2019年高考全國Ⅱ卷理科第21題的解法探究與推廣

廣東省湛江一中培才學(xué)校(524037) 魏 欣

2019年高考全國卷理科第21題,題型結(jié)構(gòu)常見,三個問題按梯度層層遞進,難度步步提升,很好地考查考生的推理論證能力與運算求解能力,體現(xiàn)試題的區(qū)分功能與選拔功能.這就需要我們探究時仔細(xì)品味欣賞,進一步去揭示問題的本質(zhì)特征,挖掘其潛在的價值和功能.本文對其進行多種解法解答與分析,通過與教材習(xí)題對比、與往年高考試題對比,力求找到命制此題的素材,希望通過加強對高考命題的研究,為師生復(fù)習(xí)備考指明方向,提高教學(xué)質(zhì)量.

一、試題展示與評析

題目(2019年高考全國卷理科第21題)已知點A(?2,0),B(2,0),動點M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率乘積為記M的軌跡為曲線C.

(Ⅰ)求C的方程,并說明C是什么曲線?

(Ⅱ)過坐標(biāo)原點的直線交C于P,Q兩點,點P在第一象限,PE⊥x軸,垂足為E,連接QE并延長C交于點G.

(i)證明:?PGQ是直角三角形;

(ii)求?PGQ面積的最大值.

評析此題主要考查軌跡方程的求法,直線和橢圓的位置問題以及最值問題,意在考查學(xué)生的邏輯推理能力、運算求解能力,考查方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想,考查學(xué)生的邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),檢驗了學(xué)生運算求解、分析問題、解決問題的能力.試題解法靈活,內(nèi)涵豐富,綜合性強,為不同學(xué)生搭建了施展才能的舞臺,是一道有價值的試題.

二、解法探究

圖1

圖2

圖3

二、教材尋根

高考題的命題有些是來源于教材,但往往又高于教材,因而我們的課堂教學(xué)需要回歸教材,扎根教材,根深才能葉茂,源遠(yuǎn)方能流長.2019年高考全國卷理科第21題第一問來源于新課標(biāo)人教A版選修2-1第41頁例3題.教材是命制高考試題的一個源頭,這也符合“源于教材,高于教材”的命題理念,這就要求我們了解高考試題的來龍去脈,領(lǐng)悟教材和高考試題的功能,這對跳出題海,正確把握高考復(fù)習(xí)方向,有著重要的意義和作用.

題目(新課標(biāo)人教A版選修2-1第41頁例3)設(shè)點A,B的坐標(biāo)分別為(?5,0),(5,0),直線AM,BM相交于點M,且它們的斜率之積是求M點的軌跡方程.

教材中的例題和習(xí)題具有典型性與代表性,能有效檢查學(xué)生對重點知識的掌握及靈活應(yīng)用的程度.分析歷年的高考試題,可以發(fā)現(xiàn),很多高考試題的原型都來自于課本教材,適當(dāng)?shù)剡M行一些改編和創(chuàng)新.高考的命題指導(dǎo)思想中也指出,要考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識、基本能力的掌握程度和運用所學(xué)知識分析、解決問題的能力.因此,對教材例、習(xí)題的探究是高三備考復(fù)習(xí)的重要方式之一.

三、性質(zhì)研究

圖4

結(jié)論二如圖4所示,已知橢圓過坐標(biāo)原點的直線交曲線C于P,Q兩點,設(shè)P在第一象限,過P作x軸或y軸的垂線,垂足為E,連接QE交曲線C于點G.則有

四、真題回顧

由以上結(jié)論不難發(fā)現(xiàn),歷年高考題也均考查以上圓錐曲線的定值和最值問題,體現(xiàn)了高考試題“?？汲Ｐ?推陳出新”的理念,在解決相關(guān)問題時,靈活運用上面的性質(zhì),不僅比較容易找到解題的突破口,而且往往會獲得簡潔、明快的解題方法和途徑.下面略舉幾例說明上述結(jié)論的應(yīng)用.

圖5

例1(2011年高考江蘇卷第18題)如圖5,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,M,N分別是橢圓的頂點,過坐標(biāo)原點的直線交橢圓于P,A兩點,其中P在第一象限,過P作x軸的垂線,垂足為C,連接AC,并延長交橢圓于點B,設(shè)直線PA的斜率為k.

(Ⅰ)當(dāng)直線PA平分線段MN時,求k的值;

(Ⅱ)當(dāng)k=2時,求點P到直線AB的距離;

(Ⅲ)對任意k＞0,求證:PA⊥PB.

