初中幾何最值問(wèn)題解法探究

成政榮

[摘 ?要] 數(shù)學(xué)教學(xué)已經(jīng)面臨著核心素養(yǎng)培育的需要，在幾何最值問(wèn)題的教學(xué)中如何兼顧學(xué)生的解題能力與核心素養(yǎng)，值得思考. 基于核心素養(yǎng)培育的需要，對(duì)初中幾何最值問(wèn)題解法的探究，主要分兩步進(jìn)行：第一步是給學(xué)生提供一些基本的最值問(wèn)題;第二步是讓學(xué)生進(jìn)行總結(jié). 總結(jié)的目的在于分類，以及分類基礎(chǔ)上的方法總結(jié). 初中幾何最值問(wèn)題的方法探究，一定要面向?qū)W生，面向?qū)W生的思維，這有利于核心素養(yǎng)強(qiáng)調(diào)的關(guān)鍵能力的落地.

[關(guān)鍵詞] 初中幾何;最值問(wèn)題;解法探究

初中幾何知識(shí)體系中，最值問(wèn)題是一個(gè)重要的知識(shí)領(lǐng)域，其不僅與幾何知識(shí)有關(guān)，更與數(shù)學(xué)思維有關(guān)，其既在教材上明確出現(xiàn)，同時(shí)又是中考的重要內(nèi)容. 因此，無(wú)論是教師還是學(xué)生，對(duì)幾何最值問(wèn)題常常都是高度關(guān)注的. 從學(xué)生的角度來(lái)看，由于最值問(wèn)題常常不知道“最”在哪里，因而學(xué)生在解題的時(shí)候，常常不像其他類型的題目那樣心里有數(shù)，也因而客觀上造成了學(xué)生解題時(shí)的心理緊張、無(wú)序等情形. 在解決這一問(wèn)題的過(guò)程中，有數(shù)學(xué)教師嘗試從方法總結(jié)的角度去尋求一類解法，這從應(yīng)試效果角度來(lái)看有一定的作用，但學(xué)生總感覺(jué)自己學(xué)到的是一技之法，而不是對(duì)幾何最值問(wèn)題的完整認(rèn)知. 今天的數(shù)學(xué)教學(xué)已經(jīng)面臨著核心素養(yǎng)培育的需要，在幾何最值問(wèn)題的教學(xué)中如何兼顧學(xué)生的解題能力與核心素養(yǎng)，成為筆者重點(diǎn)思考的問(wèn)題. 下面就針對(duì)幾何最值問(wèn)題解法的探究，談?wù)劰P者的一些淺顯觀點(diǎn).

初中幾何最值問(wèn)題概述

總體而言，初中幾何最值問(wèn)題因?yàn)槟軌蚓C合地考查包括二次函數(shù)以及軸對(duì)稱、一次函數(shù)、特殊三角形、相似三角形、特殊四邊形、圓等重要知識(shí)，具有較強(qiáng)的靈活性、創(chuàng)新性和挑戰(zhàn)性，故一直備受全國(guó)各地中考命題者的青睞. 但是命題者在享受出題成功的同時(shí)，往往較少考慮到學(xué)生會(huì)經(jīng)過(guò)什么樣的思維過(guò)程，才能達(dá)到問(wèn)題解決、素養(yǎng)提升的效果，而站在核心素養(yǎng)培育的背景之下，對(duì)初中幾何最值問(wèn)題的進(jìn)一步闡述，顯然是非常必要的.

如上所說(shuō)，幾何最值問(wèn)題考查的知識(shí)點(diǎn)涵蓋如上那些方面，有同行從知識(shí)分類的角度去實(shí)現(xiàn)解題方法的歸類，筆者以為是值得商榷的. 因?yàn)椴煌闹R(shí)點(diǎn)中，最值問(wèn)題解決的思路未必相同，而不同的知識(shí)點(diǎn)中，最值問(wèn)題的解題思路卻有可能相近，因此從方法角度去對(duì)最值問(wèn)題進(jìn)行分類更加可行. 但是這里又存在一個(gè)挑戰(zhàn)，那就是對(duì)于初中學(xué)生而言，數(shù)學(xué)方法、解題方法的形成與歸類原本就不容易，其歸類結(jié)果有可能班上只有三分之一左右的學(xué)生能夠明白，這就給面向整體教學(xué)帶來(lái)了難度.

