關(guān)于函數(shù)壓軸題的解題策略探討與建議

周華

[摘 ?要] 函數(shù)壓軸題的解題過程是知識(shí)調(diào)用、問題轉(zhuǎn)化的過程，該過程中需要使用相應(yīng)的解題技巧，其中數(shù)形結(jié)合是直觀呈現(xiàn)問題、構(gòu)建模型、嚴(yán)密推理的常用策略. 文章通過分析函數(shù)壓軸題，思考數(shù)形解題策略，結(jié)合實(shí)例探討函數(shù)壓軸題的突破過程，提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 函數(shù);策略;思想;數(shù)形結(jié)合

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，也是知識(shí)綜合性最強(qiáng)的內(nèi)容之一. 縱觀近幾年的中考題，函數(shù)作為壓軸題出現(xiàn)的頻次很高，常聯(lián)合平面幾何、代數(shù)方程、不等式等內(nèi)容來命制考題. 命題特征鮮明，常采用連續(xù)設(shè)問方式，難度逐問遞增，各問之間具有一定的關(guān)聯(lián)性和鋪墊作用，能夠引導(dǎo)學(xué)生思考，全面考查學(xué)生的知識(shí)水平和邏輯推理能力.

實(shí)際上函數(shù)是數(shù)形結(jié)合最為緊密的內(nèi)容，函數(shù)解析式與圖像之間存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系，從思想層面來看，是對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn). 函數(shù)問題考查的知識(shí)內(nèi)容十分豐富，在實(shí)際研究時(shí)需要全面考量函數(shù)圖像，分析變量關(guān)系，總結(jié)結(jié)論. 基于數(shù)形結(jié)合思想建議采用如下解題策略：

1. 畫圖解信息，由圖析關(guān)系（由形析數(shù)）

對(duì)于函數(shù)壓軸題可利用圖像來解析題干條件，提取隱含信息. 首先繪制圖像，充分解讀題干條件，利用圖像的直觀性來挖掘其中的幾何特性.

2. 列式得未知，代數(shù)分析解（用數(shù)解形）

把握隱含信息，利用圖像中的點(diǎn)來求解所涉函數(shù)關(guān)系式，通過解方程、不等式或函數(shù)分析的方式來獲取關(guān)鍵量，逐步剖解問題.

考題探究

函數(shù)壓軸題的綜合性很強(qiáng)，其解法也不唯一，從不同的角度分析可以獲得不同的信息條件，但均可以按照上述所推薦的數(shù)形策略來構(gòu)建思路，下面以一道函數(shù)壓軸題為例加以探討.

問題：（函數(shù)與幾何的綜合）已知拋物線的解析式為y=ax- 2-2，其頂點(diǎn)為A，點(diǎn)B- ，2和C ，2是拋物線上的兩個(gè)點(diǎn)，試回答下列問題.

（1）求該拋物線的解析式;

（2）如圖1所示，過點(diǎn)A和B的直線與x軸和y軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)M和E，拋物線與y軸的交點(diǎn)為F，點(diǎn)P位于直線AB上，若有∠OPM=∠MAF，試求△POE的面積;

（3）如圖2所示，點(diǎn)Q位于折線A-B-C上，過點(diǎn)Q作y軸平行線，再過點(diǎn)E作x軸的平行線，設(shè)兩線交點(diǎn)為N，將△QNE沿著直線QE翻折，可得△QEN1，若點(diǎn)N1剛好落在x軸上，試求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

思路突破：

第（1）問求拋物線的解析式，只需要將拋物線上已知坐標(biāo)的一點(diǎn)代入解析式即可，將- ，2代入y=ax- 2-2中，可解得a=1，則該拋物線的解析式為y=x- 2-2.

第（2）問求所構(gòu)三角形的面積，核心條件是等角關(guān)系“∠OPM=∠MAF”. 基于數(shù)形結(jié)合策略進(jìn)行問題分析，根據(jù)條件信息理解圖像，顯然△POE由直線AB、OP和y軸合圍所成. 點(diǎn)A坐標(biāo)已知，點(diǎn)B、E、F、M的坐標(biāo)均可以聯(lián)立方程獲得. 連接AF后，由“∠OPM=∠MAF”可知OP∥AF，后續(xù)需要分兩步進(jìn)行：第一步構(gòu)建面積模型，第二步利用條件列方程求相關(guān)未知量. 有以下兩種方法.

若將△POE視為以O(shè)E為底、點(diǎn)P為頂點(diǎn)的三角形，則其面積可以表示為S△POE= ·OE·h，其中h表示點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離，數(shù)值上與點(diǎn)P橫坐標(biāo)的絕對(duì)值相等. 將直線AB的解析式設(shè)為y=kx+b，分別代入點(diǎn)A和B的坐標(biāo)，則可求得解析式為y=-2x-1，從而可得點(diǎn)E（0，-1），F(xiàn)0，- ，M- ，0. 由∠OPM=∠MAF可知OP∥AF，從而可證△OPE∽△FAE，由相似性質(zhì)可得 = . 其中利用兩點(diǎn)之間的距離公式可得OE=1，EF= ，AF= ，代入可解得OP= . 點(diǎn)P位于直線AB上，可將其坐標(biāo)設(shè)為（t，-2t-1），從而可解得t1= - ，t2=- ，分析可知點(diǎn)P的兩個(gè)位置均滿足等角條件，將其分別代入面積模型可求得△POE的面積，當(dāng)t1=- 時(shí)，可得S△POE= ;當(dāng)t2=- 時(shí)，S△POE= ，所以△POE的面積為 或 .

