指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C半群的逼近

賀凱麗，趙華新，劉娟娟

（延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000）

算子半群的逼近是算子半群理論研究的重要內(nèi)容，在物理學(xué)、微分方程和非線性方程中都有著廣泛的應(yīng)用，許多學(xué)者對此作了大量研究工作。文獻(xiàn)［1-2］討論了C半群和指數(shù)有界C半群的逼近；文獻(xiàn)［3-4］研究了雙參數(shù)C半群和指數(shù)有界雙參數(shù)C半群的逼近等性質(zhì)；文獻(xiàn)［5］討論了α次積分C半群的Trotter-Kato 逼近；文獻(xiàn)［6-7］討論了雙連續(xù)C半群的逼近和概率逼近問題；文獻(xiàn)［8-9］進(jìn)一步探討了雙連續(xù)α次積分C半群的逼近和概率逼近問題；文獻(xiàn)［10-11］討論了n階α次積分C半群和雙參數(shù)n階α次積分C半群的逼近；文獻(xiàn)［12-13］給出了雙連續(xù)n次積分C半群的定義及其性質(zhì)；文獻(xiàn)［14］研究了指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C半群的定義及其性質(zhì)；文獻(xiàn)［15］討論了指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C半群的生成定理。對于指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C半群的逼近未見研究。

本文在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，給出指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C半群的逼近的結(jié)果并進(jìn)行證明，從而進(jìn)一步豐富了雙連續(xù)n階α次積分C半群的相關(guān)理論。

1 基本概念及引理

本文假設(shè)X為無限維的復(fù)Banach 空間，B(X)是X上的有界線性算子全體所組成的代數(shù)，D(A)為線性算子A的定義域，X′是X的共軛空間，τ是X上的一個局部凸拓?fù)洳⒕哂幸韵滦再|(zhì)：

1）τ-拓?fù)浔取? ‖-拓?fù)浯智沂荋ausdorff 拓?fù)洌?/p>

2）空間(X，τ)在‖? ‖-有界集上序列完備，即對每個‖? ‖-有界的柯西列在(X，τ)中收斂。

設(shè)T(t) ∈B(X)，n∈N，α≥0，

T=0當(dāng)且僅當(dāng)存在n≥0使JnT(t)=0，t≥0。

定義3［12］設(shè)T(t)∈B(X)，若存在M≥0，ω∈R使成立，則算子族{T(t)}t≥0?B(X)稱為指數(shù)有界的。

定義4［14］設(shè)C∈B(X)為單射，n∈N，α≥0，若：

2）存在閉線性算子A，滿足：

3）{T(t)}t≥0τ-連續(xù)，即對每個x∈X，映射t→T(t)xτ-連續(xù)；

4）{T(t)}t≥0等度雙連續(xù)；

5）存在M≥0，ω∈R，‖T(t) ‖≤Meωt，?t≥0。

則算子族{T(t)}t≥0?B(X)稱為指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C半群。其中A為其次生成元，把Gτ(M，ω，C)記為X內(nèi)的所有指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C半群構(gòu)成的集合。

定義5［14］設(shè){T(t)}t≥0是由A次生成的指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C半群，若Ra(λ)C=Ra(λ，A)=λn-1(λn-A)-1C，有定義在Banach空間X上的有界逆算子，則稱λ為指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C半群的次生成元的C正則點(diǎn)，Ra(λ)C是A的C預(yù)解式。

引理1［15］令n∈N，α≥0，C∈B(X)是單射，A：D(A)?X→X為閉線性算子并滿足A?C-1AC，{T(t)}t≥0?B(X)τ-連續(xù)并滿足：

‖T(t) ‖≤Meωt，?t≥0。

則有下式成立：

引理2［14］令雙連續(xù)n階α次積分C半 群{T(t)}t≥0的次生成元為A，并且{T(t)}t≥0∈Gτ(M，ω，C)，則對?x∈X，有

而且兩式的右端積分在關(guān)于t的有限范圍內(nèi)是一致收斂的。

2 主要結(jié)果

定 理 1設(shè)A，An∈Gτ(M，ω，C)，{T(t)}t≥0，{Tn(t)}t≥0分別是由A、An次生成的指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C半群，可得下列命題等價：

(a)若對?x∈X，Reλ>ω，則有

Ra(λ，An)x→Ra(λ，A)x(n→∞)；

(b)若對?x∈X，t≥0，則有

Tn(t)x→T(t)x(n→∞)。

證明(a) ?(b)：

對?x∈X，在固定區(qū)間t∈[0，t]上有

1）關(guān)于D1：

因?yàn)椤琓n(t) ‖≤Meωt≤MeωT，

所以由命題(a)及范數(shù)的性質(zhì)可得

即D1→0。

2）關(guān)于D3：

由于對?x∈X，

Ra(λ，A)x→Ra(λ，An)x(n→∞)，

則T(t)x∈{T(t)x：0 ≤t≤T}，有

Ra(λ，A)T(t)x→Ra(λ，An)T(t)x(n→∞)，即D3→0。

3)關(guān)于D2：

由引理2可得形

3 結(jié)束語

算子半群理論所研究的內(nèi)容十分豐富，但關(guān)于指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C半群的逼近未見討論。本文在指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C半群的生成和lapace 逆變換的基礎(chǔ)上，給出了指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C半群預(yù)解式逼近和半群逼近的等價關(guān)系，從而豐富了雙連續(xù)n階α次積分C半群的理論。雙連續(xù)n階α次積分C半群中還有許多問題值得去研究，接下來可以對以下幾方面進(jìn)行探索：

1）雙連續(xù)n階α次積分C半群的概率逼近；

2）雙連續(xù)n階α次積分C半群在高階Cauchy 問題中的應(yīng)用；

3）雙連續(xù)n階α次積分C半群的微積分性質(zhì)。