基于雙層空間理論的教學(xué)設(shè)計(jì)
——以“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”教學(xué)為例

彭 宇

(江蘇省揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，225002)

“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”在高中數(shù)學(xué)中有著重要的地位,因?yàn)閷W(xué)生是初次接觸數(shù)列求和問(wèn)題,所以對(duì)于等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)和應(yīng)用存在一定的困難.為了解決學(xué)生的困難,調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性,使學(xué)生獲得良好的思維訓(xùn)練，這里，基于雙層空間理論和生活化教育理論,將“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”的教學(xué)作如下設(shè)計(jì)．

一、教學(xué)內(nèi)容分析

“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式之后,對(duì)等差數(shù)列性質(zhì)的進(jìn)一步學(xué)習(xí).根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求,本節(jié)課的主要內(nèi)容是探索等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,理解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系,掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式并能靈活地運(yùn)用公式解決各類與之相關(guān)的問(wèn)題.

“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”的定義是等差數(shù)列第1項(xiàng)到第n項(xiàng)的和,即Sn=a1+a2+a3+…+an.定義本身容易理解,關(guān)鍵是如何求得Sn的值.理解并掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式需要分三步：第一步是探索公式的推導(dǎo)過(guò)程，這部分內(nèi)容的教學(xué)采用的是從特殊到一般的思想方法,即先對(duì)特殊的等差數(shù)列進(jìn)行研究，然后推廣到一般的等差數(shù)列.第二步是理解公式中所有字母的含義,明確公式包含幾個(gè)基本的量,以及知道其中幾個(gè)基本量可以求其它的量.第三步是運(yùn)用公式解決問(wèn)題.根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平,本節(jié)課知識(shí)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)如下(圖1):

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)與應(yīng)用.

二、學(xué)情分析

1.學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)

學(xué)生通過(guò)對(duì)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法、等差數(shù)列通項(xiàng)公式及簡(jiǎn)單性質(zhì)的學(xué)習(xí),已經(jīng)對(duì)等差數(shù)列有一定的了解,能熟練地運(yùn)用通項(xiàng)公式及其性質(zhì),但對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)、理解和運(yùn)用缺乏認(rèn)識(shí).

2.學(xué)生的能力基礎(chǔ)

學(xué)生在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上,具有下面四種能力:第一,能夠通過(guò)數(shù)列前n項(xiàng)和的定義,理解等差數(shù)列前n項(xiàng)和的簡(jiǎn)單表示.第二,能夠計(jì)算等差數(shù)列前幾項(xiàng)的和(項(xiàng)數(shù)比較小).第三,能夠快速地從1+2+3+…+100過(guò)渡到1+2+3+…+n.第四,能從特殊等差數(shù)列的前n項(xiàng)和過(guò)渡到一般等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.但是倒序相加法及其運(yùn)用存在一定的困難.

本節(jié)課的難點(diǎn)是判斷a1+an=a2+an-1=…=an+a1.

三、教學(xué)策略選擇

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求高中數(shù)學(xué)教育要為學(xué)生適應(yīng)社會(huì)生活等做準(zhǔn)備,強(qiáng)調(diào)了“生活教育”的重要性.本節(jié)課融入陶行知先生提倡的生活教育理論,選取貼近生活的數(shù)學(xué)素材來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng),體現(xiàn)數(shù)學(xué)源于生活、并用于生活的思想,引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)際生活中發(fā)現(xiàn)并解決問(wèn)題．同時(shí)，采用Reigeluth、徐斌艷等提出的雙層空間理論(見(jiàn)下表)[1],將教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)活動(dòng)關(guān)聯(lián)起來(lái)．

這里的“活動(dòng)空間”是指教師設(shè)置的一系列讓學(xué)生自主探索、自主學(xué)習(xí)、自主成長(zhǎng)的活動(dòng)；“知識(shí)空間”是指符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平的知識(shí)串.兩個(gè)空間相互貫通,讓學(xué)生真正成為課堂的主體.在課堂教學(xué)過(guò)程中,通常是以講授法為主,配合小組討論．

四、教學(xué)目標(biāo)分析

知識(shí)與技能通過(guò)學(xué)習(xí),理解并掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的一種推導(dǎo)過(guò)程;能運(yùn)用公式求解相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題.

過(guò)程與方法通過(guò)探究特殊等差數(shù)列前n項(xiàng)和,學(xué)生能將其推廣到一般等差數(shù)列前n項(xiàng)和;通過(guò)問(wèn)題探究,學(xué)生能理解公式中各個(gè)符號(hào)代表的含義,體會(huì)“知三求二”的意義.

情感態(tài)度價(jià)值觀借助生活中的例子,學(xué)生能感受等差數(shù)列求和的存在性及必要性;通過(guò)課外自主閱讀,掌握多種推導(dǎo)方法,增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí).

五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

基于雙層空間和生活化理論,本節(jié)課選取了如下四種類型的學(xué)習(xí)活動(dòng)：分別為以生活化為主題的探究活動(dòng)(記為BL)；相關(guān)知識(shí)的閱讀活動(dòng)(記為BH)；以學(xué)習(xí)知識(shí)為目的的問(wèn)題活動(dòng)(記為BP)；檢驗(yàn)知識(shí)的練習(xí)活動(dòng)(記為BE).

1.感悟知識(shí)

BL1(1) 為了維護(hù)城市環(huán)境,市政府決定栽種一些樹(shù)苗,據(jù)了解在XX街道一側(cè)的A處,運(yùn)來(lái)了一批梧桐樹(shù)苗，一名工人從A處開(kāi)始，沿著街道一側(cè)每隔10 m栽種一棵樹(shù),考慮這名工人每次只能運(yùn)一棵樹(shù)苗,問(wèn)工人栽完3棵樹(shù),并返回出發(fā)地,走了多少米?

