模糊賦范空間中的有界性與算子的緊性

李欣欣，吳健榮

（蘇州科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州215009）

模糊賦范空間是經(jīng)典賦范空間的推廣。1984年，Katsaras[1]首先引入了線性空間中模糊范數(shù)的定義。1992年，F(xiàn)elbin[2]通過引入模糊實(shí)數(shù)定義了與Kaleva 型模糊度量對(duì)應(yīng)的模糊范數(shù)。1994年，Cheng 和Mordeson[3]在線性空間中引入了KM-型模糊范數(shù)。此后不久，Bag 和Samanta[4]引入了類似的模糊范數(shù)的定義，并給出了有限維模糊賦范空間中模糊有界子集的表達(dá)形式。在此基礎(chǔ)上，Bag 和Samanta[4-6]進(jìn)一步研究了算子的模糊連續(xù)、模糊強(qiáng)連續(xù)、模糊弱連續(xù)、序列模糊連續(xù)，以及算子的模糊有界、模糊強(qiáng)有界、模糊弱有界、一致模糊有界等問題。2007年，F(xiàn)atemeh Lael 和Kourosh Nourouzi[7]在Bag 和Samanta 工作的基礎(chǔ)上，定義了模糊緊算子，得到了模糊緊算子的一些基本性質(zhì)。相關(guān)學(xué)者也在該領(lǐng)域內(nèi)做了一定的研究[8-13]。

筆者對(duì)文獻(xiàn)[4]中的模糊賦范空間作了適當(dāng)?shù)男薷模o出了該空間中模糊有界集、模糊強(qiáng)有界集、模糊弱有界集的定義，并得到了三者的有效刻畫。同時(shí)，定義了此類模糊賦范空間的S－模糊緊算子，得到了S－模糊緊算子的一些基本性質(zhì)，進(jìn)一步豐富了模糊賦范空間中的緊性理論。文章主要分為四個(gè)部分：第一部分為預(yù)備知識(shí)；第二部分為模糊賦范空間中子集有界性及其刻畫；第三部分為模糊賦范空間中S－模糊緊算子的定義及基本定理；第四部分為結(jié)語。

1 預(yù)備知識(shí)

該節(jié)主要介紹文章所需要的相關(guān)定義。

定義1[14]稱二元算子*：[0，1]×[0，1]→[0，1]是連續(xù)的t-算子，如果*滿足：對(duì)任意的a，b，c，d∈[0，1]，

（1）滿足交換律a*b＝b*a；

（2）滿足結(jié)合律（a*b）*c＝a*（b*c）；

（3）當(dāng)a≤c且b≤d時(shí)，a*b≤c*d；

（4）a*1=a；

（5）*是連續(xù)的。

下面是常用的模糊t-算子的例子，對(duì)任意的a，b∈[0，1]，

（i）aΔ1b=min{a，b}；（ii）aΔ2b=ab；（iii）aΔ3b=max{a+b-1，0}。

引理1[14]設(shè)*：[0，1]×[0，1]→[0，1]是連續(xù)的t-算子，若a∈（0，1），那么存在b∈（0，1）使得b*b≥a。

引理2設(shè)*：[0，1]×[0，1]→[0，1]是連續(xù)的t-算子，若a∈（0，1），那么存在b∈（a，1），使得b*b＞a。

證明令a∈（0，1），c∈（a，1），由引理1 可知，存在b∈（0，1）使得b*b≥c，因此，b*b＞a。

定義2設(shè)X是實(shí)數(shù)域上的線性空間，N是X×（0，+∞）上的模糊子集，*是連續(xù)算子。對(duì)任意的x，y∈X，

（1）對(duì)任意的t＞0，N（x，t）＞0；

（2）對(duì)任意的t＞0，N（x，t）=1?x=θ，其中θ 是X中的零元素；

（3）對(duì)任意的t＞0，當(dāng)λ≠0 時(shí)

（4）對(duì)任意的t，s＞0，N（x，t）*N（y，s）≤N（x+y，t+s）；

（5）N（x，·）在（0，+∞）→（0，1]上是連續(xù)的且那么稱N是X上的模糊范數(shù)，（X，N，*）是模糊賦范空間。若（1）改為：

（N1）對(duì)任意的t∈R，t≤0 時(shí)，N（x，t）=0；t＞0 時(shí)，N（x，t）＞0。那么N是文獻(xiàn)[4]中定義的模糊范數(shù)。

