皮之不存 毛將焉附
——對(duì)復(fù)習(xí)課《一次函數(shù)圖像畫法》的感悟

■甘肅省張掖市高臺(tái)縣城關(guān)初級(jí)中學(xué) 葉建生

一、三種畫法的綜合闡述

（一）多點(diǎn)法畫一次函數(shù)圖像

采用多點(diǎn)法畫一次函數(shù)圖像是學(xué)習(xí)一次函數(shù)圖像的基礎(chǔ),盡管比較煩瑣，但對(duì)于初學(xué)函數(shù)圖像的學(xué)習(xí)而言意義重大。其真正作用有四點(diǎn)：一是學(xué)生能通過多點(diǎn)法畫圖感悟到一次函數(shù)圖像的詳細(xì)形成過程，利于學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)的理解；二是學(xué)生能掌握畫函數(shù)圖像的基本方法（列表、描點(diǎn)、連線），為今后反比例函數(shù)圖像學(xué)習(xí)和二次函數(shù)圖像學(xué)習(xí)做鋪墊；三是學(xué)生通過細(xì)致的作圖過程，能夠形象化地觀察到函數(shù)圖像上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的變化情況，深刻理解函數(shù)圖像的實(shí)質(zhì)；四是學(xué)生通過對(duì)不同k、b 值的一次函數(shù)作圖，理解y=kx+b(k≠0,k、b 為常數(shù))中k、b 兩個(gè)元素對(duì)于函數(shù)圖像的影響。

（二）兩點(diǎn)法畫一次函數(shù)圖像

兩點(diǎn)法畫一次函數(shù)的圖像的理論依據(jù)是“兩點(diǎn)確定一條直線”。從這個(gè)層面講，我們可以提前讓學(xué)生模糊地體會(huì)到代數(shù)知識(shí)與幾何知識(shí)的聯(lián)系（一次函數(shù)在高中階段歸類到解析幾何的范疇），這種影響是潛在的，便于學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系，對(duì)于幫助學(xué)生樹立大數(shù)學(xué)觀理念具有深遠(yuǎn)的意義。就兩點(diǎn)法畫一次函數(shù)圖像而言，究竟如何選取兩個(gè)點(diǎn)才最優(yōu)化？任意選還是找關(guān)鍵點(diǎn)？這就要求我們引導(dǎo)學(xué)生積極探究、深入討論，最終歸納、提煉出有效方案。課堂教學(xué)實(shí)踐證明，大部分學(xué)生能迅速有效選取圖像與x軸和y軸的交點(diǎn)為最佳點(diǎn)。因?yàn)榕cx軸的交點(diǎn)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0。

（三）簡(jiǎn)易法畫一次函數(shù)圖像

簡(jiǎn)易法畫一次函數(shù)圖像，其主要體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思維是逆向思維。也就是說，在學(xué)生充分掌握y=kx+b(k≠0,k、b 為常數(shù))中k、b 兩個(gè)元素意義的前提下，簡(jiǎn)潔、快速地畫出一次函數(shù)的草圖，有利于學(xué)生解決實(shí)際數(shù)學(xué)問題。在平時(shí)的練習(xí)題或綜合測(cè)試題中，往往需要我們畫出一次函數(shù)草圖來解決問題，而沒必要畫出精確圖形。從另一個(gè)側(cè)面看，學(xué)生能否快速根據(jù)一次函數(shù)表達(dá)式確定出圖像所經(jīng)過的象限，也是檢驗(yàn)學(xué)生是否掌握好本知識(shí)點(diǎn)的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)。

二、三種畫法的實(shí)際解題價(jià)值

（一）三種畫法的關(guān)系

多點(diǎn)法、兩點(diǎn)法、簡(jiǎn)易法三種畫圖方法之間存在緊密的內(nèi)在聯(lián)系，猶如新課標(biāo)中提到的知識(shí)、能力和技能三者的關(guān)系一樣。多點(diǎn)法是畫圖基礎(chǔ)；兩點(diǎn)法是畫圖能力提升；簡(jiǎn)易法則是畫圖技能展現(xiàn)。這三種畫法，由簡(jiǎn)單向難自然過渡，體現(xiàn)了知識(shí)的層層遞進(jìn)性，這從根本上也符合初中學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知習(xí)慣。

（二）三種畫法在解題過程中的實(shí)效價(jià)值

從整個(gè)初中數(shù)學(xué)教材編排順序來看，一次函數(shù)的學(xué)習(xí)放到了初中函數(shù)類知識(shí)學(xué)習(xí)的最前面，這符合學(xué)生的思維習(xí)慣。因?yàn)?，一次函?shù)圖像的畫法可為其他類函數(shù)圖像的畫法提供參考，能對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)其他函數(shù)圖像時(shí)起到觸類旁通的作用。

單就本節(jié)課一次函數(shù)圖像的三種畫法來看，多點(diǎn)法是精確畫法，要求學(xué)生能夠熟練掌握。學(xué)生掌握好它的現(xiàn)實(shí)意義在于能夠直觀地感受到直線上點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的變化，同時(shí)也能感受到一次函數(shù)表達(dá)式中k 值對(duì)于圖像的影響。即：k 的值關(guān)系到直線的傾斜程度（也就是高中知識(shí)所談到的斜率）。當(dāng)然，對(duì)初中學(xué)生，我們不直接說出斜率這個(gè)概念，我們僅要求學(xué)生了解一下。譬如在給學(xué)生解釋k的意義時(shí)，我采取兩種解釋方法，一種方法是k＞0，圖像必經(jīng)過一、三象限，k＜0,圖像必經(jīng)過二、四象限。第二種方法是k＞0，直線與x軸正方向的交角是銳角，k＜0，直線與x軸的交角是鈍角。這樣解釋的好處在于便于學(xué)生理解和掌握，同時(shí)也為高中知識(shí)中直線斜率的提出埋下了伏筆。如下圖：