BL1(2) 問(wèn)工人栽完30棵樹(shù),并返回出發(fā)地,一共走了多少米?

設(shè)計(jì)意圖BL1(1)和BL1(2)都是與生活有關(guān)的例子.學(xué)生依據(jù)已有知識(shí)能分析出工人每栽一棵樹(shù)并回到原地所走的路程構(gòu)成等差數(shù)列.對(duì)于BL1(1),學(xué)生能快速地計(jì)算出結(jié)果.但是BL1(2)因?yàn)橐缘臉?shù)苗是30棵,直接計(jì)算有困難,從而激起學(xué)生的探索欲望.

2.探究知識(shí)

BH1 閱讀高斯求解1+2+3+…+100的值的材料,體會(huì)方法.

BP1 求1+2+3+…+n的值.

設(shè)計(jì)意圖BH1告訴我們一種非常重要的思想方法,即“倒序相加”.這種方法也是推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的重要方法之一.通過(guò)閱讀,學(xué)生能很容易地將這種方法運(yùn)用到求解BL1和BP1中去,幫助學(xué)生理解等差數(shù)列前n項(xiàng)的定義,并將“倒序相加”類比聯(lián)想到等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)中去.

BH2閱讀數(shù)列前n項(xiàng)和的定義.

BP2(1)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,求前n項(xiàng)和Sn=a1+a2+…+an.

BP2(2)思考等式a1+an=a2+an-1=…=an+a1

BP2(3)證明若{an}是等差數(shù)列，且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*)，則ak+al=am+an.

BP2(4) 如果用首項(xiàng)a1、公差d和項(xiàng)數(shù)n表示，則Sn可表示為_(kāi)_____.

設(shè)計(jì)意圖求解BP2(1)時(shí)，學(xué)生很容易聯(lián)想到用倒序相加,但對(duì)應(yīng)每一項(xiàng)是否相等可能存在疑問(wèn).這時(shí)給出BP2(2)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考,解決疑問(wèn).BP2(3)是對(duì)BP2(2)結(jié)論的總結(jié).BP2(4)不僅可以讓學(xué)生了解公式的另一種形式,而且可以幫助學(xué)生理解等差數(shù)列前n項(xiàng)和與一元二次函數(shù)的關(guān)聯(lián).通過(guò)這一系列的問(wèn)題探究,學(xué)生能理解公式的推導(dǎo).

BP3 等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式中共涉及哪幾個(gè)基本量?這幾個(gè)量分別表示什么?

BP4 這幾個(gè)基本量中，知道幾個(gè)可以求出另外幾個(gè)?你是依據(jù)什么數(shù)學(xué)思想來(lái)判斷的?請(qǐng)分別寫(xiě)出它們的表達(dá)式.

設(shè)計(jì)意圖知道了公式的推導(dǎo)及具體表達(dá)式,接下來(lái)就是理解公式的具體含義及變式.BP3是讓學(xué)生了解公式包含哪些基本量并明確各個(gè)量的含義.BP4是讓學(xué)生了解“知三求二”的含義,即知道公式涉及的三個(gè)基本量就可以求其它兩個(gè)量,以便更好地學(xué)會(huì)用公式解決某些變式的題目.

BL2 某商店的售貨員想在貨架上用三角形排列方式展示一種罐頭飲料.底層放置16個(gè)罐頭,第2層放置15個(gè)罐頭,往上每一層比下一層少放1個(gè)罐頭,頂層放置一個(gè)罐頭,這樣的擺法一共需要多少個(gè)罐頭?

BL3 一支打井隊(duì)打完一口井花了13 h.已知打井隊(duì)打到距離地面1 m處時(shí),花了10 min;打到第2 m處,花了30 min;估計(jì)以后每向下打1 m花的時(shí)間,都比前1 m多花10 min,問(wèn)打井隊(duì)打的井有多深?

設(shè)計(jì)意圖BL2是對(duì)公式的簡(jiǎn)單運(yùn)用,學(xué)生根據(jù)題意判斷出罐頭飲料的擺放個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,從而根據(jù)公式計(jì)算.BL3考察的是學(xué)生對(duì)公式的逆運(yùn)用,目的是檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)BP4的理解.BL2和BL3都是生活化的例子,題目本身沒(méi)有太大難度,目的是讓全班學(xué)生都參與到課堂活動(dòng)中.這樣調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活,并用于生活.

3.鞏固知識(shí)

BE1 在80到180之間插入50個(gè)數(shù),使其構(gòu)成等差數(shù)列,求插入數(shù)的和.

BE2 已知等差數(shù)列{an}前10項(xiàng)和S10=310,前20項(xiàng)和S20=1 220,則等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和公式可以表示為_(kāi)_____.

4.課堂小結(jié)

BP5 回顧等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo),總結(jié)兩個(gè)公式.

BH3 課后閱讀陸楷章的“是教材設(shè)計(jì)的缺陷嗎”[2]和劉漢頂?shù)摹暗炔顢?shù)列前n項(xiàng)和公式的另一種推導(dǎo)方法”[3].

設(shè)計(jì)意圖BP5的目的是突出本節(jié)課的重點(diǎn).BH2第一篇文章是為解決等差數(shù)列“首尾配對(duì)求和”問(wèn)題,讓學(xué)生感受分類討論思想的運(yùn)用,感受“首尾配對(duì)”與“倒序相加”的差異性.第二篇文章是從其它角度推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式,閱讀這些文章既可以擴(kuò)大學(xué)生的視野又可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).

整個(gè)教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)中,教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)與知識(shí)發(fā)展對(duì)應(yīng)關(guān)系,如圖3所示: