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      模型解讀,視角拓展,實(shí)例探討

      2020-05-19 15:06:04袁媛
      關(guān)鍵詞:拓展模型

      袁媛

      [摘 ?要] 數(shù)學(xué)模型可用于命制綜合問題,對(duì)基本模型加以拓展研究可以構(gòu)建類型問題的求解思路,提升解題效率. “等腰直角—內(nèi)嵌直角”模型是常見的幾何模型,從不同的視角拓展該模型,可以形成不同的問題類型,文章對(duì)該模型加以解讀,結(jié)合實(shí)例拓展探究,提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

      [關(guān)鍵詞] 等腰直角三角形;模型;拓展

      等腰直角三角形是一種十分特殊的三角形,不僅含有等腰三角形的性質(zhì),同時(shí)具有直角三角形的特性. 單從圖形本身來(lái)看,其圖形結(jié)構(gòu)較為簡(jiǎn)單,但若在此基礎(chǔ)上適度添加線段,則可以構(gòu)建新的幾何模型,其模型所具有的性質(zhì)、結(jié)論有一定的研究?jī)r(jià)值,同時(shí)以其為基礎(chǔ)構(gòu)建的考題具有極強(qiáng)的拓展性,下面對(duì)其中的一種等腰直角模型加以解讀探討.

      等腰直角三角形模型

      等腰直角三角形中含有兩條等長(zhǎng)的直角邊,同時(shí)兩個(gè)底角均為45°,兼具等腰和直角雙重特性. 分析考題命制思路,存在如下一種以等腰直角三角形為基礎(chǔ)的復(fù)合圖形——“等腰直角—內(nèi)嵌直角”模型.

      如圖1所示,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,點(diǎn)O是底邊BC上的一點(diǎn),過點(diǎn)O作MO⊥NO,與AB交于點(diǎn)M,與AC交于點(diǎn)N.

      則上述所構(gòu)圖形就是“等腰直角—內(nèi)嵌直角”模型,在該模型中△ABC為等腰直角三角形,而△MON為其內(nèi)嵌直角三角形,同時(shí)將圖形分為多個(gè)直角三角形. 提取復(fù)合圖形的性質(zhì)特征,可以得到如下信息:

      包含五個(gè)三角形:△ABC,△MON,△AMN,△MBO,△NOC;

      直角三角形:△ABC,△AMN和△MON;

      等長(zhǎng)線段:AB=AC;

      特殊互補(bǔ)角:∠AMN+∠NMO+∠BMO=180°,∠MOB+∠MON+∠NOC=180°,∠ANM+∠MNO+∠ONC=180°.

      上述是從該復(fù)合模型中提取的基本信息,實(shí)際上該模型具有一定的拓展性,適度添加條件則可以獲得一些特殊的結(jié)論. 例如使MN與底邊平行,則可以獲得多組相似三角形,再若令點(diǎn)M和N分別為所在線段上的中點(diǎn),則可以進(jìn)一步獲得對(duì)應(yīng)的相似比,以及線段關(guān)系. 因此十分有必要對(duì)該模型進(jìn)行解讀探究.

      基于模型多視角拓展

      “等腰直角—內(nèi)嵌直角”作為一種特殊的復(fù)合模型,極具拓展性,以其為基礎(chǔ)可以衍生出多種類型問題,也是中考常見的問題類型,下面舉例探究.

      拓展視角一——幾何角度關(guān)系

      分析角度關(guān)系是中學(xué)幾何常見的問題類型,針對(duì)該模型同樣可以從內(nèi)角關(guān)聯(lián)入手進(jìn)行問題拓展,除了可以直接設(shè)定等角關(guān)系外,還可以從其中的點(diǎn)入手,將其設(shè)定為中點(diǎn),則綜合等腰直角三角形的特性可以獲得多組等角關(guān)系.

      例1 ?如圖2所示△ABC為等腰直角三角形,其中∠A=90°,AB=AC,AD為底邊BC上的高,以點(diǎn)D為端點(diǎn)任意作兩條垂直的射線,與△ABC的兩條腰分別相交于點(diǎn)E和F,連接EF,與AD的交點(diǎn)設(shè)為點(diǎn)G,試分析∠AED與∠AGF的大小關(guān)系.

      解析 ?本題目以模型為基礎(chǔ)進(jìn)行問題拓展,其添加條件為“AD為底邊BC上的高”,由等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)可知,AD既是底邊上的高,也是頂角∠BAC的角平分線、底邊BC的中線. 分析兩角關(guān)系需要結(jié)合該特性,初步判斷兩角相等,論證有兩個(gè)角度:一是依托三角形性質(zhì)進(jìn)行等角轉(zhuǎn)化,二是借助全等或相似三角形的性質(zhì)來(lái)直接提取.

      由DE⊥DF,AD⊥BC可證∠ADE=∠CDF. 在△AED與△CFD中,有∠ADE=∠CDF,AD=CD,∠EAD=∠C,可證△AED?艿△CFD,則DE=DF,可推知∠FED=45°. ∠AED=∠AEF+∠FED=45°+∠AEF,∠AGF=∠BAD+∠AEF=45°+∠AEF,所以∠AED=∠AGF.

      拓展視角二——線段最值探索

      線段最值也是中學(xué)幾何需要關(guān)注的重點(diǎn)問題,基于該模型同樣可以拓展出線段最值,模型中的內(nèi)嵌直角三角形沒有具體設(shè)定兩個(gè)非直角頂點(diǎn)的位置,因此兩頂點(diǎn)之間的距離是可變的,此時(shí)就可以基于問題條件來(lái)探索其線段最值.

