一類MHD方程組的加罰逼近方法

張 超

(溫州大學(xué)數(shù)理與電子信息工程學(xué)院，浙江溫州 325035)

磁流體力學(xué)（Magneto Hydro Dynamics，MHD）方程組描述了導(dǎo)電流體在磁場中運動所遵循的物理規(guī)律，是用來研究運動的導(dǎo)電流體和磁場相互作用中各物理量間的變化關(guān)系以及電磁場和速度場中各物理量的分布的，在天體物理學(xué)和地球物理學(xué)、核反應(yīng)堆中的液態(tài)金屬冷卻、金屬的電磁鑄件等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用．關(guān)于 MHD方程組的物理背景，可以參考 Hughes[1]和 Moreau[2]的相關(guān)文獻．

MHD方程組是由流體力學(xué)的Navier-Stokes方程和電動力學(xué)的Maxwell方程所耦合的非線性偏微分方程組，求解非常困難和復(fù)雜，人們往往通過數(shù)值模擬來了解MHD方程組解的特征．隨著計算機技術(shù)的不斷進步和發(fā)展，不可壓縮MHD方程組的數(shù)值模擬也得到了全面的發(fā)展，并且理論研究和數(shù)值模擬相輔相成．研究不可壓縮MHD方程組的數(shù)值方法一直是國內(nèi)外計算數(shù)學(xué)界和應(yīng)用數(shù)學(xué)界廣泛關(guān)注的熱點問題之一，有大量的文獻研究定?；蚍嵌ǔHD方程組解的適定性[3-4]和數(shù)值方法[5-18]．

本文考慮如下的MHD方程組：

方程組（1）–（5）是Gerbeau和Bris在文[19-20]中首先研究的，并證明了在物理數(shù)據(jù)足夠小的假設(shè)下局部強解的存在唯一性；Li等在文[21]中研究了求解該方程組的解耦半隱算法，在理論上分析了算法的穩(wěn)定性和收斂性，并給出了算法的有限元誤差估計．本文的主要工作是引入加罰參數(shù)ε，建立原方程組（1）–（5）的加罰逼近系統(tǒng)，并給出原方程組的解與加罰逼近問題的解關(guān)于ε的誤差估計．本文工作的主要意義是通過建立原方程組的加罰逼近系統(tǒng)的解來構(gòu)造求解原方程組解的數(shù)值迭代算法．

1 預(yù)備知識

首先，引入一些函數(shù)空間及相關(guān)的范數(shù)．當k ∈ N+，1≤p≤+∞時，記Wk,p(Ω)為Sobolev空間，其范數(shù)定義如下：

那么存在僅依賴凸區(qū)域Ω的常數(shù)C1＞0，使得對wW∈有：

當2≤p≤6時，利用Sobolev不等式有：

這里C2C3,是僅依賴Ω的正常數(shù)．定義三線性項

這組新的MHD方程組（10）–（14）解的存在唯一性在文獻[19-20]中已經(jīng)得到證明．

還需要下列正則性．

定理2[21]在定理1的假設(shè)下，存在常數(shù) C ＞ 0 使得

這里常數(shù)C與 Ω , R m,Re相關(guān)．

2 加罰逼近

這一節(jié)將建立方程組（10）–（14）的加罰逼近系統(tǒng)：

這里ε＞0為小參數(shù)．

當ε=1時，加罰系統(tǒng)（17）–（21）為非定常不可壓縮MHD方程組，其弱解(uε,bε)的存在性在文[4]中已經(jīng)得到證明．本文主要給出(uε,bε)與MHD方程組（10）–（14）的解(u,b)關(guān)于加罰參數(shù)ε的誤差估計．首先，關(guān)于和我們有如下的先驗估計．

引理2 在定理1的假設(shè)下，存在常數(shù)C＞0 使得

證明：用,uεSbε分別檢驗（17）式和（19）式，有：

將（25）式和（26）式相加有：

這里用到了

再（27）式右邊利用Young不等式有：

將（29）式關(guān)于時間從0到t ＜T*進行積分，那么存在常數(shù) C＞0使得

證畢．

3 誤差估計

本文的主要結(jié)論如下：

定理3 在定理1的假設(shè)下，存在常數(shù) C＞0 使得

證明：將（12）式左右兩邊同時加上εbt，有：

等式（10）和（30）分別減去（17）式和（19）式，有：

e與（31）式兩端作內(nèi)積有：

Sη與（32）式兩端作內(nèi)積有：

將（33）式和（34）式相加，并利用（28）式得：

類似地有：

證畢．