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    滲透數(shù)學(xué)思想 凸顯核心素養(yǎng)
    ——以2019年高考三角函數(shù)試題為例

    2020-05-03 03:59:00劉玉文
    關(guān)鍵詞:本題整體公式

    劉玉文

    (甘肅省武威第十六中學(xué),733018)

    數(shù)學(xué)思想是分析、處理和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的根本想法,是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn),它是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中逐步形成的,是具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的知識(shí)、能力和思維品質(zhì).數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的核心部分,數(shù)學(xué)思想貫穿在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中.許多三角函數(shù)問(wèn)題,若能靈活運(yùn)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想,往往能快速、準(zhǔn)確地找到解題思路,從而得到便捷的解法.本文以2019年高考三角函數(shù)試題為例,說(shuō)明數(shù)學(xué)思想在三角函數(shù)中的運(yùn)用以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的凸顯.

    一、數(shù)形結(jié)合思想

    數(shù)形結(jié)合可以使抽象的、復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系,通過(guò)幾何圖形直觀地表現(xiàn)出來(lái).在學(xué)習(xí)三角函數(shù)的過(guò)程中,應(yīng)把三角函數(shù)的性質(zhì)融于函數(shù)的圖形之中,充分利用三角函數(shù)的圖象來(lái)解決問(wèn)題.

    (A)f(x)=|cos 2x|

    (B)f(x)=|sin 2x|

    (C)f(x)=cos |x|

    (D)f(x)=sin |x|

    解析作出f(x)=sin |x|的圖象如圖1,知其不是周期函數(shù),排除D;

    因?yàn)閒(x)=cos |x|=cosx,周期為2π,排除C;

    故選A.

    二、化歸與轉(zhuǎn)化思想

    化歸與轉(zhuǎn)化思想是指在研究解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)變換使之轉(zhuǎn)化,進(jìn)而使問(wèn)題得到解決的一種解題策略.一般有以下幾種方法:(1)未知化為已知;(2)特殊化為一般;(3)一般化為特殊;(4)等價(jià)轉(zhuǎn)化等.

    例2(浙江卷)設(shè)函數(shù)f(x)=sinx,x∈R.

    (1)已知θ∈[0,2π)函數(shù)f(x+θ)是偶函數(shù),求θ的值;

    解析(1)因?yàn)閒(x+θ)=sin(x+θ)是偶函數(shù),所以,對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有

    sin(x+θ)=sin(-x+θ),

    即sinxcosθ+cosxsinθ=-sinxcosθ+cosxsinθ,

    故2sinxcosθ=0,所以cosθ=0.

    評(píng)注本題(1)的解答關(guān)鍵是以函數(shù)f(x+θ)是偶函數(shù)為切入點(diǎn),然后等式兩邊分別進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.本題(2)的解答關(guān)鍵是半角公式的逆用、輔助角公式的巧用、三角函數(shù)有界性的活用.在問(wèn)題的解答過(guò)程中,顯示出強(qiáng)大的轉(zhuǎn)化與化歸功能,有梯度,立意深刻,充分凸顯了對(duì)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考察.

    三、函數(shù)與方程思想

    應(yīng)用函數(shù)與方程思想解題,要學(xué)會(huì)用變量來(lái)思考問(wèn)題,善于溝通已知與未知之間的關(guān)系.

    =-cos 2x-3cosx

    =-2cos2x-3cosx+1

    ∵-1≤cosx≤1,

    ∴當(dāng)cosx=1時(shí),f(x)min=-4,

    故函數(shù)f(x)的最小值為-4.

    評(píng)注本題首先應(yīng)用誘導(dǎo)公式,轉(zhuǎn)化得到二倍角的余弦,進(jìn)一步應(yīng)用二倍角的余弦公式,得到關(guān)于cosx的二次函數(shù),從而得解.體現(xiàn)了函數(shù)思想的運(yùn)用,凸顯了對(duì)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的考察.

    (1)求b,c的值;

    (2)求sin(B-C)的值.

    解得c=5所以b=7.

    sin(B-C)=sinBcosC-cosBsinC

    四、分類討論思想

    分類討論的原則是分類的標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一,分類要做到不重復(fù)、不遺漏.分類一般有四個(gè)步驟:(1)明確討論的對(duì)象;(2)確定分類標(biāo)準(zhǔn);(3)逐步進(jìn)行討論;(4)歸納小結(jié)總結(jié)出結(jié)論.

    評(píng)注本題利用分類討論和轉(zhuǎn)化與化歸思想解題.由題意首先求得tanα的值,然后利用兩角和的正弦公式和二倍角公式將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為齊次式求值的問(wèn)題,最后切化弦求得三角函數(shù)式的值.體現(xiàn)了三角化簡(jiǎn)求值的靈活性和綜合性,達(dá)到了訓(xùn)練、理解、思維品質(zhì)的梯度上升,凸顯了對(duì)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的考察.

    五、整體思想

    整體思想在三角函數(shù)中主要體現(xiàn)在利用整體代入、整體變形、整體換元、整體配對(duì)、整體構(gòu)造等進(jìn)行化簡(jiǎn)求值,研究函數(shù)性質(zhì)等.

    (1)求B;

    (2)若?ABC為銳角三角形,且c=1,求?ABC面積的取值范圍.

    解析(1)由題設(shè)及正弦定理得

    (2)由題設(shè)及(1)知?ABC的面積

    由于?ABC為銳角三角形,故0°

    評(píng)注這道高考題濃縮了三角函數(shù)、正弦定理的精華知識(shí)和方法,考查得很全面,是一道很好的考題.切入點(diǎn)較低,到達(dá)終點(diǎn)的路徑體現(xiàn)了本題較好的區(qū)分度,給考生創(chuàng)設(shè)自由的空間去“實(shí)現(xiàn)自我價(jià)值”,也給高中數(shù)學(xué)教學(xué)引領(lǐng)了方向:“放棄機(jī)械大量的訓(xùn)練,注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的提煉,提升學(xué)生思維水平”,這就是數(shù)學(xué)的“核心素養(yǎng)”!

    總之,三角函數(shù)中的數(shù)學(xué)思想較多,但它們的核心是化歸與轉(zhuǎn)化思想,只要大家認(rèn)真思考,靈活運(yùn)用,在運(yùn)用中感悟數(shù)學(xué)思想,積累思維經(jīng)驗(yàn),數(shù)學(xué)思想一定能給你的學(xué)習(xí)帶來(lái)事半功倍的效果,只有這樣,才能有效形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

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