正項(xiàng)級數(shù)的收斂性問題研究

曾春花 余英

摘 要 本文對正項(xiàng)級數(shù)的收斂性方法進(jìn)行了總結(jié)，并舉例說明了這些方法在解題中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞 正項(xiàng)級數(shù) 收斂 發(fā)散

數(shù)項(xiàng)級數(shù)是表示函數(shù)的一個(gè)形式，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析和高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，而正項(xiàng)級數(shù)是數(shù)項(xiàng)級數(shù)里最基本的級數(shù)。對于正項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別是學(xué)習(xí)正項(xiàng)級數(shù)的的重要內(nèi)容，判別數(shù)項(xiàng)級數(shù)的常用方法有比較判別法、比值判別法、根值判別法、積分判別法等，在文獻(xiàn)[3，4]中對正項(xiàng)級數(shù)的斂散性問題進(jìn)行了討論，本文將對正項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別法進(jìn)行總結(jié)及其比較，并舉例說明了這些方法在解題中的應(yīng)用。

1正項(xiàng)級數(shù)收斂性的判別方法

1.1比較判別法

設(shè)和都是正項(xiàng)級數(shù) 且。

若收斂，則收斂;若發(fā)散，則發(fā)散。

1.2比值審斂法

若正項(xiàng)級數(shù)滿足，則當(dāng)時(shí)級數(shù)收斂;

當(dāng)（或）時(shí)級數(shù)發(fā)散，當(dāng)時(shí)級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。

1.3根值審斂法

若正項(xiàng)級數(shù)滿足，則當(dāng)時(shí)級數(shù)收斂;

當(dāng)（或）時(shí)級數(shù)發(fā)散。當(dāng)時(shí)級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。

1.4 p-判別法

設(shè)為正項(xiàng)級數(shù) 滿足，則

（1）如果而則級數(shù)發(fā)散;

（2）如果，而則級數(shù)收斂。

1.5積分判別法

設(shè)在區(qū)間上函數(shù)且單調(diào)遞減。則正項(xiàng)級數(shù)與積分共斂散。

1.6拉貝判別法

若為正項(xiàng)級數(shù)，且存在某正整數(shù)及常數(shù)，

（1）如果對一切，成立不等式則級數(shù)收斂;

（2）如果對一切，成立不等式，級數(shù)發(fā)散。

2判別法的應(yīng)用

級數(shù)收斂的必要條件是其通項(xiàng)趨于0，因此如果通項(xiàng)不趨于0，級數(shù)一定發(fā)散。但是注意此條件是必要非充分條件，若通項(xiàng)趨于0的級數(shù)未必收斂，再考慮用定義或判別法來判別級數(shù)的斂散性。在判別收斂性時(shí)，要熟記一些重要級數(shù)的收斂性，如級數(shù)當(dāng)時(shí)發(fā)散，當(dāng)時(shí)收斂; 幾何級數(shù)當(dāng)時(shí)發(fā)散;當(dāng)時(shí)收斂。

例1：判別級數(shù)的斂散性。

分析：首先判別此級數(shù)的通項(xiàng)極限是否為0。

解： 由于，得此級數(shù)通項(xiàng)的極限不為零，根據(jù)收斂級數(shù)的必要條件級數(shù)通項(xiàng)的極限必為零，知此級數(shù)發(fā)散。

例2：判斷級數(shù)的斂散性。

分析：此級數(shù)容易想到用比較判別法來做。

解：當(dāng)時(shí)，，而等比級數(shù)收斂，由比較判別得級數(shù)收斂。

例3：判斷級數(shù)的斂散性。

分析：此極限比較法、比值法、根值法都不能判別，這時(shí)考慮積分判別法。

解：函數(shù)在非負(fù)遞減，而此積分發(fā)散，由積分判別法得原級數(shù)發(fā)散。

例4：判斷級數(shù)的斂散性 ， 其中。

解：當(dāng)時(shí)，有，而級數(shù)收斂，由比較判別法得原級數(shù)在時(shí)收斂;當(dāng)時(shí)，有，收斂級數(shù)的必要條件級數(shù)通項(xiàng)的極限必為零，知此級數(shù)在時(shí)發(fā)散。

例5：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且。試證明：

（1）若，則級數(shù)發(fā)散;

（2）若，則級數(shù)收斂。

證明：把函數(shù)在點(diǎn)展開成帶二階Lagrange型余項(xiàng)的Maclaurin公式，有， 介于 0與 之間，則

（1）若，則當(dāng)充分大時(shí) 不變號(hào)，可認(rèn)為 是同號(hào)級數(shù)，可用正項(xiàng)級數(shù)的判別法進(jìn)行判別。有當(dāng)時(shí)，，得，，由p-判別法得此級數(shù)發(fā)散;

（2）若，注意到在點(diǎn)連續(xù)，在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有界，存在正數(shù)，使得，于是，而p級數(shù)收斂，由比較判別法得此級數(shù)收斂。

3總結(jié)

當(dāng)遇到判別正項(xiàng)級數(shù)收斂性問題時(shí)，首先考慮收斂級數(shù)的必要條件是否滿足，級數(shù)的通項(xiàng)是否趨于零，若不趨于零級數(shù)發(fā)散。若趨于零則考慮用比較判別法，通過觀察是否容易找出對比的級數(shù);若通項(xiàng)里有階乘的因式，則優(yōu)先考慮用比值判別法;若通項(xiàng)里有次冪的因式，則優(yōu)先考慮用根值判別法;最后再考慮用積分判別法等其他方法來判別。在判別過程中，需熟記一些重要級數(shù)的收斂性，對解決收斂性問題會(huì)事半功倍。

參考文獻(xiàn)

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