例析四邊形最值問題的常見題型及其求解策略

廣東省佛山市第一中學(528000) 吳統(tǒng)勝 李 維

高考對解三角形部分內容?？疾椤袄谜叶ɡ?、余弦定理、主要的三角公式、基本不等式等知識,通過轉化、方程等思想,經過運算、推理、度量邊、角或周長、面積和其他伴隨要素.”解三角形的實質是將幾何問題轉化為代數問題即方程問題,故解三角形的核心是方程思想.而四邊形最值問題因其綜合性強,常作為選擇題或填空題的壓軸題來考查.常需利用基本不等式、函數觀點或數形結合才可有效突破,可以較好地考查考生邏輯思維能力、運算求解能力和創(chuàng)新能力,突出高考的選拔功能.下面筆者舉例說明四邊形最值問題的常見題型及其求解策略,以期對廣大師生在解決此類問題時帶來幫助.

題型一 長度最值問題

評析設∠BAC=θ,利用正弦定理、余弦定理直接建立AD關于θ的目標函數,再利用輔助角公式求得最值.

圖1

圖2

評析建立適當的平面直角坐標系,引入角作為參數,結合復數三角形式乘法的幾何意義求出點D坐標,再利用兩點間的距離公式表示出AD,進而求得AD最值.研究平面幾何中的長度、面積及線線位置問題,有時可以采用解析法使問題得到巧妙解決.

圖3

解法3(幾何視角)如圖3,過B作BO⊥BA,且BO=2,連接OA、OD,則又∠OBD=∠ABC=90?+∠ABD,所以 ?OBD∽ ?ABC,從而即因為OA+AD≥OD,所以當且僅當O,A,D三點共線時,AD的最小值為

評析該解法巧妙地構造了與?ABC相似的?OBD,并利用相似三角形的性質得到再由三角形兩邊之和大于第三邊非常巧妙地求得了AD的最小值.

解法4(軌跡視角)由解法3得即點D的軌跡是以O為圓心,為半徑的圓,以O為原點,直線OB為y軸建立直角坐標系,設則

余下同解法2.

評析該解法是從軌跡的視角求最值.

解法5(托勒密定理)托勒密(Ptolemy)定理指出,圓內接凸四邊形兩條對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積,其推論是在任意凸四邊形ABCD中,必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC,而且當A,B,C,D四點共圓時取等號.

例2如圖4,平面四邊形ABCD的對角線的交點位于四邊形的內部,當∠ABC變化時,對角線BD的最大值為____.

解析解法1(代數視角,構建邊關于角的函數)

設∠ABC=α,∠ACB=β,AC=CD=x(x＞0),在?ABC中,由余弦定理可得由正弦定理可得也即

在?BCD中,由余弦定理得

當且僅當α=135?時,BD取得最大值為3.

圖4

圖5

解法2(幾何視角)以B為圓心,固定BC,則點A在以B為圓心的單位圓上運動,注意到AC=CD,AC⊥CD,將?ABC繞C點順時針旋轉90?得到點D與點A重合,因此點D也在單位圓上運動,兩圓外切,如圖5,因此當且僅當兩圓心共線時取得最大值為3r=3,其中r=AB=1.

解法3 (托勒密定理)由托勒密(Ptolemy)定理推論得AC·BD≤AB·CD+AD·BC,注意到即所以

題型二 面積最值問題

因此

等號成立條件是B+D=π,即對角互補,四點共圓.

圖6

圖7

例4如圖7,在?ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,M是BC中點,BM=2,AM=c?b,當?ABC面積的最大值為___.

總之,解決四邊形邊長或面積最值問題通?？梢詮拇鷶档囊暯歉鶕}意構建角或邊長的目標函數再求最值,也可以從運動變化觀點以幾何的視角或解析的方法分析求解.