在這樣的背景之下，筆者在教學(xué)中當(dāng)遇到幾何最值問(wèn)題時(shí)，在很長(zhǎng)的一段時(shí)間里，都不給學(xué)生進(jìn)行知識(shí)或者方法上的分類，而只是強(qiáng)調(diào)一道題目的提供與解法的形成. 這從解題心理的角度來(lái)看，其實(shí)是比較合適的，原因就在于幾何最值問(wèn)題對(duì)于學(xué)生而言，其實(shí)是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)非常缺乏的知識(shí)點(diǎn)，而經(jīng)驗(yàn)缺乏就意味著需要積累，遇到一題就分析一題，解決一題就記住一題，這就是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)積累的過(guò)程，所積累的經(jīng)驗(yàn)不僅包括知識(shí)點(diǎn)上的認(rèn)識(shí)，也包括解題方法上的積累. 等到積累到一定的程度，那學(xué)生就會(huì)對(duì)幾何最值問(wèn)題產(chǎn)生一定的直覺(jué)，這種直覺(jué)是進(jìn)一步提升的基礎(chǔ).

結(jié)合該問(wèn)題在中考試卷上的體現(xiàn)，通過(guò)研究也可以發(fā)現(xiàn)，幾何最值問(wèn)題近年來(lái)確實(shí)頗受各地中考命題者所青睞，而且向著多形式的題型發(fā)展，并有拓寬和加深的趨勢(shì). 這類問(wèn)題涉及的知識(shí)面廣，綜合性強(qiáng)，要求解題者具有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化能力和創(chuàng)新意識(shí). 這種數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化能力和創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)，是上述經(jīng)驗(yàn)積累到一定程度之后的必然之舉.

初中幾何最值問(wèn)題解法

基于以上分析，基于核心素養(yǎng)培育的需要，對(duì)初中幾何最值問(wèn)題解法的探究，主要分兩步進(jìn)行：

第一步是給學(xué)生提供一些基本的最值問(wèn)題——這里所說(shuō)的基本，其判斷依據(jù)是學(xué)生能夠在解題之后，形成一定的方法認(rèn)知. 這些基本題當(dāng)中，簡(jiǎn)單如將軍飲馬問(wèn)題，學(xué)生一旦成功解決就能夠意識(shí)到軸對(duì)稱知識(shí)在其中所發(fā)揮的關(guān)鍵作用;而略微復(fù)雜一點(diǎn)的則來(lái)自各地的中考題.

例1 ?在邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC中，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AC邊上的一點(diǎn)（如圖1），則BE+DE的最小值是______.

這道題目的解決關(guān)鍵在于作出B點(diǎn)關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn). 所以從承上啟下的角度來(lái)看，這道題目既是對(duì)將軍飲馬問(wèn)題的升華，同時(shí)又強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)軸對(duì)稱知識(shí)在解決最值問(wèn)題中的認(rèn)識(shí)，實(shí)際上也就是強(qiáng)調(diào)了學(xué)生的方法認(rèn)知.

大量事實(shí)表明，通過(guò)這一步的努力，可以幫學(xué)生形成較為豐富的解決幾何最值問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，即使是中等偏下的學(xué)生，也能夠在成功解決問(wèn)題的過(guò)程中獲得方法上的認(rèn)知，這一認(rèn)知將為后面的分類以及方法提煉奠定基礎(chǔ).

第二步是讓學(xué)生進(jìn)行總結(jié). 總結(jié)的目的在于分類，以及分類基礎(chǔ)上的方法總結(jié).

基于循序漸進(jìn)的原則，對(duì)學(xué)生進(jìn)行最值問(wèn)題的訓(xùn)練，可以由“靜”向“動(dòng)”，譬如給學(xué)生呈現(xiàn)這樣的例題：

例2 ?如圖2，已知四邊形ABCD中，∠A=90°，AB=3 ，AD=3，且點(diǎn)M，N分別為線段BC，AB上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)，但M與B不重合），點(diǎn)E和F分別是DM，MN的中點(diǎn)，EF的長(zhǎng)度有無(wú)最大值或最小值？其結(jié)果是多少？

這一題目的難度，在于最值是由動(dòng)點(diǎn)引起的，而且要判斷最值是最大值，還是最小值. 難度的提升意味著學(xué)生的思維有了更大的挑戰(zhàn)，同時(shí)也意味著思維有了更大的空間. 借助于輔助線，如連接圖中的DN等，可以完成問(wèn)題的求解. 而在方法的總結(jié)與反思中，需要學(xué)生認(rèn)識(shí)到構(gòu)建△MND，并借助于三角形的中位線定理，從而將求EF的最值轉(zhuǎn)化為求DN的最值，然后去判斷其是最大值還是最小值.

