知識建構(gòu)的方法也基本明確：通過對物理原型進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，形成相應(yīng)的概念、表示、運(yùn)算等。

這里需要說明的是，因?yàn)橹皇歉怕孕缘难芯?，所以，框架中的?nèi)容不能過細(xì)，不能將后續(xù)具體內(nèi)容的教學(xué)放在引言課上展開。要根據(jù)過程展開的需要確定研究到什么層次，例如“向量概念”中需要研究哪些內(nèi)容是可以討論的——如“什么是向量”“向量如何表示”“向量的同一性（相等向量）”“向量的關(guān)系”等內(nèi)容，但這些內(nèi)容具體是什么是不需要研究的。

二、多角度認(rèn)識章首語給出的基礎(chǔ)結(jié)論，形成本章知識系統(tǒng)

有些章首語基于一定的知識背景，給出了本章的基礎(chǔ)結(jié)論（核心關(guān)系）。從不同的角度認(rèn)識（推演）這一結(jié)論（關(guān)系），便可以形成本章的知識系統(tǒng)（具有邏輯聯(lián)系、體現(xiàn)內(nèi)在關(guān)聯(lián)的一組知識內(nèi)容及其結(jié)構(gòu)）。這也是章引言課的基本形態(tài)。

例如，必修第一冊第4章《指數(shù)與對數(shù)》的章首語為：

在初中，我們就知道了

a-n=1an（a≠0，n∈N）。

這樣，指數(shù)冪的概念中，指數(shù)的范圍就從正整數(shù)拓展到了負(fù)整數(shù)。自然地，我們想知道：指數(shù)冪中的指數(shù)的范圍能否再拓展呢？

例如，a12有意義嗎？

設(shè)想將整數(shù)指數(shù)運(yùn)算aman=am+n（m、n∈Z）進(jìn)行推廣。

令m=n=12，得

a12·a12=（a12）2=a12×2=a=a12+12。

這說明，如果將a12看成一個(gè)數(shù)，那么它是a的平方根。用同樣的思路，我們可以獲得anm（m、n∈N，m≠0）的意義。

這樣，我們將指數(shù)冪ab中指數(shù)b的范圍從正整數(shù)推廣到負(fù)整數(shù)、分?jǐn)?shù)。

更一般地，

對一般的實(shí)數(shù)b，ab的意義是什么？

這一章首語給出了本章研究的核心問題（指數(shù)冪中的指數(shù)的范圍能否再拓展）、基礎(chǔ)結(jié)論（aman=am+n）以及研究案例和思路。由此出發(fā)，可以先看a13、a14、a15……（即分子為1的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪），就要知道什么叫3次方根、4次方根等，需要對“根式”進(jìn)行推廣。有了這樣的基礎(chǔ)，就可以對一般的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行意義建構(gòu)，并進(jìn)一步將指數(shù)b推廣到一般的實(shí)數(shù)。既然當(dāng)b為任意實(shí)數(shù)時(shí)，ab都有意義，那么，若ab=N，則b與a、N之間的關(guān)系是什么？——對數(shù)。

于是，本章的知識系統(tǒng)形成了（見圖4）。

類似、相關(guān)地，必修第一冊第6章《冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)》的章首語如下：

等式23=8給出了三個(gè)數(shù)2、3、8之間的一種關(guān)系，用符號抽象后可表示為

ab=N。

在ab=N中，如果給定a、b、N中的兩個(gè)數(shù)，那么ab=N就成為以另一個(gè)數(shù)為未知數(shù)的方程，如：

23=x，

x3=8，

2x=8。

對此，我們已分別學(xué)習(xí)了乘方、開方運(yùn)算和對數(shù)運(yùn)算。

進(jìn)一步，在ab=N中，如果只給定a、b、N三個(gè)數(shù)中的一個(gè)數(shù)，那么ab=N就成為另兩個(gè)數(shù)之間的“函數(shù)關(guān)系”，如：

x3=y，

2x=y，

2y=x。

上述x、y的關(guān)系中，可得到怎樣的函數(shù)模型？

這些函數(shù)有哪些性質(zhì)和應(yīng)用？

這一章首語給出的本章研究的核心問題是由冪的關(guān)系式可以得到怎樣的函數(shù)模型，基礎(chǔ)結(jié)論是ab=N。

三、聯(lián)想章首語給出的類比對象，設(shè)計(jì)本章內(nèi)容架構(gòu)

