直線參數(shù)方程在解析幾何中的應(yīng)用

王晨曦

摘 要 參數(shù)是解析幾何中常見(jiàn)的元素，參數(shù)方程在解決高中數(shù)學(xué)解析幾何題時(shí)有著意想不到的效果，例如利用參數(shù)方程可以求解軌跡問(wèn)題、定點(diǎn)定值問(wèn)題、最值問(wèn)題等等，這些問(wèn)題的綜合性及應(yīng)用性都很強(qiáng)，因而參數(shù)方程的學(xué)習(xí)十分必要。

關(guān)鍵詞 相交弦長(zhǎng)及中點(diǎn)問(wèn)題 最值問(wèn)題 共圓問(wèn)題 軌跡方程

定理：設(shè)直線過(guò)定點(diǎn)，且傾斜角為、，是上的動(dòng)點(diǎn)，則直線的一個(gè)參數(shù)方程為

其中為直線的傾斜角，參數(shù)的幾何意義是，即有向線段的數(shù)量，我們稱之為是定點(diǎn)到定點(diǎn)的有向距離，其中，當(dāng)在點(diǎn)上方時(shí)，，當(dāng)在點(diǎn)下方時(shí)，。

那我們來(lái)看看直線參數(shù)方程中可以解答的幾種問(wèn)題。

1相交弦長(zhǎng)及中點(diǎn)問(wèn)題

例1：（2016年江蘇）平面直角坐標(biāo)系中，已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），橢圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），設(shè)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)。

解法一：把直線、橢圓參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求解。

解法二：因?yàn)橹本€參數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)形式，且過(guò)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，可得橢圓方程為，將直線參數(shù)方程代入到橢圓方程，可得，得，，故

一般經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角為直線參數(shù)方程為（為參數(shù)），若、為直線上兩點(diǎn)，對(duì)應(yīng)參數(shù)為，線段中點(diǎn)為，所對(duì)應(yīng)參數(shù)。