“算兩次”原理與“組合數(shù)”的完美邂逅

劉華榮

(江蘇省泰州市溱潼中學(xué),225508)

“算兩次”看似很通俗,教學(xué)中它卻可能被很多教師忽視甚至遺漏.學(xué)生在解題中偶有相遇,但大多不明其理,難究其因.其實“算兩次”原理并不“神秘”,它在公式的推導(dǎo)、理解、記憶,新知識的產(chǎn)生以及解題方法的探索等方面的運用是十分廣泛的,它體現(xiàn)了從兩個方面解決問題的數(shù)學(xué)方法,更重要是蘊藏著從不同角度看問題的轉(zhuǎn)換思想.當(dāng)你面對難題苦思冥想,一籌莫展時,“算兩次”總能出其不意,絕處逢生,給人以豁然開朗和屢建奇功之感.下面我們先認(rèn)識一下何為“算兩次”?

一、一見傾心——熟悉又陌生的“算兩次”

什么是算兩次?美國的數(shù)學(xué)家波利亞對“算兩次”原理是十分推崇的,他形象地將其比喻為“拋兩個錨安全系數(shù)更大”.波利亞說:“為了得到一個方程,我們必須把同一個量以兩種不同的方法表示出來”,也就是將一個量從不同的角度、用不同的形式“算兩次”,從而尋找相互的聯(lián)系或建立相等的關(guān)系,這就是“算兩次”原理,也叫“福比尼原理”.單墫教授在《算兩次》一書中,也將算兩次原理形象地比喻成“三步舞曲”.即從兩個方面考慮一個適當(dāng)?shù)牧?一方面…另一方面…綜合起來…如果一個數(shù)學(xué)研究對象具有雙重身份或兩面性,說明既滿足條件A,又滿足條件B,就可以考慮這種方法.

例如，課本中的等差數(shù)列的前n項和公式是這樣推導(dǎo)的:Sn=a1+a2+…+an=a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d]，

①

將各項次序反過來,Sn又可以這樣寫:

Sn=an+an-1+…+a1=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d].

②

此處用倒序相加對Sn進(jìn)行了兩次不同形式的計算,使用了“算兩次”的方法.

高中課本中“算兩次”的運用比比皆是,再如兩角和差余弦公式的推導(dǎo),等面積和三棱錐中等體積方法的運用,平面向量數(shù)量積的計算公式,圓錐曲線的不同定義,以及下面我們要研究的組合數(shù)相關(guān)問題，等等.

二、小試牛刀——用“算兩次”對組合數(shù)公式進(jìn)行理解

很多組合數(shù)恒等式的證明,如果僅僅利用組合數(shù)的定義和階乘運算來證明,枯燥無味,且很多學(xué)生會因陷入繁雜的計算而苦惱.我們可以用“算兩次”的方法對課本中常用公式加以解釋和理解.

(1)Cmn=Cm-nn理解為從n個學(xué)生中選取m個學(xué)生做班委，選法有Cmn種,從n個學(xué)生中選n-m個學(xué)生不做班委，選法有Cm-nn種,選上與剩下的一一對應(yīng),所以組合數(shù)相等.

(2)Cmn+Cm-1n=Cmn+1.可理解為某班包含學(xué)生甲共n+1人,現(xiàn)從n+1個學(xué)生中選取m個學(xué)生做班委有Cmn+1種,另從n+1個學(xué)生中選取m個學(xué)生做班委,m個班委中一定含甲的有Cm-1n種,一定沒有甲的有Cmn種,總數(shù)為Cmn+Cm-1n，所以Cmn+Cm+1n=Cmn+1.

(3)kCkn=nCk-1n-1.可 理解為從n個學(xué)生中先選k個學(xué)生做班委,再從k個班委中選一人做班長有kCkn種.換一個角度思考,若先選班長有C1n種,再從n-1個學(xué)生中選k-1個學(xué)生做班委有Ck-1n-1種,所以有C1nCk-1n-1=nCk-1n-1.

