統(tǒng)計與概率背景下的遞推數(shù)列

廣東省佛山市樂從中學(xué)(528315) 林國紅

數(shù)學(xué)知識之間存在著縱向和橫向的有機聯(lián)系,這些聯(lián)系的交匯點往往是各類考試命題的“熱點”.統(tǒng)計與概率內(nèi)容是數(shù)學(xué)知識的綜合應(yīng)用,也是中學(xué)數(shù)學(xué)一個重要的交匯點,已經(jīng)成為聯(lián)系多項知識內(nèi)容的媒介;數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容,易與其它內(nèi)容交匯融合.2019年高考全國卷Ⅰ理科第21題(壓軸題)出現(xiàn)概率與數(shù)列兩者知識點的交匯考查,引起教師與學(xué)生的較大反響.由于此類考題條件多,背景新穎,成為近年各種考試的一個熱點問題,其所考查的數(shù)學(xué)知識和思想方法相當(dāng)深刻,難度也較大.

鑒于上述情況,本文采擷幾例進行分類解析,展示統(tǒng)計概率與數(shù)列交匯的美妙,旨在揭示解題的規(guī)律與方法.

題型一:an=pan?1+q型

例1(2018年山東省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽競賽預(yù)賽第5題)甲、乙兩人輪流擲一枚硬幣至正面朝上或者朝下,規(guī)定誰先擲出正面朝上為贏: 前一場的輸者,則下一場先擲,則甲贏得第n場的概率為___.

解答設(shè)甲贏得第n場的概率為pn,在每一場,先擲的人贏得的概率為

例2(2017年貴州省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽競賽預(yù)賽第14題)擲一枚硬幣,每次出現(xiàn)正面得1分,出現(xiàn)反面得2分.反復(fù)擲這枚硬幣,則恰好得n分的概率為____.

解答設(shè)pn表示恰好得到n分的概率.不出現(xiàn)n分的唯一情況是得到n?1分以后再擲出一次反面.

例3(2017年廣西省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽競賽預(yù)賽第6題)一名籃球隊員進行投籃練習(xí).若第n次投籃投中,則第n+1次投籃投中的概率是;若第n次投籃不中,則第n+1次投籃投不中的概率是.若該隊員第1次投籃投中的概率為則第4次投籃投中的概率為___.

解答設(shè)該隊員投進第n?1個球的概率為an?1,投失的概率為1?an?1,則投進第n個球的概率為所以

評注求解這類問題要求掌握互斥事件,獨立事件的概率及遞推數(shù)列的相關(guān)知識,同時要具備分析、歸納、推理等理性思維方法進行正確合理地判斷、推理,建立起遞推數(shù)列模型,并能準(zhǔn)確清晰有條理地進行表述.由遞推關(guān)系可用待定系數(shù)法: 如例2,由即,整理解得將其轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列,從而求得相應(yīng)的通項公式.

題型二:an+1=pan+f(n)型

例4A,B,C,D人互相傳球,由A開始發(fā)球,并作為第一次傳球,經(jīng)過5次傳球后,球仍回到A手中,則不同的傳球方式有多少種？若有n個人相互傳球k次后又回到發(fā)球人A手中的不同傳球方式有多少種？

評注這類問題人數(shù)、次數(shù)較少時常用樹形圖法求解,直觀形象,但若人數(shù)、次數(shù)較多時樹形圖法則力不從心,而建立遞推數(shù)列模型則可深入問題本質(zhì).解答過程中利用換元思想,將遞推關(guān)系ak+1=3k?ak轉(zhuǎn)化為題型一的類型,再構(gòu)造等比數(shù)列進行解決.

題型三:an+1=an·f(n)型

例5(結(jié)草成環(huán)問題)現(xiàn)有n(n∈N?)根草,共有2n個草頭,現(xiàn)將2n個草頭平均分成n組,每兩個草頭打結(jié),求打結(jié)后所有草能構(gòu)成一個圓環(huán)的打結(jié)方法數(shù).

解答將2n個草頭平均分成n組,每兩個草頭打結(jié),要使其恰好構(gòu)成圓環(huán),不同的連接方法總數(shù)an.

圖1

將草頭編號為1,2,3,...,2n?1,2n.

草頭1可以和新草頭3,4,5,...,2n?1,2n共2n?2個新草頭相連,如圖1所示.

假設(shè)1和3相連,則與余下共n?1條相連能成圓環(huán)的方法數(shù)為an?1.

評注遞推關(guān)系型如an+1=an·f(n)的問題,一般利用疊乘(累乘)法進行解答,其關(guān)鍵在于找到an與an+1的遞推關(guān)系.