      例2 ?如圖3所示,△ABC中∠A=90°,AB=AC=2,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),現(xiàn)以點(diǎn)D為端點(diǎn)引入兩條射線,分別與AB、AC相交于點(diǎn)E和F,若∠EDF=90°,試求線段EF的最小值.

      解析 ?分析模型中線段EF的最小值,連接AD,則AD為頂角∠A的角平分線,分別過點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G,DH⊥AC于點(diǎn)H,如圖3所示. 由角平分線到角兩邊的距離相等可得DG=DH,結(jié)合∠EDG=∠FDH可證△EDG≌△FDH,從而有DE=DF,則△DEF為等腰直角三角形.

      進(jìn)一步分析可知DG和DH均為△ABC的中位線,有DG=DH=1. 其中EF= ED,顯然EF的長(zhǎng)度直接由ED的長(zhǎng)度決定,根據(jù)垂線段最短原理可知,當(dāng)DE與DG相重合時(shí)DE的長(zhǎng)度最小,則EF取得最小值,此時(shí)EF= ED= ,即線段EF的最小值為 .

      拓展視角三——求多邊形面積

      分析上述復(fù)合模型,可知圖中含有兩類幾何圖形:三角形和四邊形,且利用不同的三角形可以組合出不同特征的四邊形. 結(jié)合中考試題??嫉拿娣e割補(bǔ)法可知根據(jù)該模型可以拓展出不規(guī)則四邊形的面積問題.

      例3 ?如圖4所示,△ABC為等腰直角三角形,其中∠A=90°,AB=AC,已知點(diǎn)D是底邊BC上的中點(diǎn),作DE⊥DF,與AB和AC分別相交于點(diǎn)E和F,若BC=4,試求四邊形AEDF的面積.

      解析 ?本題目以該模型為基礎(chǔ)求解不規(guī)則四邊形的面積,最為有效的方法是采用面積割補(bǔ)的方法,將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則三角形的組合,進(jìn)而利用三角形的面積公式來(lái)間接求解.

      連接AD,如圖4所示,則S =S +S ,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),則AD就是∠BAC的角平分線,根據(jù)條件可知△ADE?艿△CDF,則S =S ,故S =S +S =S ,即四邊形的面積與等腰直角三角形ADC的面積相等,則S = S = ×AD×CD=2,即四邊形AEDF的面積為2.

      上述是關(guān)于“等腰直角—內(nèi)嵌直角”模型的三種拓展視角的探究,形成了角關(guān)系分析、最值分析、面積求解、形狀判斷四類問題. 從其思路構(gòu)建的過程來(lái)看,三角形的性質(zhì)定理、判定定理、“三線合一”定理是核心知識(shí),等角轉(zhuǎn)化、模型構(gòu)建是常用的解題策略. 問題求解應(yīng)從模型的基本特征出發(fā),提取全等圖形,利用全等性質(zhì)來(lái)轉(zhuǎn)化、簡(jiǎn)化問題.

      關(guān)于模型問題的建議

      本文所探討的模型是初中幾何重要的問題模型,基于模型形成的問題也是中學(xué)階段需要學(xué)生重點(diǎn)掌握的類型題,下面基于模型問題提出幾點(diǎn)教學(xué)建議.

      1. 重視幾何模型研究

      上述基于幾何模型進(jìn)行了三大問題拓展,形成了較為系統(tǒng)的解題思路,對(duì)于后續(xù)復(fù)合問題的求解有著一定的幫助. 實(shí)則很多中考試題就是基于教材中的幾何模型而構(gòu)建的,若能合理地對(duì)原始模型加以拓展探究,則可以使學(xué)生充分把握類型問題的本質(zhì),掌握問題突破的方法和技巧,同時(shí)對(duì)模型的遷移思路和變式方法也有助于提升學(xué)生的思維. 因此在實(shí)際教學(xué)中需要教師重視研究教材的幾何模型,挖掘原始模型的教學(xué)價(jià)值,實(shí)現(xiàn)教材知識(shí)與考題的鏈接,提升學(xué)生解題的靈活性.

      2. 加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模教學(xué)

      復(fù)合模型是多個(gè)基本圖形的綜合,故模型具有基本圖形的性質(zhì)特征,因此研究幾何模型應(yīng)立足基礎(chǔ)圖形,關(guān)注圖形的基本性質(zhì)和研究方法. 以上述復(fù)合模型為例,其中涉及常見的等腰三角形和直角三角形,其性質(zhì)定理和判定方法是復(fù)合模型問題求解的基礎(chǔ). 因此教師應(yīng)加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模教學(xué),以基本圖形為依托,引導(dǎo)學(xué)生掌握探究圖形的方法,逐步提升學(xué)生的模型思維,積累數(shù)學(xué)建模經(jīng)驗(yàn).

      3. 強(qiáng)化幾何推理教學(xué)

      模型問題的求解過程就是幾何推理過程,在該過程中需要學(xué)生調(diào)用幾何知識(shí)和分析方法來(lái)轉(zhuǎn)化問題,構(gòu)建思路,學(xué)生的推理能力將直接決定解題效率. 因此,在幾何教學(xué)中需要教師引導(dǎo)學(xué)生分析條件與結(jié)論之間的關(guān)聯(lián),使學(xué)生掌握幾何探究的方法,提升學(xué)生的推理能力. 具體教學(xué)時(shí)可以采用變式拓展的方法,通過對(duì)問題的結(jié)構(gòu)重組和條件變化來(lái)引導(dǎo)學(xué)生做出猜想,推理論證,激發(fā)學(xué)生的探索興趣,提升學(xué)生思維的邏輯性和嚴(yán)密性.

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