(4)C0n+C1n+C2n+…+Cnn=2n.可考察{a1,a2,…,an}中子集的個數(shù),先根據(jù)子集中含有元素的個數(shù)進(jìn)行分類,子集中含有零個元素有C0n種,子集中含有一個元素的有C1n種,子集中含有兩個元素的有C2n種,…子集中含有n個元素的有Cnn種， 子集總數(shù)為C0n+C1n+C2n+…+Cnn；從另一個角度理解,每一個元素成為子集的可能性都只有兩種,共n個元素,所以共有子集2n個.

組合數(shù)的推廣公式還有很多,它們多數(shù)可以用“算兩次”的原理去理解,此處就不再一一列舉了.教師在課堂上除了用嚴(yán)密的代數(shù)證明之外,若也能用“算兩次”的方法去解釋它們,可以激發(fā)學(xué)生的興趣,幫助理解,方便記憶,也為我們的課堂增添了色彩.

三、實戰(zhàn)演練——算兩次原理在組合解題中的運用

例1求值:C12 020+2C22 020+3C32 020…+2 020C2 0202 020.

解析令T=0C02 020+C12 020+2C22 020+3C32 020…+2 020C2 0202 020.

①

將① 倒序相加，得T=2 020C2 0202 020+2 019C2 0192 020+…+2C22 020+C12 020+0C02 020.

②

①+②，得2T=2 020(C02 020+C12 020+C22 020…+C2 0202 020)=2 020·22 020，

即T=2 020·22 019.本題也可以借助kCkn=nCk-1n-1公式化簡或構(gòu)造(1+x)2 020的展開式求導(dǎo)賦值也較為簡單,此處就不再贅述了.

變式1求值:C02 020+22C22 020+24C42 020+26C62 020…+22 020C2 0202 020.

解析根據(jù)給出式子的結(jié)構(gòu),嘗試構(gòu)造兩次二項式定理如下:

(1+2)2 020=C02 020+21C12 020+22C22 020+23C32 020…+22 020C2 0202 020.

①

(1-2)2 020=C02 020-21C12 020+22C22 020-23C32 020…+22 020C2 0202020.

②

變式2已知(1+x)2 020=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2 020x2 020,求a0+a2+a4··+a2 020.

解析采用兩次賦值法.先令x=1:22 020=a0+a1+a2+a3+…+a2 020；

①

再令x=-1:0=a0-a1+a2-a3+…+a2 020.

②

解析可考慮將其用二項式定理打開:

①

②

例2證明:(C0n)2+(C1n)2+(C2n)2+…+(Cnn)2=Cn2n(n∈N*).

解析二項式系數(shù)相乘的問題可以嘗試兩個二項式定理相乘,運用算兩次的原理,確定其為某指定一項的系數(shù),建立等價關(guān)系.考慮:

(1+x)n(1+x)n=(C0n+C1nx+C2nx2+…+Cnnxn)(C0n+C1nx+C2nx2+…+Cnnxn).

左邊(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n含xn的系數(shù)是:Cn2n；

右邊含xn的系數(shù)是:C0nCnn+C1nCn-1n+C2nCn-2n…+CnnC0n=(C0n)2+(C1n)2+(C2n)2+…+(Cnn)2.

所以(C0n)2+(C1n)2+(C2n)2+…+(Cnn)2=Cn2n.

變式1證明:C0nC1n+2C1nC2n+3C2nC3n+…rxCr-1nCrn+…+nCn-1nCnn=nCn-12n-1(n∈N*).

解析本題也可借助于算兩次原理,但在形式上增加了難度,考慮到二項式系數(shù)前面含有其他的系數(shù),可尋找公式將其處理.