下文中的模糊賦范空間不作特殊說明的，均為定義2 中的模糊賦范空間。類似于文獻(xiàn)[5]，設(shè)（N，X，*）是模糊賦范空間，定義B（x，r，t）={y∈X:N（x-y，t）＞1-r}。

容易驗(yàn)證{B（x，r，t）:t＞0，r∈（0，1）}是在x處的一個(gè)鄰域基。由此，模糊范數(shù)N可導(dǎo)出X上的一個(gè)拓?fù)?，記為τN。顯然τN為第一可數(shù)的，事實(shí)上，{B（x，1/n，1/n）:n=1，2，…}為x的可數(shù)局部基。

2 子集的有界性

該節(jié)主要介紹模糊賦范空間中模糊有界集、模糊強(qiáng)有界集以及模糊弱有界集的概念，并給出它們的刻畫定理。

定義3設(shè)（X，N，*）是模糊賦范空間，A?X。

（2）若存在t0＞0，使得則稱A是模糊強(qiáng)有界集；

（3）若對(duì)任意的t＞0，總有則稱A是模糊弱有界集。

對(duì)任意的r∈[0，1]，x∈X，引入記號(hào)顯然地，||x||1≡0。

容易得到：

性質(zhì)1設(shè)（X，N，*）是模糊賦范空間，A?X。

引理3設(shè)（X，N，*）是模糊賦范空間，A?X，r∈[0，1]。那么

證明對(duì)任意的因而有

任取ε＞0，存在t0＞0，使得t0＜β+ε且N（x，t0）≥1-r，從而

再由ε的任意性可知即

引理得證。

引理4設(shè)（X，N，*）是模糊賦范空間，A?X，r∈[0，1]。若

證明對(duì)任意的所以存在0＜t′＜t0+ε，使得由引理3 可知所以對(duì)任意的x∈A，N（x，t0+ε）≥1-r。由ε的任意性及N（x，·）的連續(xù)性可知，N（x，t0）≥1-r，從而

引理5設(shè)（X，N，*）是模糊賦范空間，對(duì)任意的x∈X，r∈（0，1），那么

證明需證明inf{t＞0:N（x，t）≥1-r}=sup{t＞0:N（x，t）＜1-r}。

設(shè)A={t＞0:N（x，t）≥1-r}，B={t＞0:N（x，t）＜1-r}。任取t1∈A，t2∈B，則N（x，t1）≥1-r＞N（x，t2）。由N（x，·）關(guān)于t 的遞增性可知，t1≥t2，則有inf A≥sup B。

再設(shè)inf A=α，sup B=β。對(duì)任意的δ＞0，β+δ?B，則有β+δ∈A，從而inf A≤β+δ。由δ的任意性可知inf A≤β=sup B。得證。

定理1設(shè)（X，N，*）是模糊賦范空間，A?X。

（1）A 模糊強(qiáng)有界當(dāng)且僅當(dāng)存在t0＞0，使得對(duì)任意的

（2）A 模糊有界當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的r∈（0，1]，存在正數(shù)t0＝t0（r），使得

（3）A 模糊弱有界但非模糊有界當(dāng)且僅當(dāng)存在r0∈（0，1），使得當(dāng)而當(dāng)r∈（r0，1）時(shí)，存在t0＝t0（r）＞0，使得

證明（1）必要性易證，僅證充分性。假設(shè)對(duì)一切r∈[0，1]都成立。由引理3，

（2）設(shè)A模糊有界，則有對(duì)任意的r∈（0，1]，存在t0（r）＞0，使得由引理4 和上式即得

反之，對(duì)?r∈（0，1]，存在t0（r）＞0，使得t0（r）。由引理4 可知，N（x，t0（r））≥1-r，所以從而由r的任意性，即得

（3）設(shè)A模糊弱有界但非模糊有界，則

（i）當(dāng)r∈（0，r0）時(shí)因而對(duì)一切由引理3 有，

（ii）當(dāng)r∈（r0，1）時(shí)故存在t0（r）＞0，使得于是由引理3，

當(dāng)r∈（r0，1）時(shí)，由于存在t0（r）＞0，使得由引理1-r}≤t0（r）。再由引理于是注意到r∈（r0，1），r0∈（0，1），可得所以即證A為模糊弱有界但非模糊有界集。