點評例1與2019年高考全國Ⅱ卷理科第21題的已知條件非常相似,區(qū)別在:例1中曲線方程直接給出,而全國Ⅱ卷的試題則把曲線方程設(shè)置為第(Ⅰ)問進行求解,兩道試題考查的難點都是”垂直”問題.此外,例1的第(Ⅰ)問和第(Ⅱ)問設(shè)置比較基本,面對大部分考生,難度比全國Ⅱ卷試題低;全國Ⅱ卷試題第(Ⅰ)問利用斜率定義求解曲線方程,屬于概念題型,大部分考生能夠完成,但從第(Ⅱ)問題開始難度提高.整體上看,兩道試題考查的目標(biāo)與解題思路一致,都是考查曲線軌跡知識與解析幾何相關(guān)知識,考查考生數(shù)學(xué)閱讀水平,數(shù)形結(jié)合思想、推理論證能力和運算求解能力.

例2(2012年高考湖北卷理科第21題)設(shè)A是單位圓x2+y2=1上的任意一點,l是過點A與x軸垂直的直線,D是直線l與x軸的交點,點M在直線l上,且滿足|DM|=m|DA|(m＞0且1).當(dāng)點A在圓上運動時,記點M的軌跡為曲線C.

(Ⅰ)求曲線C的方程,判斷曲線C為何種圓錐曲線,并求其焦點坐標(biāo);

(Ⅱ)過原點且斜率為k的直線交C于P、Q兩點,其中點P在第一象限,它在y軸上的射影為N,直線QN交曲線C于另一點H.是否存在m,使對任意的k＞0,都有PQ⊥PH?若存在,求m的值;若不存在,請說明理由.

圖6

點評例2引入?yún)?shù)m,討論軌跡方程,考查橢圓的定義與幾何性質(zhì)知識,考查考生分類討論思想和運算求解能力.如圖6,第(Ⅱ)問在第(Ⅰ)問的基礎(chǔ)上,探究PQ⊥PH成立所需的m值,雖然已知條件把x軸換成y軸,但是解題思路與全國Ⅱ卷和江蘇卷試題一脈相承,解題方法殊途同歸.考查直線與橢圓位置關(guān)系的相關(guān)知識,考查考生數(shù)形結(jié)合思想、推理論證能力和運算求解能力,同時例2與全國Ⅱ卷第21題在試卷中的定位類似,都是作為壓軸題,體現(xiàn)試題的區(qū)分功能與選拔功能.

五、備考建議

G·波利亞有句名言:“掌握數(shù)學(xué)就是意味著善于解題,如果我們在日常的教學(xué)中,能對課本例習(xí)題作深入的研究,一題多解,一題多變,多題一法進行變式教學(xué),立根課本,必定能取得豐碩的成果”.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中,我們要善于挖掘教材的潛在教學(xué)功能.教材中有一些典型性題目,它們或者是重要的結(jié)論,或者體現(xiàn)某種數(shù)學(xué)思想方法,或者是某個一般數(shù)學(xué)命題的具體形式,它的延伸、轉(zhuǎn)化和拓廣,可以呈現(xiàn)出豐富多彩的數(shù)學(xué)內(nèi)容.我們必須充分重視課本典型例題、習(xí)題的探究,這是”用教材教”之根本,也是教師專業(yè)成長的必有之路.

隨著新一輪高中課程改革的實施,教師對解析幾何的教學(xué)應(yīng)由傳統(tǒng)的“結(jié)果性教學(xué)”轉(zhuǎn)變?yōu)樗仞B(yǎng)立意的“過程性教學(xué)”,這就要求教師在教學(xué)過程中,不僅要讓學(xué)生知其然,更要知其所以然,同時引導(dǎo)學(xué)生了解甚至主動去探究解析幾何問題的本“源”,學(xué)會舉一反三,而不是就題解題,機械模仿.一方面,教師探尋解析幾何問題的本“源”,追溯數(shù)學(xué)思維發(fā)展的源泉,可以提升教師自身數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng)和專業(yè)化水平;另一方面,教師把握解析幾何問題的“流”[4],可以培養(yǎng)學(xué)生多維度思考問題的習(xí)慣,登高望遠(yuǎn),拓展視野,如全國Ⅱ卷的第(Ⅱ)問,能夠培養(yǎng)學(xué)生思維的深度和廣度,提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,挖掘數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的潛能.