有些教學(xué)內(nèi)容與之前的教學(xué)內(nèi)容存在較強(qiáng)的相似性，如立體幾何與平面幾何、空間向量與平面向量。這些內(nèi)容的章首語便給出了可以類比的學(xué)習(xí)對象。相應(yīng)的章引言課便可以引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想、類比對象，運(yùn)用知識體系的內(nèi)在關(guān)系，設(shè)計(jì)本章內(nèi)容架構(gòu)。

例如，選擇性必修第二冊第6章《空間向量》的章首語為：

在《數(shù)學(xué)（必修）第二冊》中，我們學(xué)習(xí)了平面向量，研究了平面向量的運(yùn)算、平面向量基本定理及平面向量的坐標(biāo)表示，運(yùn)用平面向量知識解決了數(shù)學(xué)和物理中的一些問題。然而，在現(xiàn)實(shí)生活中，許多涉及大小和方向的問題不僅出現(xiàn)在平面中，也經(jīng)常出現(xiàn)在空間中。例如，吊車吊載物體，飛機(jī)降落，火箭發(fā)射……

空間向量是如何運(yùn)算的？

怎樣用向量解決空間圖形的相關(guān)問題？

基于這一章首語，本章引言課的教學(xué)思路非常明確。平面向量中研究了哪些問題？平面向量有哪些應(yīng)用？類比到空間向量，其知識架構(gòu)自然就明確了：空間向量的概念、表示（幾何表示與代數(shù)表示）、運(yùn)算（幾何形式與代數(shù)形式）、應(yīng)用。平面向量可以用來研究平行、垂直等位置關(guān)系，求距離、角等數(shù)量，空間向量自然也要研究這些問題。于是，空間向量的內(nèi)容架構(gòu)就是將平面向量的相應(yīng)內(nèi)容“平移”過來。教學(xué)時(shí)，將這個(gè)“平移”過程交給學(xué)生就行了（具體過程不再贅述）。

四、運(yùn)用章首語提出的思想方法，確定本章研究框架

數(shù)學(xué)的知識體系與其思想方法是密切相關(guān)的。有些章首語便提出了相關(guān)的研究思想方法，相應(yīng)的章引言課便可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用思想方法，獲得研究思路，確定本章研究框架。

例如，必修第一冊第3章《不等式》的章首語為：

在自然界和社會(huì)生活中，存在著大量的相等關(guān)系、不等關(guān)系、函數(shù)關(guān)系。我們曾經(jīng)用等式（包括方程）刻畫一些相等關(guān)系，用不等式刻畫一些不等關(guān)系，用函數(shù)刻畫一些函數(shù)關(guān)系，研究了等式、不等式、函數(shù)所具有的性質(zhì)，并應(yīng)用這些性質(zhì)去解決問題。

在研究的過程中，我們看到，相等關(guān)系與不等關(guān)系是緊密聯(lián)系的。例如，一元一次方程ax+b=0與一元一次不等式ax+b>0，在結(jié)構(gòu)、性質(zhì)、解法等方面就具有很大的相似性。

我們還看到，等式、不等式、函數(shù)之間也是緊密聯(lián)系的。例如，一元一次方程ax+b=0、一元一次不等式ax+b>0與一次函數(shù)y=ax+b之間具有“統(tǒng)一性”：從函數(shù)觀點(diǎn)看，一元一次方程ax+b=0的解就是一次函數(shù)y=ax+b的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一元一次不等式ax+b>0的解集就是一次函數(shù)y=ax+b的圖像在x軸上方部分的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)x所成的集合。

當(dāng)然，我們還會(huì)遇到更多的、更一般的涉及不等關(guān)系的問題。面對新的問題，我們可以嘗試?yán)蒙鲜鼋鉀Q問題的方法，去分析問題、解決問題。例如，

不等式具有哪些性質(zhì)？

怎樣從函數(shù)觀點(diǎn)解決不等式、方程的問題？

基于這一章首語，本章引言課的教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生通過回顧反思的方式，從結(jié)構(gòu)、性質(zhì)、解法等方面研究一元一次方程、一元一次不等式及一次函數(shù)之間的關(guān)系，并由這種關(guān)系明確本章要研究的內(nèi)容：等式研究了哪些內(nèi)容？不等式是否要研究相應(yīng)的內(nèi)容？已經(jīng)研究了哪些不等式？還可以研究哪些不等式？研究一元一次方程時(shí)運(yùn)用的思想方法是什么？研究其他類型的方程是否可以運(yùn)用這種思想方法？研究不等式問題是否可以運(yùn)用這種思想方法？……最終，確定本章的研究框架。

參考文獻(xiàn)：

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