3 算子的緊性

該節(jié)介紹模糊賦范空間中的S－模糊緊算子以及相關(guān)定理。

定義4設(shè)（X，N，*）是模糊賦范空間，A?X。

（1）設(shè){xn}?X，x∈X，若對(duì)任意的t＞0，滿足則稱序列{xn}收斂于x，而稱x為{xn}的極限點(diǎn)，記為

（3）若A中的任一序列都有收斂的子列，則稱A是模糊緊集。

（4）若A的閉包是模糊緊集，則稱A是相對(duì)模糊緊集。

注：易證明，以上定義的概念與拓?fù)洇覰意義下相應(yīng)的概念是一致的。

定義5設(shè)（X，N1，*1）和（Y，N2，*2）是模糊賦范空間，算子T:X→Y。

（1）若對(duì)X中的任一模糊強(qiáng)有界子集A，T（A）是Y中的相對(duì)模糊緊集，則稱算子T是S-模糊緊的；

（2）若對(duì)X中的任一模糊有界子集A，T（A）是Y中的相對(duì)模糊緊集，則稱算子T是模糊緊的。

定理2設(shè)（X，N1，*1）和（Y，N2，*2）是模糊賦范空間，算子T:X→Y。T是S-模糊緊的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)X中的任意的模糊強(qiáng)有界序列{xn}，{T（xn）}均有收斂子列。

證明先證必要性。假設(shè){xn}是X中的模糊強(qiáng)有界序列，T是S-模糊緊算子，那么{T（xn）}是相對(duì)模糊緊集。由定義4 可知是模糊緊集，那么{T（xn）}有收斂的子列。

再證充分性。假設(shè)A是（X，N1，*1）中的模糊強(qiáng)有界集，下證T（A）是相對(duì)模糊緊集，即是模糊緊集。

設(shè)yn∈T（A），n=1，2，…，則存在Zm（n）∈T（A），使得當(dāng)m→∞時(shí)，{Zm（n）}收斂于yn，存在mn，使得

取n==max{nˉ，n0}，則當(dāng)n′＞n=時(shí)，（3）式成立，且n′＞n0，即于是由（1）式可知

針對(duì)文獻(xiàn)[4]意義下模糊賦范空間，文獻(xiàn)[5－6]引入了算子的模糊有界、模糊強(qiáng)有界、模糊連續(xù)、模糊強(qiáng)連續(xù)等概念。類似地，這些概念可以引入到文中所定義的模糊賦范空間中。為方便起見，給出具體的定義如下：

定義6設(shè)（X，N1，*1）和（Y，N2，*2）是模糊賦范空間，算子T:（X，N1，*1）→（Y，N2，*2）。

（1）若對(duì)任意的r∈（0，1），x∈X，存在Mr＞0，使得對(duì)任意的t＞0，s＞t，當(dāng)時(shí)，N2（T（x），s）≥r，則稱算子T是模糊有界的。

（2）若對(duì)?x∈X，存在M＞0，使得對(duì)任意的則稱算子T是模糊強(qiáng)有界的。

（3）若對(duì)任意的xn∈X，存在x∈X，使得對(duì)任意的t＞0，當(dāng)時(shí)則稱算子T是模糊連續(xù)的。

（4）若對(duì)任意的x，y∈X，存在ε＞0，使得對(duì)任意的t＞0，N2（T（x）-T（y），t）≥N1（x-y，ε），則稱算子T是模糊強(qiáng)連續(xù)的。

注：模糊強(qiáng)連續(xù)（有界）算子是模糊連續(xù)（有界）算子。

定理3設(shè)（X，N1，*1）和（Y，N2，*2）是模糊賦范空間，若T是模糊強(qiáng)有界算子，當(dāng)A是模糊強(qiáng)有界集，則T（A）也是模糊強(qiáng)有界集。

