探秘題根在求解導(dǎo)數(shù)壓軸題中的作用

張國(guó)治 耿梁燕

(新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)第二中學(xué)，830002)

著名數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)先生在談起數(shù)學(xué)解題時(shí),曾說(shuō)過(guò)“題有千變,貴在有根”.以題根方式展開(kāi)教學(xué),旨在抓住解題思維入口,通過(guò)題根的變式拓展探求不同的解法,幫助學(xué)生理解問(wèn)題內(nèi)涵,總結(jié)歸納解題.本文以一道競(jìng)賽題為例,探源溯流,給出一類(lèi)競(jìng)賽題、高考題命題的題根,探索一種高效學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法,敬請(qǐng)同行指正.[1]

題根(2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖南省預(yù)賽題)[2]已知a、b>0且a≠b.

評(píng)注第(1)問(wèn)為對(duì)數(shù)平均不等式，在近幾年的競(jìng)賽、高考中應(yīng)用非常廣泛，可簡(jiǎn)化問(wèn)題解答過(guò)程，開(kāi)辟了不等式證明的新路.下面舉例說(shuō)明該題根在競(jìng)賽、高考題中的應(yīng)用，幫助大家進(jìn)一步諳熟此類(lèi)問(wèn)題的命題過(guò)程.

(1)若m=-2時(shí),求f(x)的所有零點(diǎn);

(2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2,且x1e2.

解(1)略.

于是lnx1x2=lnx1+lnx2=m(x1+x2)>2,得x1x2>e2.

(1)若f(x)在(2,f(2))處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x-y=0平行,求實(shí)數(shù)n的值;

(2)試討論f(x)在[1,+∞)上的最大值;

(3)若n=1時(shí),f(x)恰有兩個(gè)零點(diǎn)x1、x2(02.

解(1)、(2)略.

(1)討論f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2,記過(guò)點(diǎn)A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直線(xiàn)斜率為k.問(wèn):是否存在a,使得k=2-a?若存在,求出a的值；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

例4(2018年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建省預(yù)賽題)[3]已知f(x)=ex-mx.

(1)當(dāng)x>0時(shí),不等式(x-2)f(x)+mx2+2>0恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

(2)若x1、x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),證明:x1+x2>2.

分析競(jìng)賽組提供的解答是利用第(1)問(wèn)的結(jié)論證明第(2)問(wèn),思路并不自然.若聯(lián)想到對(duì)數(shù)均值不等式，便有如下別具一格的解答，且第(2)問(wèn)的證明不依賴(lài)與第(1)問(wèn).

解(1)略.

(2)證法1f′(x)=ex-m,若m≤0,則f′(x)>0,f(x)在(-∞,+∞)單調(diào)增,至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意.若m>0,易見(jiàn)f(x)在(-∞,lnm)單調(diào)減,在(lnm,+∞)單調(diào)增,故f(x)min=f(lnm)=m(1-lnm).又x→-∞時(shí),f(x)→+∞；x→+∞時(shí),f(x)→+∞,故當(dāng)f(lnm)=m(1-lnm)<0，即m>e時(shí)，f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1、x2.不妨設(shè)x10,f(lnm)<0,結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理知0

評(píng)注本題中巧妙的換元,使得問(wèn)題迅速獲解,但關(guān)鍵是需要明確到函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)的條件.本文所提供的兩種解法均不同于標(biāo)準(zhǔn)解答,且解法都優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)解答，同時(shí)還可得到如下推廣：

推論2若x1、x2是f(x)=ex-mx(m>e)的兩個(gè)零點(diǎn),則2

變式(2016年全國(guó)高考題)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn).

(1)求a的取值范圍;

(2)設(shè)x1、x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),證明:x1+x2<2.

由平均不等式不難獲得問(wèn)題(2)的證明，限于篇幅，這里不再贅述.請(qǐng)讀者自行驗(yàn)證.

例5(2018年全國(guó)高考題)設(shè)函數(shù)

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2,證明:

解(1)略.

(2)由(1)知,f(x)存在極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)a>2.由于f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2滿(mǎn)足x2-ax+1=0,所以x1x2=1,x1+x2=a.

總之,研究“題根”對(duì)教學(xué)、命題和解題都有深遠(yuǎn)的意義,變幻多端的數(shù)學(xué)題目猶如蔥郁繁密的樹(shù)葉．看似難以捉摸,實(shí)則息息相關(guān),故而在研究問(wèn)題時(shí)應(yīng)撥開(kāi)層層枝葉,尋其根源.“題根”的這種由基礎(chǔ)到綜合、由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的教學(xué)方式既夯實(shí)了基礎(chǔ),符合“回歸題根”的學(xué)習(xí)理念,也滿(mǎn)足了不同學(xué)生的認(rèn)知需求,為學(xué)生的個(gè)性化發(fā)展提供了滋養(yǎng)的土壤.[1]