第（3）問涉及幾何折疊，同時(shí)點(diǎn)Q在折線A-B-C上運(yùn)動(dòng)，需要利用折疊特性進(jìn)行分類討論. 結(jié)合圖像分析可知需要分為三種情形：①點(diǎn)Q在AB上運(yùn)動(dòng)，②點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng)，且位于y軸的左側(cè);③點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng)，且位于y軸的右側(cè). 具體分析時(shí)需要提取其中的基本圖形，結(jié)合圖形性質(zhì)來構(gòu)建方程求坐標(biāo).

①當(dāng)點(diǎn)Q在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖3所示，設(shè)點(diǎn)Q（a，-2a-1），則NE=-a，QN= -2a，根據(jù)翻折特性可得QN′=QN=-2a，N′E=NE=-a. 分析可知△QRN′～△N′SE，根據(jù)相似性質(zhì)可得 = = ，代入可解得QR=2，結(jié)合NE+ES=NS=QR，可得-a+ =2，則a=- ，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為- ， .

②當(dāng)點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng)，且位于y軸的左側(cè)時(shí)，如圖3所示. 設(shè)NE=-a，則N′E=-a，易得RN′=2，SN′=1，QN′=QN=3，則QR= ，SE= +a. 在Rt△SEN′中使用勾股定理可得SE2+SN′2=EN′2，解得a=- ，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為- ，2.

③當(dāng)點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng)，且位于y軸的右側(cè)時(shí)，如圖4所示，按照情形2的思路進(jìn)行方程構(gòu)建，設(shè)NE=a，則N′E=a，易得RN′=2，SN′=1，QN′=QN=3，則QR= ，SE= -a. 在Rt△SEN′中使用勾股定理可得SE2+SN′2=EN′2，解得a= ，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 ，2.

綜上可知，滿足條件點(diǎn)Q的坐標(biāo)有三個(gè)，分別為- ， 、- ，2和 ，2.

上述是拋物線與平面幾何相綜合的壓軸題，其中涉及幾何角相等、求解三角形模型、圖形翻折等幾何內(nèi)容，這也是函數(shù)綜合題常見的命題方向. 上述采用了數(shù)形結(jié)合構(gòu)建思路的策略，過程中體現(xiàn)了該策略解題的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：一是利用圖像來理解題意，這是解題的前提;二是利用圖像來轉(zhuǎn)化條件，主要體現(xiàn)在后兩問上，以第（2）問為例，結(jié)合圖像將等角關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角形相似關(guān)系，以及直線斜率相等關(guān)系;三是利用圖像模型來構(gòu)建方程，無論是求直線解析式，還是求點(diǎn)坐標(biāo)參數(shù)，均體現(xiàn)得淋漓盡致.

解后反思

函數(shù)與幾何壓軸題的突破需要完成圖像分析與代數(shù)轉(zhuǎn)化兩個(gè)過程，上述呈現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合解題的具體步驟，下面提出兩點(diǎn)教學(xué)建議.

1. 重視觀察，探析特性

函數(shù)與幾何壓軸題的特點(diǎn)是信息含量大，圖像較為復(fù)雜，基于數(shù)形結(jié)合開展解題教學(xué)時(shí)需要使學(xué)生明晰信息理解的重要性，包括文字、符號(hào)和圖像信息，在該階段要完成題干條件與問題圖像的對(duì)照轉(zhuǎn)化. 因此需要引導(dǎo)學(xué)生重視觀察圖像，掌握讀圖技巧，例如提取曲線與坐標(biāo)的交點(diǎn)、曲線之間的交點(diǎn)，關(guān)注其中的特殊圖形，提取圖形特性，以此為切入點(diǎn)來挖掘隱含條件，構(gòu)建相應(yīng)的思路. 考慮到圖像較為復(fù)雜，具體教學(xué)時(shí)可以采用簡(jiǎn)圖分析的方式，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)復(fù)合圖形進(jìn)行拆解，構(gòu)建模型，如上述第（3）問分類討論時(shí)分別提取了動(dòng)點(diǎn)圖模型.

2. 直觀猜想，嚴(yán)謹(jǐn)論證

函數(shù)壓軸題所涉線條較多，結(jié)合了幾何運(yùn)動(dòng)內(nèi)容的問題更為復(fù)雜，部分幾何元素的內(nèi)容不完全確定，此時(shí)就需要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)揮想象來做出猜想. 猜想時(shí)需要整合題干中的基本條件，綜合考慮、合理猜想，例如上述結(jié)合條件可以想到點(diǎn)P的位置有兩個(gè)，后續(xù)只需要加以論證即可. 在論證過程中需要充分運(yùn)用函數(shù)與幾何性質(zhì)，構(gòu)建相應(yīng)的方程、不等式，通過求解獲得準(zhǔn)確的點(diǎn)坐標(biāo)、取值范圍等內(nèi)容，從而剔除其中的錯(cuò)誤猜想，得出正確的結(jié)論. 教學(xué)中教師要充分貫徹“先假設(shè)，后驗(yàn)證”的思路，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、嚴(yán)謹(jǐn)推理能力.