分類例說數(shù)列裂項(xiàng)求和的若干模型

程柳莎

(浙江省東陽市第二高級中學(xué)，322100)

模型1分母可因式分解的有理分式型

例1(2016年天津高考題)已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列,公差為d,對任意的n∈N*,bn是an和an+1的等比中項(xiàng).

(1)設(shè)cn=b2n+1-b2n,n∈N*,求證:{cn}是等差數(shù)列;

解(1)由題意得b2n=anan+1,從而cn=b2n+1-b2n=an+1an+2-anan+1=2dan+1,因此cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2,所以{cn}是等差數(shù)列.

模型2無理分式型

這種類型的特點(diǎn)是求和項(xiàng)an的分母為兩個(gè)根式之和,且平方差為一個(gè)非零常數(shù),通過分母有理化可得an=f(n)-f(n+1)，由此達(dá)到裂項(xiàng)求和的目的．例如，數(shù)列{an}是以常數(shù)d(d≠0)為公差的等差數(shù)列,且an≠0,則

例2(2019年浙江高考題)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a3=4,a4=S3.數(shù)列{bn}滿足:對每個(gè)n∈N*,Sn+bn、Sn+1+bn、Sn+2+bn成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式;

解(1)an=2n-2,bn=n2+n.(過程略)

模型3指數(shù)型

這種類型的特點(diǎn)是求和項(xiàng)的分子分母均含有指數(shù),且分母可以因式分解．例如，

例3(2015年安徽高考題)已知數(shù)列{an}是單調(diào)遞增的等比數(shù)列,且a1+a4=9,a2a3=8.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

解(1)an=2n-1.(過程略)

(2)由(1)可知a1=1,q=2.

模型4對數(shù)型

這類數(shù)列求和項(xiàng)的特點(diǎn)是對數(shù)的真數(shù)為分?jǐn)?shù)形式,通過對數(shù)運(yùn)算律可得an=f(n)-f(n+1)．例如，數(shù)列{an}滿足an>0,則有

解依題意，an=log2(n+1)-log2n,故Tn=log2(n+1)-log21=log2(n+1).

模型5階乘與組合數(shù)型

模型6三角函數(shù)型

由兩角差的正切公式，可得到tan(α-β)[1+tanαtanβ]=tanα-tanβ.

模型7含系數(shù)(-1)n型

此類型與模型1有些相似.例如，數(shù)列{an}滿足an≠0，則

例7(2014年山東高考題)已知等差數(shù)列{an}的公差為2，前n項(xiàng)和為Sn,且S1、S2、S4成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

解(1)an=2n-1.(過程略)

(2)由(1)知

模型8混合型

有些數(shù)列的通項(xiàng)可以通過以上幾種類型混合而成.

例8(2018年天津高考題)設(shè){an}是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*),{bn}是等差數(shù)列.已知a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6.

(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和為Tn(n∈N*).

(i)求Tn;

解(1)an=2n-1,bn=n.(過程略)

模型9遞推式型

有的數(shù)列遞推關(guān)系式已知，但不能直接求出數(shù)列的通項(xiàng)，也可以巧妙地裂成兩項(xiàng)之差的形式，以達(dá)到求和的目的.這種類型是考試中最常出現(xiàn)的類型，也是最容易掌握的類型，例如：