利用導(dǎo)數(shù)解決含參不等式參數(shù)取值范圍問題的策略

廣東省中山市中山紀(jì)念中學(xué)(528454) 李文東

含參不等式恒成立問題,特別是利用導(dǎo)數(shù)解決含參關(guān)系式恒成立求參數(shù)的取值范圍這一問題經(jīng)常出現(xiàn)在高考試題中,是高考的重點也是難點.解決這一類問題需要用到函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論等數(shù)學(xué)思想,能夠很好的反映學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).下面結(jié)合例題具體談?wù)劥祟悊栴}的求解策略.

策略一 不等式f(x,a)≥0恒成立?fmin(x,a)≥0,合理分類討論求最值.

例1(2010年高考新課標(biāo)卷理科)設(shè)函數(shù)f(x)=ex?1?x?ax2,a∈R.若當(dāng)x≥0時,f(x)≥0恒成立,求a的取值范圍.

解因為f′(x)=ex?1?2ax,它比較復(fù)雜,考慮進一步求導(dǎo):f′′(x)=ex?2a,顯然f′′(x)遞增,故當(dāng)x≥0時,f′′(x)min=1?2a.于是

(1)當(dāng)2a≤ 1,即時,f′′(x) ≥ 0,所以f′(x)在[0,+∞)單調(diào)遞增,所以f′(x) ≥f′(0)=0,即f′(x)≥ 0,所以f(x)在[0,+∞)單調(diào)遞增,所以f(x)≥f(0)=0.

(2)當(dāng)2a＞1,即時,令f′′(x)=ex?2a=0,解之得x=ln2a.

當(dāng)x∈(0,ln2a)時,f′′(x)＜0,f′(x)為單調(diào)遞減函數(shù);又因為f′(0)=0,所以x∈(0,ln2a)時,f′(x)＜0,所以f(x)在區(qū)間(0,ln2a)是單調(diào)遞減函數(shù).又f(0)=0,所以x∈(0,ln2a)時,f(x)＜0不符合題意要求.

綜上所述,實數(shù)a的取值范圍為

評注(1)分類討論的難點在于分類標(biāo)準(zhǔn)的確定,目標(biāo)就是確定導(dǎo)函數(shù)的符號,一般要結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的具體形式來確定.如果導(dǎo)函數(shù)的符號能等價轉(zhuǎn)化為一個二次函數(shù)的符號,則常見的討論標(biāo)準(zhǔn)如下:1.討論是否是二次函數(shù);2.討論零點的存在與否;3.討論零點是否在定義域之內(nèi);4.討論零點的大小關(guān)系;5.討論二次函數(shù)的開口方向.

(2)本例中f′(x)=ex?1?2ax比較復(fù)雜,為了研究其符號,關(guān)鍵還是弄清楚其單調(diào)性,故繼續(xù)對其求導(dǎo)后根據(jù)f′′(x)=ex?2a的符號來確定討論標(biāo)準(zhǔn).

策略二分離參數(shù)避免分類討論,快速求解.

例2(2013年高考全國新課標(biāo)卷)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d),若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過點P(0,2),且在點P處有相同的切線y=4x+2.

(1)求a,b,c,d的值;

(2)若x≥?2時,f(x)≤kg(x),求k的取值范圍.

解(1)a=4,b=c=d=2.

綜上,k的取值范圍為1≤k≤e2.

評注本題是一個典型的利用分離參數(shù)法求解參數(shù)取值范圍的例子,分離中需要注意分母函數(shù)g(x)的符號,分離參數(shù)的目的就是避免復(fù)雜的分類討論而達(dá)到快速求解!

策略三 利用必要條件或端點效應(yīng)縮小參數(shù)的范圍.

例3(2014年高考全國新課標(biāo)卷)已知函數(shù)f(x)=ex?e?x?2x.

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)設(shè)g(x)=f(2x)?4bf(x),當(dāng)x＞0時,g(x)＞0,求b的最大值.

解(1)略.

(2)注意到g(0)=0,要使當(dāng)x＞0時,g(x)＞0,則必存在x0＞0,當(dāng)x∈(0,x0)時,g(x)遞增,也即有:當(dāng)x∈(0,x0)時,g′(x)≥ 0,從而必有:g′(0)≥ 0.而

于是g′′′(0)=8(2?b)≥ 0?b≤ 2.而當(dāng)b≤ 2時,g(x)=f(2x)?4bf(x)≥f(2x)?8f(x)=h(x),

故h(x)遞增,又h(0)=0,于是h(x)＞0,也即有g(shù)(x)＞0成立.

綜上,b的最大值為2.

