非線性非局部多孔介質(zhì)方程在非線性邊界條件下爆破時(shí)間的下界*

歐陽(yáng)柏平， 劉炎

(1. 廣東財(cái)經(jīng)大學(xué)華商學(xué)院數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 511300； 2. 廣東金融學(xué)院金融數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 廣東 廣州 510521)

在文[1]中，作者研究了如下的非線性非局部的多孔介質(zhì)方程的爆破問(wèn)題：

(1)

u(x,0)=f(x)≥0,x∈Ω

(2)

給出Robin邊界條件：

(3)

其中Ω是R3中的一個(gè)有界凸區(qū)域，Δ代表拉普拉斯算子，▽ 代表梯度算子。?Ω 是區(qū)域Ω的邊界， 以及t*代表可能的爆破時(shí)間。作者得到當(dāng)爆破發(fā)生時(shí)，(1)～(3)系統(tǒng)的爆破時(shí)間的下界。

在文[2]中，作者同樣研究了在齊次狄利克雷邊界條件下以及齊次牛曼邊界條件下方程組(1)和(2)的爆破問(wèn)題，得到了在兩種邊界條件下爆破解的爆破時(shí)間下界。方程(1) 是用來(lái)研究人口動(dòng)力學(xué)的[3]。 在文[4]中，作者證明當(dāng)p+q>m>1時(shí)只要初始值u0足夠大，方程組(1)～(2)的解將會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)爆破。

很多文獻(xiàn)研究了拋物方程在齊次狄利克雷邊界條件下以及齊次牛曼邊界條件下的解的爆破問(wèn)題[5-12]，一些文獻(xiàn)已經(jīng)開(kāi)始研究在Robin邊界條件下解的爆破問(wèn)題[13-14]。

在文[15-17]中，作者研究了非線性邊界條件下的熱方程的爆破問(wèn)題。 到目前為止，我們還未發(fā)現(xiàn)有論文研究非線性邊界條件下的非線性非局部多孔介質(zhì)方程的解的爆破時(shí)間下界問(wèn)題。從這點(diǎn)來(lái)看，本文所得到的結(jié)果是新且有趣的。

本文中，我們考慮方程組(1)～(2)滿足如下非線性邊界條件：

(4)

0≤g(ξ)≤k1ξ2+ms-m對(duì)于任意ξ>0

(5)

其中k1是一個(gè)正常數(shù)，s將會(huì)在式(10)中定義。

我們將研究方程組(1)～(2)在邊界條件(4)～(5)下的解的爆破時(shí)間的下界。

1 幾個(gè)重要的不等式

在后面證明中，將會(huì)用到如下幾個(gè)重要不等式：

引理1 如果n1,n2,x1,x2都是正常數(shù)且x1,x2滿足x1+x2=1，則對(duì)于任意非負(fù)函數(shù)u均有如下的H?lder 不等式：

(6)

引理2 對(duì)于任意非負(fù)函數(shù)u，以及任意的正常數(shù)m和s，我們有

(7)

證明有如下等式

div(u5msx)=3u5ms+5msw5ms-1(x·▽u)

(8)

對(duì)等式(8)兩邊積分可得

由散度定理可得

引理3 對(duì)于任意非負(fù)函數(shù)u，以及任意的正常數(shù)n，有

(9)

證明由文[8](2.16)或者文[16](4.10)可得

運(yùn)用式(6)并取

以及

得到

2 爆破時(shí)間的下界

定義如下的輔助函數(shù)：

(10)

其中s=p+q-1

將建立如下的定理：

定理1 假設(shè)u(x,t)是問(wèn)題(1)，(4) 以及(5) 在有界凸區(qū)域Ω的經(jīng)典的非負(fù)解。假設(shè)p+q>m>1，則式(10)中定義的量滿足微分不等式

(11)

由此可得爆破時(shí)間t*的下界為

(12)

其中k2,k3,k4,k5在后面定義的正常數(shù)。

接下來(lái)證明定理1。 首先對(duì)函數(shù)(10)求導(dǎo)數(shù)得

(13)

由式 (7)可得

(14)

應(yīng)用式(6)并且選擇

可得到

(15)

應(yīng)用 Schwarz 不等式得

(16)

選擇

(17)

類(lèi)似地，如果選擇

得到

(18)

聯(lián)合式(14)～(18)，得到

(19)

其中

運(yùn)用式(9)，得到

(20)

其中ε2，ε3和ε4都是后面會(huì)給出定義的正常數(shù)。

如果選擇合適的ε2和ε4滿足

將得到

(21)

其中

聯(lián)合式(19)與式(21)可得

(22)

得到

(23)

也就是說(shuō)

(24)

式(24) 可寫(xiě)作如下形式

(25)

對(duì)式(25)積分可得

(26)

得到定理需要證明的結(jié)論。