法一由kCkn=nCk-1n-1，得

左邊=nC0nC0n-1+nC1nC1n-1+nC2nC2n-1+…+nCn-1nCn-1n-1

=n(C0nC0n-1+C1nC1n-1+C2nC2n-1+…+

Cn-1nCn-1n-1).

考慮:(1+x)n(1+x)n-1=(C0n+C1nx+C2nx2+…+Cnnxn)(C0n+C1nx+C2nx2+…+Cn-1n-1xn-1).

繼續(xù)借助算兩次原理,求得(1+x)n(1+x)n-1=(1+x)2n-1含xn-1的系數(shù)為Cn-12n-1.

而(C0n+C1nx+C2nx2+…+Cnnxn)(C0n-1+C1n-1x+C2n-1x2+…+Cn-1n-1xn-1)含xn-1的系數(shù)為:

=C0nCn-1n-1+C1nCn-2n-1+C2nCn-3n-1+…+Cn-1nC0n-1=C0nC0n-1+C1nC1n-1+C2nC2n-1+…+Cn-1nCn-1n-1.

所以C0nC0n-1+C1nC1n-1+C2nC2n-1+…+Cn-1nCn-1n-1=Cn-12n-1.

證得C0nC1n+2C1nC2n+3C2nC3n+…xCr-1nCrn+…+nCn-1nCnn=nCn-12n-1(n∈N*).

法二利用導(dǎo)數(shù),由二項式定理,(1+x)n=C0n+C1nx+C2nx2+C3nx3+…+Cnnxn，

①

兩邊求導(dǎo),得n(1+x)n-1=C1n+2C2nx+3C3nx2+…+nCnnxn-1.

②

①×②，得n(1+x)2n-1=(C0n+C1nx+C2nx2+…+Cnnxn)(C1n+2C2nx+3C3nx2+…+nCnnxn-1)

繼續(xù)運用算兩次原理,尋找含xn-1的系數(shù),就與上題相似了.

解析觀察發(fā)現(xiàn)本題較上一題組合數(shù)的下標(biāo)是m,m+1,m+2,m+n-1是變化的,構(gòu)造類似的代數(shù)式就于事無補了,于是嘗試構(gòu)造:

f(x)=(1+x)m+2(1+x)m+1+3(1+x)m+2+…+n(1+x)m+n-1(x≠0,x≠1).

此式各項展開式中含xm項的系數(shù)為Cmm+2Cmm+1+3Cmm+2+…+nCmm+n-1.繼續(xù)從另一個角度研究函數(shù)f(x),通過化簡繼續(xù)尋找含xm項的系數(shù),發(fā)現(xiàn)其可以借助錯位相減法進(jìn)行合并.

f(x)=(1+x)m+2(1+x)m+1+3(1+x)m+2+…+n(1+x)m+n-1①,左右兩邊同乘1+x，得

(1+x)f(x)=(1+x)m+1+2(1+x)m+2+3(1+x)m+3+…+n(1+x)m+n.

②

①-②，得-xf(x)=(1+x)m+(1+x)m+1+(1+x)m+2+…+(1+x)m+n-1-(1+x)m+n

求得f(x)=

f(x)中含有xm項的系數(shù)，即為其分子中含xm+2的系數(shù),即nCm+1m+n-Cm+2m+n,繼續(xù)化簡.

而nCm+1m+n-Cm+2m+n

得證.

筆者通過對“算兩次”原理粗略地研究發(fā)現(xiàn),課本中很多的定義、公式、表示法的多樣性體現(xiàn)了“算兩次”思維的靈活性.教學(xué)中我們不可一味地灌輸知識,苦戰(zhàn)題海.教者應(yīng)該不斷挖掘教材潛能,不僅要觸類,更要精通.要努力于引導(dǎo)學(xué)生主動分析問題的背景結(jié)構(gòu),嘗試解決的途徑,提煉解決問題的新原理、新方法,才能更多地拓展新知識,探索新領(lǐng)域.