通過(guò)以上分析可以看出，在初中幾何最值問(wèn)題中，不管題目怎樣變化，最值問(wèn)題最終涉及的就是這樣一些知識(shí)點(diǎn)：垂線段最短、兩點(diǎn)之間線段最短、動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)最遠(yuǎn)（近）時(shí)距離最大（?。?、動(dòng)點(diǎn)與定直線最遠(yuǎn)（近）時(shí)距離最大（?。⒁淮魏瘮?shù)、二次函數(shù)在某個(gè)范圍內(nèi)具有最大（?。┲档? 基于這種知識(shí)分類走向方法分類，則可以發(fā)現(xiàn)幾何最值問(wèn)題常見(jiàn)的有兩種：兩點(diǎn)之間線段最短和直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的連線中，垂線段最短，這是我們解決幾何最值問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)和歸宿. 而最終總結(jié)出的方法則是：直接解決法（對(duì)于基礎(chǔ)的最值問(wèn)題，如將軍飲馬問(wèn)題），轉(zhuǎn)換法（如上述例2），數(shù)形結(jié)合法（通常與二次函數(shù)相關(guān)）……

特別需要指出的是，這些方法一定要經(jīng)由上述兩個(gè)步驟，讓學(xué)生在體驗(yàn)的過(guò)程中不斷地去總結(jié)和反思，只有當(dāng)方法屬于學(xué)生時(shí)，學(xué)生才會(huì)在遇到新題目的情況之下，有意識(shí)地調(diào)用自己所總結(jié)出的方法去主動(dòng)解題. 如果不尊重學(xué)生在方法總結(jié)中的自主性，那無(wú)論教師多么努力，都不能保證學(xué)生在遇到新題目時(shí)能夠得心應(yīng)手.

面向?qū)W生思維實(shí)施教學(xué)

說(shuō)白了，強(qiáng)調(diào)學(xué)生在解決幾何最值問(wèn)題過(guò)程中的方法自主總結(jié)，其實(shí)是強(qiáng)調(diào)學(xué)生在解決此類問(wèn)題中的思維培養(yǎng). 如同本文一開(kāi)頭所說(shuō)的那樣，幾何最值問(wèn)題與其他類型的習(xí)題并不相同，除了一些最基本的最值問(wèn)題可以直覺(jué)性地形成反應(yīng)之外，絕大部分題目都需要學(xué)生均有一定的思考，才能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決的方向. 作為教師，常常會(huì)為學(xué)生在解題無(wú)序時(shí)的著急而施以援手，但這種幫忙并不利于培養(yǎng)學(xué)生的思維. 因此在實(shí)際教學(xué)中，筆者還是傾向于讓學(xué)生去自主探究，自己總結(jié)最值問(wèn)題的解法.

根據(jù)筆者的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生在總結(jié)的過(guò)程中，可能會(huì)有一個(gè)比較膚淺的過(guò)程. 學(xué)生總結(jié)的時(shí)候，大多只會(huì)想到“兩點(diǎn)之間線段最短”“點(diǎn)到直線的距離垂線段最短”及“平面內(nèi)一點(diǎn)與圓上各點(diǎn)連線中，到過(guò)該點(diǎn)和圓心的直線與圓的近交點(diǎn)距離最短、遠(yuǎn)交點(diǎn)距離最長(zhǎng)”等，這些結(jié)論實(shí)際上是針對(duì)具體題目總結(jié)出來(lái)的，不具有一定的概括性，但是教師這個(gè)時(shí)候必須冷靜，不能急于求成而去拔苗助長(zhǎng)，最好的做法應(yīng)當(dāng)是給他們更多的題目——這些題目教師必須精選，主要的目的是豐富他們?cè)械恼J(rèn)識(shí). 可以肯定地講，當(dāng)學(xué)生對(duì)一道題目進(jìn)行了總結(jié)之后，這道題目在學(xué)生大腦中的印象一般是深刻的，此時(shí)教師基于變式教學(xué)的思路，給學(xué)生提供一些變式題目，就可以豐富學(xué)生的認(rèn)識(shí)，從而讓他們總結(jié)出求線段或線段和、差的最值問(wèn)題，及其相關(guān)的思路. 事實(shí)上，學(xué)生在這樣的過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)，比如有些題目看起來(lái)與函數(shù)無(wú)關(guān)，但是如果構(gòu)造出了二次函數(shù)，就可以利用函數(shù)性質(zhì)求最值. 這就是一種了不起的方法總結(jié)與發(fā)現(xiàn)，學(xué)生掌握的是幾何最值問(wèn)題的解決方法，培養(yǎng)的是自身的思維.

總體而言，初中幾何最值問(wèn)題的方法探究，一定要面向?qū)W生，面向?qū)W生的思維，不追求學(xué)生記住方法的名稱，而追求學(xué)生在遇到不同類型的最值問(wèn)題時(shí)，都能夠有所感悟，是這一內(nèi)容的教學(xué)的最佳思路，有利于核心素養(yǎng)強(qiáng)調(diào)的關(guān)鍵能力的落地.