MHD方程組正則性準(zhǔn)則的研究

李亞飛，郭正光

(溫州大學(xué)數(shù)理與電子信息工程學(xué)院，浙江溫州 325035)

本文考慮的三維不可壓磁流體方程組，形式如下：

其中 ,ub和p分別定義為未知的速度場(chǎng)、磁場(chǎng)和壓力，并且u0(x) 和 b0( x)是已知的初始條件，當(dāng) b=0 的時(shí)候就得到了Naiver-Stokes方程．磁流體力學(xué)（Magneto Hydro Dynamics，MHD）是流體力學(xué)的一個(gè)重要分支，本文中很多思想來(lái)自Naiver-Stokes方程，所以首先介紹一下Naiver-Stokes方程正則性的一些結(jié)果．

Serrin[1]得到，當(dāng)三維Naiver-Stokes方程的弱解滿足：

則方程在(0,]T上是正則的．

文獻(xiàn)[2]中得到關(guān)于速度梯度的正則性：He[3]和Zhou[4]根據(jù)Naiver-Stokes方程的正則性準(zhǔn)則，建立了僅依賴(lài)速度的Serrin-type正則性準(zhǔn)則，沒(méi)有關(guān)于磁場(chǎng)b的假設(shè)．如果速度場(chǎng)滿足：

或者

則得到方程組（1）的弱解在 R3×(0,T]上是光滑的．文獻(xiàn)[3-4]中的Serrin型正則性準(zhǔn)則的特點(diǎn)是初始時(shí)間之后沒(méi)有關(guān)于磁場(chǎng)的假設(shè)，如文獻(xiàn)[3]所述，這表明流體速度可能在MHD方程組中起主導(dǎo)作用．可以發(fā)現(xiàn)，條件（5）要求在勒貝格空間中的?u具有適當(dāng)?shù)闹笖?shù)α和β的可積性，并且第一個(gè)不等式右端的數(shù)目是2，從尺度不變的觀點(diǎn)來(lái)看，這個(gè)結(jié)果是最優(yōu)的．然而，由于?u實(shí)際上是一個(gè)3×3矩陣，它的9個(gè)元素應(yīng)該滿足（5），條件（4）則需要都滿足（4），因此，期望只對(duì)部分速度分量施加梯度的正則條件，這是一個(gè)直截了當(dāng)?shù)南敕?，但在沒(méi)有磁場(chǎng)的幫助下，這是很難達(dá)到的．在過(guò)去的一段時(shí)間內(nèi)，已經(jīng)有一些文獻(xiàn)介紹這方面的內(nèi)容了．

得到方程組（1）的弱解是光滑的．

Jia和Zhou在文獻(xiàn)[6]中得到 u3, b，滿足：

得到方程組（1）的弱解是光滑的．

在文獻(xiàn)[7]中得到：

得到方程組（1）的弱解是光滑的．

得到方程組（1）的弱解是光滑的．

得到方程組（1）的弱解是光滑的．

更多這方面的內(nèi)容，可以查看文獻(xiàn)[10-20]．

1 預(yù)備知識(shí)

定義1 設(shè)(u,b)是定義在R3×(0,T]的函數(shù)對(duì)，若滿足下列條件：

2 主要結(jié)論

2.1 定理及其證明

先將方程組（1）的第一個(gè)方程乘以 - ?33u，然后再積分．在時(shí)間的積分區(qū)間是 (T1,T2)，空間上積分區(qū)間是 R3，得到：

2 估計(jì) J2

首先，估計(jì)第一項(xiàng)．

然后得到：

和

然后得到：

相似地有：

因此整理（17）–（22）式可得到：

對(duì)于b，得到如下結(jié)果：

對(duì)于u，得到：

得到：

不等式（23）右邊第一部分可以作以下估計(jì)：

第二部分的估計(jì)：

證明完成．