淺談確界原理的教學(xué)體會(huì)

【摘要】確界原理是實(shí)數(shù)完備性的理論基礎(chǔ)。確界原理簡單明了、構(gòu)造性強(qiáng)的特點(diǎn)使其在證明與實(shí)數(shù)相關(guān)的命題中有廣泛的應(yīng)用。本文結(jié)合實(shí)例分析，歸納總結(jié)了確界原理在數(shù)學(xué)分析中的部分應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】確界原理 實(shí)數(shù)完備性 有界

確界原理是實(shí)數(shù)完備性的六個(gè)等價(jià)定理之一，與單調(diào)有界定理、柯西收斂準(zhǔn)則、區(qū)間套定理、有限覆蓋定理和聚點(diǎn)定理構(gòu)成了實(shí)數(shù)完備性的基本理論框架。華東師范大學(xué)版的《數(shù)學(xué)分析（第四版）》就是在確界原理的基礎(chǔ)上建立實(shí)數(shù)完備性及數(shù)學(xué)分析的理論體系。確界原理簡單易懂、構(gòu)造性強(qiáng)的特點(diǎn)使其在證明與實(shí)數(shù)及與實(shí)數(shù)相關(guān)的集合相關(guān)的命題方面有著廣泛的應(yīng)用。

一、主要教學(xué)內(nèi)容簡述

設(shè)S是R中的一個(gè)數(shù)集，若存在實(shí)數(shù)η滿足：（i）對一切x∈S，有x≤η（即η是S的上界）;（ii）對 ? ? ? ，存在x0∈S，使得x0>η-ε（即η是S的最小的上界），則稱實(shí)數(shù)η為數(shù)集S的上確界，記作η=supS。同理，可定義S的下確界infS。

確界原理是給出確界的存在性的條件。

定理1（確界原理）：設(shè)S為非空數(shù)集。若S有上界，則S必有上確界;若S有下界，則S必有下確界。

為了方便歸納確界原理的應(yīng)用，特別是處理不等式相關(guān)的應(yīng)用，我們先列出確界的兩個(gè)簡單的性質(zhì)，其詳細(xì)證明見文獻(xiàn)。

性質(zhì)1.設(shè)A，B為非空數(shù)集，滿足：對一切x∈A和y∈B有x≤y，則數(shù)集A有上確界，數(shù)集B有下確界，且supA≤infB。

性質(zhì)2.設(shè)A，B為非空有界數(shù)集，定義A+B={z│z=x+y，x∈A，y∈}，則suo（A+B）=supA+supB，inf（A+B）=infA+infB。

二、確界原理的應(yīng)用

在證明與實(shí)數(shù)相關(guān)的命題中，確界原理有廣泛的應(yīng)用，例如證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值定理、介值性定理、一致連續(xù)性定理等。對于閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)整體性質(zhì)的證明，可以采用不同的思路與方法。通常選擇方法的出發(fā)點(diǎn)是簡單易懂、利于推廣?；诖嗽瓌t，通常用確界原理證明最大（?。┲荡嬖谛远ɡ恚糜邢薷采w定理或致密性定理證明有界性定理和一致連續(xù)性定理，用區(qū)間套定理證明介值性定理。也可以用確界原理證明。

例1：用確界原理證明：若函數(shù)f在閉區(qū)間上連續(xù)，則f在[α，b]上有界。

分析：設(shè)S={x│f在[α，X]上有界，x∈[α，b]}。由連續(xù)函數(shù)的局部有界性得f在點(diǎn)α局部有界，從而S是非空數(shù)集，且點(diǎn)b為其上界。由確界原理，supS存在。只需證明b=supS，且b∈S，從而S=[α，b]，即F在[α，b]上有界。

證明：設(shè)S={x│f在[α，X]上有界，x∈[α，b]}。由分析可知，集合S為非空有上界的數(shù)集。由確界原理得，存在η=supS。現(xiàn)用反證法證明η=b。

