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    類比法在初中數(shù)學解題中的應(yīng)用

    2020-05-21 02:49:24查書平
    數(shù)學教學通訊·初中版 2020年3期
    關(guān)鍵詞:類比法解題初中數(shù)學

    查書平

    [摘 ?要] 初中階段的數(shù)學知識比小學更加復雜與深奧,所以很多學生表現(xiàn)出學習困難的問題. 基于此,文章立足于初中數(shù)學教學,分析了類比法的基本內(nèi)容,通過各類中考數(shù)學案例,研究了類比法在初中數(shù)學解題中的具體應(yīng)用形式.

    [關(guān)鍵詞] 類比法;初中數(shù)學;解題

    類比法可以說是一種應(yīng)用價值較高的邏輯方法,在數(shù)學教學中的應(yīng)用較為廣泛,一直都是教師主要的教學手段之一. 但是就目前初中數(shù)學教學情況而言,類比法的應(yīng)用通常集中于數(shù)學基礎(chǔ)知識教學,如各類數(shù)學概念的類比,在解題中的滲透并不常見,這對于提升學生解題效率、開拓學生思維而言,十分不利.

    數(shù)和形的類比

    在數(shù)學教學中,數(shù)和形之間的聯(lián)系十分緊密,很多問題都需要在數(shù)和形之間的轉(zhuǎn)換中得到最終答案,并且很多教師與學生都將數(shù)和形的結(jié)合作為主要的教學方法以及解題方法. 而對于數(shù)學問題的解決而言,數(shù)和形的類比應(yīng)用就更加重要了.

    例題1 求+的最小值.

    此例題應(yīng)用數(shù)形結(jié)合類比方法解決時可以降低運算難度,具體做法如下.

    因為算式中的兩個數(shù)值均為根號形式,所以可以用線段圖形以及三角形的方法對算式進行表示,最終表示為圖1.

    這樣,原來的已知條件以及問題就可以改變?yōu)椋阂阎狟D=8,點C在BD上,過點B在直線BD上方作BA⊥BD,且BA=1,過點D在直線BD下方作DE⊥BD,且DE=5,連接AC,CE. 設(shè)BC=x,則CD=8-x. 于是+的值就是AC+CE的值. 所以當A,C,E三點共線時,AC+CE的值最小,且最小值為AE的長.

    講解完上述例題之后,教師可以給出相同類型的試題讓學生練習,以進行知識鞏固,如下面的練習題.

    練習題 求+的最小值.

    分析 在數(shù)形結(jié)合的類比教學中,原有的代數(shù)式是一個算式,而轉(zhuǎn)變成圖形之后,其實就是求兩條線段和的最小值,這樣,解題難度下降了很多,學生理解起來也更加容易. 之后計算+的最小值時,所有的學生都可以自行解決. 以后,再遇到相同類型的問題時,學生便可以從容應(yīng)對了.

    類似圖形的類比

    類似圖形的類比方法其實也可以稱之為類似知識點的類比. 通過類似知識點的綜合對比分析,學生可以在短時間內(nèi)找到問題的突破口,并形成相同類型問題的快速解題思維.

    例題2 (1)如圖2,在正方形ABCD中,E是AB邊上一動點,F(xiàn)在邊BC上,且∠DEF=90°. ①求證:△ADE∽△BEF;②已知AB=4,AE=x,BF=y,求y取得最大值時x的值.

    (2)如圖3,△ABC是邊長為6的等邊三角形,D,E分別是BC,AC邊上的兩個動點,且∠ADE=60°. ①如果DC=x,AE=y,求出y與x的函數(shù)關(guān)系式;②當y取得最小值時,請說出△AED的形狀.

    分析 上述兩道小題雖然已知條件不同,圖形也存在一定的差異,但在問題求解思路上仍然存在相同之處. 例如,無論是正方形還是三角形,底邊都有一個動點,而與動點所構(gòu)成的三個角也都存在于底邊,這樣就為證明相似三角形提供了基礎(chǔ)條件. 證明相似之后,便可以應(yīng)用相似三角形邊與邊之間的關(guān)系求得最終答案.

    從簡單到復雜的類比

    例題3 (1)如圖4,△DOC與△OAB均是等邊三角形,且DO=OA,D,O,A三點共線,連接DB與AC交于點E,連接BC,求∠AEB的度數(shù).