證明因?yàn)锳是模糊強(qiáng)有界集，則存在t0＞0，對(duì)任意的r∈[0，1]，都有由引理3 得，

由定理1，T（A）也是模糊強(qiáng)有界集。

定理4算子T是模糊有界的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的x∈X，r∈（0，1），都存在Mr＞0，使得

證明先證必要性。設(shè)T是模糊有界的，那么對(duì)任意的x∈X，r∈（0，1），存在Mr＞0，使得對(duì)任意的t＞0，s＞t，當(dāng)時(shí)，N2（T（x），s）≥r。任取α＞Mrinf{t＞0:N1（x，t）≥1-r}，即則存在0＜α′＜α，使得于是由定義6（1）可知，N2（Tx，α）≥r，從而inf{t＞0:N2（Tx，t）≥r}≤α。由α 的任意性，有

再證充分性。假設(shè)對(duì)?x∈X，r∈（0，1），存在Mr＞0 使得（4）式成立。于是對(duì)?t＞0 及s＞t，當(dāng)由（4）式知inf{α＞0:N2（T（x），α）≥r}≤t。于是，inf{α＞0:N2（Tx，α）≥r}＜s，從而N2（Tx，s）≥r，所以T算子是模糊有界的。

定理5設(shè)（X，N，*）是模糊賦范空間，T1，T2是從（X，N1，*1）到（Y，N2，*2）的線性S－模糊緊算子，α＞0，那么T1+T2，αT1也是線性的S－模糊緊算子。

證明設(shè){xn}是X中的模糊強(qiáng)有界序列，T1，T2是線性的S－模糊緊算子，由定理2，存在{xn}的子列{xnk}，使得T1（xnk），T2（xnk）都收斂。于是存在y1，y2∈Y，使得對(duì)任意的t＞0，

由（*）的連續(xù)性，可得

同樣地，設(shè){xn}是X中的模糊強(qiáng)有界序列，則{αxn}也是X中的模糊強(qiáng)有界序列。因?yàn)門1是線性的S－模糊緊算子，那么{T1（αxn）}有收斂的子列。即存在y∈Y，使得對(duì)任意的即所以{（αT1）（xn）}有收斂的子列，由此可見αT1是線性的S－模糊緊算子。

定理6設(shè)（X，N1，*1）和（Y，N2，*2）是模糊賦范空間，算子T:（X，N1，*1）→（Y，N2，*2）是線性的。T是模糊強(qiáng)連續(xù)的當(dāng)且僅當(dāng)T是模糊強(qiáng)有界的。

此處證明略。具體證明類似于文獻(xiàn)[5]中定理3.5（ii）。

定理7設(shè)（X，N，*）是模糊賦范空間，T:（X，N，*）→（X，N，*）是滿射的S－模糊緊算子，S:（X，N，*）→（X，N，*）是模糊強(qiáng)連續(xù)的線性算子，那么復(fù)合算子ST和TS都是S－模糊緊算子。

證明設(shè){xn}是X中的模糊強(qiáng)有界序列，由T是S－模糊緊算子可知，{T（xn）}有收斂的子列{T（xnk）}。于是存在Ty∈Txnk，使得對(duì)任意的又因?yàn)镾是模糊連續(xù)的，則有

即ST（xn）有收斂的子列，那么ST是S－模糊緊算子。

同樣地，設(shè){xn}是X中的模糊強(qiáng)有界序列，則存在t0＞0，對(duì)任意的r∈[0，1]，使得由引理3 知，由定理6 可知，模糊強(qiáng)連續(xù)的線性算子S也是模糊強(qiáng)有界的，則由定理3 可知，{S（xn）}是模糊強(qiáng)有界的。又因?yàn)門是S－模糊緊算子，所以{（TS）（xn）}有收斂的子列。由此可見，TS也是S－模糊緊算子。

4 結(jié)語

論文在模糊賦范空間中引入了若干新的有界性和緊性概念，并得到了它們的一些重要性質(zhì)，深化了模糊賦范空間理論的研究；同時(shí)，提出的有關(guān)方法可應(yīng)用于該領(lǐng)域的進(jìn)一步研究。特別是鑒于緊性概念的豐富內(nèi)涵，在該文的研究基礎(chǔ)上，可開展更廣泛的研究工作，比如：在模糊賦范空間框架下，研究列緊、自列緊及其與有界性的關(guān)系等。