若η0使得f（x）在區(qū)間[η-δ，η+δ]上有界，即存在x0∈S，使x0>η，與η的取法矛盾，故η=b。

再證函數(shù)f在[α，b]上有界。因?yàn)閒在點(diǎn)b連續(xù)，則存在ε>0，函數(shù)f在[b-δ，b]上有界，從而f在[α，b]上有界。

在定義數(shù)列的上（下）極限、實(shí)數(shù)指數(shù)冪等方面確界原理都有應(yīng)用。在初等數(shù)學(xué)中只給出了有理數(shù)指數(shù)乘冪。借助確界原理定義無理指數(shù)冪，得到實(shí)指數(shù)乘冪，并利用確界的性質(zhì)證明實(shí)數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)等等。確界原理的應(yīng)用非常廣泛。本文結(jié)合實(shí)例分析，總結(jié)確界原理的部分應(yīng)用。

下面用確界原理證明連續(xù)歸納法為例說明其應(yīng)用。數(shù)學(xué)歸納法反映了自然數(shù)集的基本性質(zhì)，而連續(xù)歸納法則反映了實(shí)數(shù)集的基本性質(zhì)—-實(shí)數(shù)連續(xù)性。設(shè)I為一個(gè)有限或無限區(qū)間，若對每個(gè)x∈I命題Px都為真，則稱P在I上為真，如存在x0∈I，使Px0不真，則稱P在I上不真。連續(xù)歸納法是指：設(shè)對任意實(shí)數(shù)X對應(yīng)命題Px。如果（i）存在x0∈I，使對I上一切x0，使Px對一切xx0，從而集合A非空有下界，由確界原理知A有下確界infA，從而存在實(shí)數(shù)y0，使得infA=y0≥x。由下確界定義，P在（-∞，y0）∩A上為真，由連續(xù)歸納條件（ii），必存在εy>0，使P在（-∞，y0+εy）∩A上為真，這與y0=infA矛盾，故A必為空集，即連續(xù)歸納法成立。

確界原理在初等數(shù)學(xué)中也有獨(dú)特的應(yīng)用。初等數(shù)學(xué)中有一些問題，特別是不等式相關(guān)的問題，用初等數(shù)學(xué)知識(shí)去解決比較復(fù)雜，通過靈巧地應(yīng)用確界原理，對處理不等式問題能起到事半功倍的作用。下面我們就用實(shí)例來展示其應(yīng)用。

例2：對任意α∈（3，5）與b∈（0，1）滿足<4α/3-2b，求x的最值。

解：由α∈（3，5），b∈（0，1）得inf（4α/3）=4，inf（-2b）=-2，。由性質(zhì)2得，inf（4α/3-2b）=inf（4α/3）+inf（-2b）=2。再由性質(zhì)1可得x≤2，即x的最大值為2。

三、教學(xué)總結(jié)與反思

統(tǒng)計(jì)類專業(yè)、大數(shù)據(jù)相關(guān)的專業(yè)，數(shù)學(xué)分析都是必修課程，課時(shí)卻比較少。比如我校統(tǒng)計(jì)類與大數(shù)據(jù)類專業(yè)，數(shù)學(xué)分析只開設(shè)一學(xué)年。在如此短的時(shí)間內(nèi)要上完數(shù)學(xué)分析的課程，就需要教師抓住數(shù)學(xué)分析的基本知識(shí)點(diǎn)和理論框架。讓學(xué)生對數(shù)學(xué)分析有一個(gè)基本的知識(shí)結(jié)構(gòu)。確界原理是實(shí)數(shù)完備性的基石之一。確界原理簡單易懂的特點(diǎn)使很多數(shù)學(xué)分析的教材都選其作為公理來建立實(shí)數(shù)的完備性理論和數(shù)學(xué)分析的理論基礎(chǔ)。教師在講授數(shù)學(xué)分析課程時(shí)如能重點(diǎn)突出確界原理的基礎(chǔ)性作用，并結(jié)合不同的知識(shí)點(diǎn)講授其應(yīng)用，將會(huì)起到事半功倍的作用。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡介：黃木根（1979-），男，江西新余人，博士研究生，講師，研究方向?yàn)閼?yīng)用數(shù)學(xué)。