    (2)如圖5,△DOC與△OAB均是等邊三角形,且DO=OA,連接DB與AC交于點E,連接BC,求∠AEB的度數(shù).

    例題4 在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,D為△ABC斜邊上的中點,E,F(xiàn)分別在直線AB和AC上,且BE=AF.

    (1)若E,F(xiàn)分別在線段AB和AC上,如圖6,求證:△DEF為等腰直角三角形;

    (2)若E為線段AB延長線上一點,F(xiàn)為線段CA延長線上一點,如圖7,求證:△DEF為等腰直角三角形.

    分析 上述兩道例題一共四個小問,

    通過分析不難發(fā)現(xiàn),每道例題中的第一小問都較為簡單,且第一小問與第二小問所用的證明方法沒有太大的出入. 例如,在例題4中,雖然已知條件不同,但第一小問需要證明三角形全等,第二小問同樣需要證明三角形全等. 盡管圖形復雜了,但算法并沒有發(fā)生改變. 這便是類比教學方法應(yīng)用過程中,教師想要達到的教學成果. 其目的并非為了解題,而是幫助學生從不同的角度看待問題,且理解問題的真正內(nèi)涵,這樣,學生在計算過程中就可以節(jié)省更多的時間.

    解題規(guī)律的類比

    每一道習題都是為了考查相應(yīng)的知識點,所以教師應(yīng)該讓學生理解不同問題中所包含的相同性質(zhì),這樣學生才能真正看懂、看透問題.

    例題5 若(x+y)2+x-3=0,求xy的值.

    例題6 若+m-2+(n-3)2=0,求pmn的值.

    分析 對于例題5,無論是平方還是絕對值,都無法等于負數(shù),所以只有當(x+y)2=0,x-3=0時,等式才成立. 這樣,x與y的值就可以確定了,xy的值也隨之確定. 例題6在例題5的基礎(chǔ)之上增加了一個新的式子,即,根據(jù)算術(shù)平方根的定義,可知的值不能為負數(shù),再結(jié)合例題5的解題思路,便可以求出p,m,n的值,于是可求出pmn的值.

    歸納為同一題型的類比

    同一題型的類比分析可以說是教師最為常用的一種類比形式,簡單而言,出現(xiàn)的兩道題多數(shù)都是“換湯不換藥”.

    例題7 如圖8,現(xiàn)有A,B兩個村莊,打算在河邊(直線a)修建一個水泵廠,問:水泵廠具體位置設(shè)置在哪里,才能使水泵廠距離兩個村莊的距離最短?

    例題8 如圖9,在正方形ABCD中,AB=4,E是AB的中點,P是線段AC上一點,求△PBE周長的最小值.

    分析 通過分析可以發(fā)現(xiàn),兩個問題其實可以劃歸為一種問題——最短路徑問題. 在例題7中,最短路徑可以應(yīng)用對稱的方法確定點B關(guān)于直線a的對稱點B′;在例題8中,只不過將河換作直線AC,根據(jù)正方形的性質(zhì),我們同樣可以在線段AD上找到點E的對稱點E′,這樣就可以確定點P的位置,從而求出△PBE的最小周長了.

    使用類比要注意的問題

    1. 對類比的結(jié)論能進行辯證處理

    因為使用類比有“或然性”,屬于“合情推理”:或者正確,或者不正確,或者不完全正確,所以教學時應(yīng)明確告訴學生類比有可能失敗.

    2. 類比可以從多方面進行

    類比法的應(yīng)用并非固定幾種形式,日常教學中,教師不能僅僅局限于某一種方法或形式,可以多種類比,多方位、多角度,從條件、結(jié)論、圖形、方法、規(guī)律等方面進行類比.

    3. 正確應(yīng)用類比法

    教師在日常教學過程中,應(yīng)立足于教材以及各類習題,通過深度挖掘這些輔助教學資源,確定類比法得以正確應(yīng)用,不然將會適得其反.

    結(jié)論

    綜上所述,類比法的應(yīng)用可以進一步提高學生的解題效率,且可以讓學生將題目與知識聯(lián)系起來進行綜合考慮,既提高學生的知識記憶能力,又完成相似類型習題的訓練,這對于學生成績的提高十分重要. 因此,教師應(yīng)該整合教學內(nèi)容,做好類比教學設(shè)計,讓學生在學習過程中完成思維能力的培養(yǎng).

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