（k＞0時(shí)，直線必經(jīng)過一、三象限）

（k＞0時(shí)，直線與x軸正方向的交角是銳角）

（k＜0，直線必經(jīng)過二、四象限）

（k＞0時(shí)，直線與x軸正方向的交角是鈍角）

兩點(diǎn)法在學(xué)生解決實(shí)際數(shù)學(xué)題目中應(yīng)用較廣，掌握它的意義在于既不像多點(diǎn)法作圖那樣煩瑣，又不像簡(jiǎn)易法作圖那樣隨意，介于兩者之間。它能使復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，簡(jiǎn)單的問題具體化。尤其是直線與x軸和y軸的兩個(gè)交點(diǎn)，更能體現(xiàn)兩點(diǎn)法畫一次函數(shù)圖像的精髓。兩點(diǎn)已確定，直線位置隨之確定，直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形也隨之確定，可謂一箭雙雕。其實(shí)，在解決一次函數(shù)簡(jiǎn)單題目或綜合性題目的過程中，我們發(fā)現(xiàn)應(yīng)用最多的還是簡(jiǎn)易法畫一次函數(shù)的草圖。畫函數(shù)圖像的草圖最直接的感受就是有效提高解題速度。當(dāng)然，前提是學(xué)生必須真正掌握一次函數(shù)表達(dá)式中k、b的意義。簡(jiǎn)易法作圖是一次函數(shù)作圖學(xué)習(xí)中的神來之筆，即考查了學(xué)生掌握一次函數(shù)基本知識(shí)的程度，又考查了學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決問題的能力。

三、三種畫法的教學(xué)感悟

（一）更加清醒地認(rèn)識(shí)到本節(jié)課在本章中的地位

一次函數(shù)圖像畫法的復(fù)習(xí)課結(jié)束后，我進(jìn)一步體會(huì)到本節(jié)課在本章知識(shí)學(xué)習(xí)中的重要作用,因?yàn)橹挥姓莆樟撕瘮?shù)圖像的畫法,學(xué)生才能夠深刻理解函數(shù)的性質(zhì),從而為一次函數(shù)更高層次的學(xué)習(xí)夯實(shí)基礎(chǔ)。如：一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系；一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系；一次函數(shù)與反比例函數(shù)、二次函數(shù)的綜合題的解答等，都特別強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)法和簡(jiǎn)易法畫一次函數(shù)圖像的重要性。

（二）我的教學(xué)設(shè)計(jì)感悟

我在設(shè)計(jì)本節(jié)課時(shí)，仔細(xì)研究了新課標(biāo)，認(rèn)為本節(jié)的重點(diǎn)是：一是通過列表、描點(diǎn)、連線教會(huì)學(xué)生用多點(diǎn)法畫一次函數(shù)的圖像，并與學(xué)生一起總結(jié)一次函數(shù)圖像的相關(guān)性質(zhì)。二是讓學(xué)生理解圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)表達(dá)式之間的關(guān)系。三是引導(dǎo)學(xué)生熟練掌握用兩點(diǎn)法和簡(jiǎn)易法畫一次函數(shù)圖像。

教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)，我分為五步：

1.通過學(xué)生閱讀課本，初步理解函數(shù)圖像的畫法，并通過舉例讓學(xué)生了解學(xué)習(xí)函數(shù)圖像畫法的重要作用。

2.通過實(shí)例向?qū)W生展示如何精確畫一個(gè)一次函數(shù)的圖像,并引導(dǎo)學(xué)生從中總結(jié)出利用多點(diǎn)法畫函數(shù)圖像的一般步驟。并先由學(xué)生歸納，后由教師總結(jié)出畫函數(shù)的三個(gè)步驟:列表、描點(diǎn)、連線。

3.讓學(xué)生獨(dú)立完成例題畫圖，并從中發(fā)現(xiàn)學(xué)生在畫圖過程中可能存在的問題，做個(gè)別指導(dǎo)，并抽出典型問題進(jìn)行講解。

4.通過課件展示，一步步和學(xué)生共同探討畫一次函數(shù)圖像的另外兩種方法（兩點(diǎn)法和簡(jiǎn)易法）。

5.升華提高，利用課件很直觀地展示不同一次函數(shù)的圖像，進(jìn)一步幫助學(xué)生了解一次函數(shù)中k、b兩個(gè)元素對(duì)圖像的影響。

四、結(jié)語

在教學(xué)過程中，每節(jié)課總會(huì)有一些不盡如人意的地方。所以，如何有效調(diào)動(dòng)他們的學(xué)習(xí)參與積極性是我今后備課過程中要多思考的地方。此外，由于本節(jié)課設(shè)計(jì)量大，我講得太多，學(xué)生課堂練習(xí)相對(duì)較少，學(xué)生自主學(xué)習(xí)的時(shí)間和空間被抑制，以后要盡可能精選例題，由學(xué)生自己完成三種畫法的知識(shí)體系建構(gòu)。