高考全國卷理科極坐標與參數(shù)方程的常見題型

重慶市南川道南中學(xué)(408400) 汪仁友

重慶市巴南區(qū)魚洞南區(qū)學(xué)校(401320) 李加燕

在近幾年的高考全國卷理科試題中,“極坐標與參數(shù)方程”是一道選做題,分值10分,但多數(shù)考生都選做該題.試題對知識的考查趨勢基本穩(wěn)定,既注重基礎(chǔ)知識的考查,同時又突出對知識應(yīng)用的考查,題型多集中在求曲線的(極坐標、參數(shù)、直角坐標)方程、極坐標與參數(shù)方程的應(yīng)用.針對高考題的特點,復(fù)習(xí)備考時,應(yīng)強化轉(zhuǎn)化,突出應(yīng)用,突破“用什么”(即究竟用“直”“極”還是用“參”),做好常規(guī)題.本文以近三年高考全國卷理科試題為例,解析高考極坐標與參數(shù)方程的常見題型.

一、求曲線的極坐標方程

例1(2019年高考全國卷Ⅱ)在極坐標系中,O為極點,點M(ρ0,θ0)(ρ0＞0)在曲線C:ρ=4sinθ上,直線l過點A(4,0)且與OM垂直,垂足為P.

(2)當(dāng)M在C上運動且P在線段OM上時,求P點軌跡的極坐標方程.

評注求曲線的極坐標方程,通常采用兩種方法:一是直接求出曲線的極坐標方程,二是先求曲線的直角坐標方程,再把直角坐標方程化為極坐標方程.

二、求曲線的參數(shù)方程

例2(2018年高考全國卷Ⅲ)在平面直角坐標系xOy中,⊙O的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),過點且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A,B兩點.

(1)求α的取值范圍;

(2)求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程.

評注求曲線的參數(shù)方程,關(guān)鍵是參數(shù)的選擇,選擇參數(shù)時,通常與題設(shè)有關(guān).

三、求曲線的直角坐標方程

例3(2018年高考全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中,曲線C1的方程為y=k|x|+2.以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρ2+2ρcosθ?3=0.

(1)求C2的直角坐標方程;

(2)若C1與C2有且僅有三個公共點,求C1的方程.

解(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ得C2的直角坐標方程為(x+1)2+y2=4.

(2)由(1)知C2是圓心為A(?1,0),半徑為2的圓.

由題設(shè)知,C1是過點B(0,2)且關(guān)于y軸對稱的兩條射線.記y軸右邊的射線為l1,y軸左邊的射線為l2.由于B在圓C2的外面,故C1與C2有且僅有三個公共點等價于l1與C2只有一個公共點且l2與C2有兩個公共點,或l2與C2只有一個公共點且l1與C2有兩個公共點.

當(dāng)l1與C2只有一個公共點時,A到l1所在直線的距離為2,所以故或k=0.經(jīng)檢驗,當(dāng)k=0時,l1與C2沒有公共點;當(dāng)時,l與C只有12一個公共點,l2與C2有兩個公共點.

當(dāng)l2與C2只有一個公共點時,A到l2所在直線的距離為2,所以故k=0或經(jīng)檢驗,當(dāng)k=0時,l1與C2沒有公共點;當(dāng)時,l與C沒有公22共點.

綜上,所求C1的方程為

評注求曲線的直角坐標方程,通常是把極坐標的有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為直角坐標的問題,再利用解析幾何的有關(guān)知識求出曲線的直角坐標方程.但也可以先求出曲線的極坐標方程或參數(shù)方程,再將其化為直角坐標方程(如本文例6(1)).

四、直線參數(shù)方程的應(yīng)用

例4(2018年高考全國卷Ⅱ)在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).

(1)求C和l的直角坐標方程;

(2)若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為(1,2),求l的斜率.

解(1)曲線C的直角坐標方程為當(dāng)cos0時,l的直角坐標方程為y=tanα·x+2?tanα,當(dāng)cosα=0時,l的直角坐標方程為x=1.

(2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標方程,整理得關(guān)于t的方程

因為曲線C截直線l所得線段的中點(1,2)在C內(nèi),所以①有兩個解,設(shè)為t1,t2,則t1+t2=0.又由①得

故2cosα+sinα=0,于是直線l的斜率k=tanα=?2.

評注處理直線與二次曲線有關(guān)中點、長度等問題時,利用直線的參數(shù)方程較為便捷,應(yīng)充分利用參數(shù)t的幾何意義,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求解.

五、圓、橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用

例5(2019年高考全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程

以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為

(1)求C和l的直角坐標方程;

(2)求C上的點到l距離的最小值.

解(1)C的直角坐標方程為l的直角坐標方程為:.(過程略)

(2)設(shè)C上點的坐標為:(cosθ,2sinθ),則C上的點到直線l的距離

評注處理與圓、橢圓有關(guān)的最值、定值等問題,可以利用圓、橢圓的參數(shù)方程進行三角代換,將問題轉(zhuǎn)化為用三角法求解.

六、極坐標方程的應(yīng)用

例6(2017年高考全國卷Ⅱ)在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C1的極坐標方程為ρcosθ=4.

(1)M為曲線C1上的動點,點P在線段OM上,且滿足|OM|·|OP|=16,求點P的軌跡C2的直角坐標方程;

(2)設(shè)點A的極坐標為點B在曲線C2上,求?OAB面積的最大值.

解(1)設(shè)P的極坐標為(ρ,θ)(ρ＞0),M的極坐標為(ρ1,θ)(ρ1＞0).由題設(shè)知由|OM|·|OP|=16得C2的極坐標方程ρ=4cosθ(ρ＞0),因此C2的直角坐標方程為

(2)設(shè)點B的極坐標為 (ρB,α)(ρB＞0).由題設(shè)知|OA|=2,ρB=4cosα,于是 ?OAB面積

評注處理與長度、角度有關(guān)的問題,可以充分利用極徑與極角的幾何意義求解,常能簡化運算.