韋達(dá)定理應(yīng)用的拓展

楊衛(wèi)劍 計惠方

(浙江省湖州市第五中學(xué)，313000)

一、通過換元構(gòu)造，變不對稱為對稱

評注通過換元構(gòu)造,變不對稱為對稱是解決本題的關(guān)鍵.

二、用根替換方程的系數(shù),變系數(shù)的范圍為根的范圍

例2如果a、b滿足條件2|a|<4+b,|b|<4,那么關(guān)于x的方程x2+ax+b=0的實根的取值范圍是( )

(A)(-2,2) (B)(-1,2)

(C)(-3,2) (D)(-3,3)

分析借助韋達(dá)定理，用根替換方程的系數(shù),由已知條件的系數(shù)范圍轉(zhuǎn)化為所求根的范圍.

解設(shè)方程x2+ax+b=0的兩根為α、β.則由韋達(dá)定理,得α+β=-a,αβ=b.

結(jié)合條件2|a|<4+b,|b|<4,有

2|α+β|<4+αβ，

①

|αβ|<4.

②

①式兩邊平方,得 4α2+4β2-α2β2-16<0,即 (4-α2)(4-β2)>0，所以α2<4,β2<4(若α2>4,β2>4則α2β2>16，與②式矛盾,舍去),故α、β∈(-2,2).

三、用方程的系數(shù)替換方程的根,變根的范圍為系數(shù)的范圍

例3若關(guān)于x的方程x2+ax+b-3=0(a、b∈R)在區(qū)間[1,2]上有實根,求a2+(b-4)2的最小值.

解由題意,不妨設(shè)方程的兩個根為α、β，且α∈[1,2],β∈R.

由韋達(dá)定理,得α+β=-a,αβ=b-3.

于是，a2+(b-4)2=(α+β)2+(αβ-1)2=α2β2+α2+β2+1=(α2+1)(β2+1).

結(jié)合α∈[1,2],β∈R,得α2+1∈[2,5],β2+1≥1.故當(dāng)且僅當(dāng)α=1,β=0,即a=-1,b=3時,a2+(b-4)2取得最小值2.

四、換元構(gòu)造方程，系數(shù)與根相互轉(zhuǎn)換