題型四:二階線性遞推數(shù)列(an+1=pan+qan?1型)

例6(2019年高考全國卷Ⅰ理科第21題)為了治療某種疾病,研制甲、乙兩種新藥,希望知道哪種新藥更有效,為此進行動物試驗.試驗方案如下:每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗.對于兩只白鼠,隨機選一只施以甲藥,另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后,再安排下一輪試驗.當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時,就停止試驗,并認為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題,約定:對于每輪試驗,若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分,乙藥得-1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分,甲藥得-1分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩藥的治愈率分別記為α和β,一輪試驗中甲藥的得分記為X.

(1)求X的分布列;

(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分,pi(i=0,1,···,8)表示“甲藥的累計得分為i時,最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率,則p0=0,p8=1,pi=api?1+bpi+cpi+1(i=1,2,···,7),其中a=P(X=?1),b=P(X=0),c=P(X=1),假設(shè)α=0.5,β=0.8.

(i)證明:{pi+1?pi}(i=0,1,2,···,7)為等比數(shù)列;

(ii)求p4,并根據(jù)p4的值解釋這種試驗方案的合理性.

解答(1)X的所有可能取值為?1,0,1.于是P(X=?1)=(1?α)β,P(X=0)=αβ+(1?α)(1?β),P(X=1)=α(1? β).

所以X的分布列為

X1 0?1 P(1?α)β αβ+(1?α)(1?β)α(1?β)

(2)(i)因為α=0.5,β=0.8,由 (1)得a=P(X=?1)=0.4,b=P(X=0)=0.5,c=P(X=1)=0.1.

因為pi=api?1+bpi+cpi+1,所以pi=0.4pi?1+0.5pi+0.1pi+1,故 0.1(pi+1?pi)= 0.4(pi?pi?1),即pi+1?pi=4(pi?pi?1).

又因為p1?p0=p10,所以{pi+1?pi}(i=0,1,2,···,7)為公比為4,首項為p1的等比數(shù)列.

(ii)由(i)可得

由于p8=1,故所以

p4表示最終認為甲藥更有效的概率,由計算結(jié)果可以看出,在甲藥治愈率為0.5,乙藥治愈率為0.8時,認為甲藥更有效的概率為此時得出錯誤結(jié)論的概率非常小,說是這種試驗方案合理.

例7(2018年湖南省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽B卷第12題)棋盤上標(biāo)有第0,1,2,...,100站,棋子開始時位于第0站,棋手拋擲均勻硬幣走跳棋游戲.若擲出正面,棋子向前跳出一站;若擲出反面,棋子向前跳出兩站,直到跳到第99站(勝利大本營)或第100站(失敗大本營)時,游戲結(jié)束.設(shè)棋子跳到第n站的概率為pn.

(1)求p3的值;

(3)求p99,p100的值.

解答(1)棋子跳到第3站有以下三種途徑:連續(xù)三次擲出正面,其概率為第一次擲出反面,第二次擲出正面,其概率為第一次擲出正面,第二次擲出反面,其概率為因此

評注①例6的問題(2)與例7的問題(2),(3)基本一致,例7可以看作例6的“題源”,只是將題目進行適當(dāng)?shù)母木?賦于更豐富的命題背景而已,這說明命題專家很重視命題的傳承和相互借鑒.所以在高考的備考中,除了要進行高考真題的訓(xùn)練外,還可以適當(dāng)加入一些接近高考難度的高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題的訓(xùn)練.②例7不能孤立地去研究,而是從跳到第n站的過程分析,它可能是從第n?1站跳來的,也可能是從第n?2站跳來的,于是得到pn與,pn?1,pn?2之間的遞推關(guān)系,從而轉(zhuǎn)化為一個數(shù)列問題.③二階線性遞推數(shù)列問題,一般還是轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列,其中常用到數(shù)列中疊加(累加)法.

題型五:二階非線性遞推數(shù)列

例8(2015年河南省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽高二試題第五題(壓軸題))由數(shù)字1,2,3,4,5,6構(gòu)成的且含有1,6相鄰的n位數(shù)有多少個？

解答設(shè)由數(shù)字1,2,3,4,5,6構(gòu)成的且含有1,6相鄰的n位數(shù)有an個;記由數(shù)字1,2,3,4,5,6構(gòu)成的首位數(shù)字是1且含有1,6相鄰的n位數(shù)有bn個.在每一個bn中交換1和6的位置得由數(shù)字1,2,3,4,5,6構(gòu)成的首位數(shù)字是6且含有1,6相鄰的n位數(shù)也有bn個.