評注端點效應(yīng)是指:對于?x∈[a,b],f(x)≥0,且f(a)=0.則必然?x0∈(a,b),當(dāng)x∈[a,x0]時f(x)遞增,從而有x∈[a,x0]時,f′(x)≥0成立,特別有f′(a)≥0這一必要條件得出參數(shù)的范圍,然后說明這一范圍的充分性即可,這樣既避免了分類討論,也可避免了分離參數(shù)后函數(shù)很復(fù)雜且有時需要用到羅必塔法則的情形.實際操作中,若不滿足這一條件,我們也可以在自變量的范圍內(nèi)取一特定值,縮小參數(shù)的取值范圍,減少分類討論的種類!

策略四分離函數(shù),數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像的關(guān)系.

例4若不等式ax?lnx≥a(2x?x2)對?x∈[1,+∞)恒成立,求a的取值范圍.

解方法一 因為不等式ax?lnx≥a(2x?x2)對?x∈[1,+∞)恒成立,所以a(x2?x)≥lnx對?x∈[1,+∞)恒成立.當(dāng)x=1時,不等式顯然成立,當(dāng)x＞1時,x2?x＞0,lnx＞0,故a＞0.令g(x)=a(x2?x),f(x)=lnx作出兩函數(shù)的圖像,如圖1.

圖1

當(dāng)f(x)與g(x)在x=1處相切時,g(x)(x＞1)圖像恰好位于f(x)(x＞1)圖像的上方,此時f′(1)=g′(1),即a=1,結(jié)合圖像可知,所求a的取值范圍為a≥1.

評注本法是轉(zhuǎn)化為兩曲線的情況.順著這個思路,本題還有以下兩種解法.

方法二 因為不等式ax?lnx≥a(2x?x2)對?x∈[1,+∞)恒成立,所以a(x2?x)≥lnx對?x∈[1,+∞)恒成立,也即對?x∈[1,+∞)恒成立.令,則可知f(x)在(1,e)上遞增,(e,+∞)上遞減.如圖2,故當(dāng)直線y=a(x?1)位于f(x)在x=1處的切線及其上方時,不等式恒成立,從而a≥f′(1)=1.

圖2

圖3

方法三 因為不等式ax?lnx≥a(2x?x2)對?x∈[1,+∞)恒成立,所以對?x∈(1,+∞)恒成立.

例5已知函數(shù)f(x)=x?aln(x+1),若對任意的x∈[1,2],f(x)≥x2恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

解f(x)≥x2,即

圖4

對任意的x∈[1,2]恒成立.因為x∈[1,2]時,x?x2≤0,ln(x+1)＞0,故a≤0,從而函數(shù)y=aln(x+1)和函數(shù)y=x?x2都在[1,2]上遞減,且它們的凹凸性相反.在同一坐標(biāo)系下作出兩函數(shù)的圖像,如圖4,可知當(dāng)函數(shù)y=aln(x+1)滿足在x=2時,y≤?2即可,即

評注分離函數(shù)可看作分離參數(shù)法的推廣,分離函數(shù)時,可以盡量從多個角度嘗試不同的分離方式,只要分離后的函數(shù)比較簡單即可.

策略五等價變換,巧妙轉(zhuǎn)化.

例 6(廣東省 2019屆高三六校聯(lián)考)已知函數(shù)

(1)求函數(shù)f(x)在[1,+∞)上的值域;

(2)若?x∈[1,+∞),lnx(lnx+4)≤ 2ax+4恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

評注當(dāng)函數(shù)f(x)比較復(fù)雜時,我們可以對其進行等價變換,比如換元法,同構(gòu)法等,使得問題達(dá)到簡化的目的!

以上是導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)恒成立求參數(shù)取值范圍問題的一般策略.一般來說,從解題的復(fù)雜程度來說選擇的步驟是:數(shù)形結(jié)合,分離函數(shù)→分離參數(shù)→端點效應(yīng)→合理轉(zhuǎn)化→分類討論.當(dāng)然以上順序也不是一成不變的,還是要具體情況具體分析.

最后結(jié)合分離函數(shù)法來簡單談一下作為一個教師怎么編制出恒成立問題的試題.我們可以利用一些常見的曲線和直線來構(gòu)造恒成立問題,特別是直線過曲線上的定點或者直線就是曲線在某點處的切線時.比如我們可以編制如下問題:

(1)函數(shù)f(x)=lnx在x=1處的切線方程為y=x?1,于是我們可以這樣出題:當(dāng)x＞1時,lnx＜a(x?1)恒成立,求a的取值范圍(答案:a≥1);

(2)函數(shù)f(x)=(1?x)ln(x+1)在x=0處的切線方程為y=x,于是我們可以這樣出題:當(dāng)x＞0時,(1?x)ln(x+1)＜ax恒成立,求a的取值范圍(答案:a≥1).

我們還可以將本文中的例4稍加改編得到如下比較有趣的一道題:

(3)若不等式ax?lnx≥a(2x?x2)對?x∈(0,+∞)恒成立,求a的取值范圍.

結(jié)合文章中的解法,不難知道所求a的取值范圍為a=1,它只有一個值滿足要求!