由數(shù)字1,2,3,4,5,6構(gòu)成的且含有1,6相鄰的n位數(shù)可以分三類:

第一類:由數(shù)字1,2,3,4,5,6構(gòu)成的首位數(shù)字是1且含有1,6相鄰的n位數(shù),這樣的數(shù)有bn;

第二類:由數(shù)字1,2,3,4,5,6構(gòu)成的首位數(shù)字是6且含有1,6相鄰的n位數(shù),這樣的數(shù)有bn;

第三類:由數(shù)字1,2,3,4,5,6構(gòu)成的首位數(shù)字是2,3,4,5之一的且含有1,6相鄰的n位數(shù),這樣的數(shù)的后n?1位仍是由數(shù)字1,2,3,4,5,6構(gòu)成的首位數(shù)字是1且含有1,6相鄰的n?1位數(shù),共有4an?1個,于是

而記由數(shù)字1,2,3,4,5,6構(gòu)成的首位數(shù)字是1且含有1,6相鄰的n位數(shù)也可以分三類:

第一類:第二位是6的且含有1,6相鄰的n位數(shù),這些數(shù)的后n?2位上的數(shù)字可以是1,2,3,4,5,6任一,故共有6n?2;

第二類:第二位仍是1的且含有1,6相鄰的n位數(shù),這些數(shù)從第二位起的后1-2位上的數(shù)字是由數(shù)字1,2,3,4,5,6構(gòu)成的首位數(shù)字是1,6且含有相鄰的n?1位數(shù)有bn?1個;

第三類:第二位是2,3,4,5之一的且含有1,6相鄰的n位數(shù),這些數(shù)的后n?2位是由數(shù)字1,2,3,4,5,6構(gòu)成且含有1,6相鄰的數(shù),共有4an?2個,于是

評注可以看出,涉及二階非線性遞推數(shù)列的問題,難度較大,本題解答過程先換元轉(zhuǎn)化為二階線性遞推關(guān)系,再進一步轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題,需要較強的運算能力;另外本題的多次分類討論是解題的另一個難點,要有清晰的分析能力,才能做到不重不漏.

題型六:多重遞推數(shù)列

例9(2016年浙江省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽第20題)設(shè)正整數(shù)n≥2,對2×n格點鏈中的2n個結(jié)點用紅(R)、黃(Y)、藍(B)三種顏色染色,左右端點中的三個結(jié)點已經(jīng)染好色,如圖2所示.若對剩余的2n?3個結(jié)點,要求每個結(jié)點恰染一種顏色,相鄰結(jié)點異色,求不同的染色方法數(shù).

圖2

解答對2×n格點鏈中的2n個結(jié)點用紅(R)、黃(Y)、藍(B)三種顏色染色,其中左端點染紅色與黃色,設(shè)右端點染色為P,Q,如圖3所示.

圖3

記P=R(或Y),B=Q時的著色數(shù)目為an;

記P=B,Q=R(或Y)時的著色數(shù)目為bn;

記P=R,Q=Y,或者P=Y,Q=R時的著色數(shù)目為cn.

注意到:(1)若右端沒有約束時,每增加一個格子都有3種不同的著色方法,則an+bn+cn=3n?1;

(2)由對稱性,即將圖形上下翻轉(zhuǎn),并且顏色R和Y互換,可知an=bn;

(3)考慮相互的遞推特征,則an=2bn?1+cn?1.

圖4

圖5

這樣an=2bn?1+cn?1=an?1+bn?1+cn?1=3n?2,即為問題所求的不同的染色方法數(shù).

評注多重遞推數(shù)列問題難度較大,一般沒有通性通法,解題時要弄清題意,注意分類的方式與方法,做到不要遺漏,同時注意數(shù)形結(jié)合.

以能力立意是數(shù)學(xué)命題的指導(dǎo)思想,在知識網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計試題是命題的新特點和大方向.統(tǒng)計與概率背景下的遞推數(shù)列的題目正是在這種背景下閃亮登場,頻頻出現(xiàn)在各類考試題中,這些題目從表面看是以統(tǒng)計概率的形式呈現(xiàn)出來的,但需要綜合使用數(shù)列與統(tǒng)計概率的主干知識,其綜合性較強.

一般地,解決統(tǒng)計概率背景下的遞推數(shù)列問題,首先利用所學(xué)的統(tǒng)計與概率知識進行仔細分析問題,建立與之對應(yīng)的遞推數(shù)列模型,然后對遞推關(guān)系靈活變換,運用累加、累乘、迭代、構(gòu)造新數(shù)列,待定系數(shù)法等方法化歸為等差或等比數(shù)列問題,再求出數(shù)列的通項公式.另外,在教學(xué)過程中要突出問題背景,加強與各部分知識的聯(lián)系,引導(dǎo)學(xué)生做到融會貫通.