一類二階不連續(xù)系統(tǒng)的全局動力學(xué)分析

王仕軍， 計(jì)林宇， 曹璐偉， 陸瑩冉， 李立平

(湖州師范學(xué)院 理學(xué)院, 浙江 湖州 313000)

考慮二階不連續(xù)動力系統(tǒng)

x″+Ax′+Bx=Csgn(x),

(1)

(2)

系統(tǒng)(1)可看作附加了不連續(xù)外力的阻尼彈簧振子運(yùn)動模型,該模型廣泛存在于機(jī)械工程領(lǐng)域.近年來,對系統(tǒng)(1)的動力學(xué)研究已取得了豐富的成果[1-6].文獻(xiàn)[3]研究了系統(tǒng)(1)在不同參數(shù)條件下周期解的存在性和一般解的振動性.本文采用與文獻(xiàn)[3]相同的參數(shù)分類,研究模型(1)的全局動力學(xué)行為,如偽平衡點(diǎn)類型及全局穩(wěn)定性等.結(jié)果表明，文獻(xiàn)[3]關(guān)于系統(tǒng)(1)周期解的存在性論斷是不正確的.

令x′=y，則(1)式等價(jià)于

(3)

一般地,稱不連續(xù)系統(tǒng)(3)為一個平面Filippov系統(tǒng).該系統(tǒng)由左右兩個子系統(tǒng)構(gòu)成,子系統(tǒng)間的分界線x=0被稱為不連續(xù)邊界,邊界上的奇異點(diǎn)被稱為偽平衡點(diǎn).顯然,分界線x=0上除原點(diǎn)外其它點(diǎn)都是系統(tǒng)解的穿越點(diǎn),因此系統(tǒng)(3)的偽平衡點(diǎn)只能存在于原點(diǎn).又因?yàn)閮蓚€子系統(tǒng)的向量場在原點(diǎn)處相切于邊界,由文獻(xiàn)[7]、[8]可知原點(diǎn)一般為偽鞍點(diǎn)、偽焦點(diǎn)和偽中心3種類型之一.

1 B=0，AC≠0時的全局動力學(xué)分析

當(dāng)B=0且AC≠0時，系統(tǒng)(3)在相平面內(nèi)等價(jià)于

(4)

(5)

計(jì)算可得,左右子系統(tǒng)(4)、(5)的通解分別為：

(6)

(7)

其中，(x0,y0)表示各自解曲線的初始點(diǎn).另外，方程(4)、(5)分別有常數(shù)解y=-C/A和y=C/A.

下面根據(jù)A、C的符號分類對系統(tǒng)(3)的全局動力學(xué)進(jìn)行分析.

情形1A>0,C>0.

簡單分析可知，左子系統(tǒng)(4)僅存在過原點(diǎn)的軌線Γl與邊界x=0相切,又由(4)可得：

故Γl整體包含于左半平面內(nèi).另一方面,由B=0的(3)式知，y>-C/A時y′<0,y<-C/A時y′>0,故方程(4)以點(diǎn)(0,y0)(其中y0≤0)為初值的解隨t的增加都被常數(shù)解y=-C/A最終吸引.類似分析可知,右子系統(tǒng)(5)僅存在過原點(diǎn)且整體包含于右半平面內(nèi)的軌線Γr與邊界x=0相切,而常數(shù)解y=C/A在右半平面吸引(5)中以(0,y0)(其中y0≥0)為初值的解.因此在整個相平面內(nèi),原點(diǎn)(0,0)為系統(tǒng)(4)、(5)全局不穩(wěn)定的偽鞍點(diǎn),如圖1(a)所示.

情形2A<0,C>0.

注意到B=0時,經(jīng)坐標(biāo)變換(t,x,y)→(-t,x,-y),方程(3)滿足A<0、C>0的左右子系統(tǒng)與滿足A>0、C>0的左右子系統(tǒng)分別等價(jià)，且保持邊界不變.因此,系統(tǒng)(4)、(5)在情形2下的全局動力學(xué)行為與情形1類似,只需將后者的相圖繞x軸翻轉(zhuǎn)并改變時間方向即獲得前者的全局軌線結(jié)構(gòu)圖,如圖1(b)所示.

情形3A>0,C<0.

討論情形3下系統(tǒng)的全局動力學(xué)行為前，先給出如下引理：

引理1 若常數(shù)s0>0，則函數(shù)

(8)

在區(qū)間(-1,0)上存在唯一的零點(diǎn)s*,且滿足

max{-s0,-1}

(9)

證明因?yàn)閒(-1+)=-,f(0-)=s0-ln(1+s0)>0,而s∈(-1,0)時根據(jù)零點(diǎn)定理,存在唯一s*∈(-1,0)，使得f(s*)=0.進(jìn)一步,當(dāng)s0≥1時不等式-1

且f在區(qū)間(-1,0)上嚴(yán)格單調(diào)遞增,從而-s0

引理1證畢.

定理1 若A>0,C<0,則原點(diǎn)(0,0)為系統(tǒng)(4)、(5)全局漸近穩(wěn)定的偽焦點(diǎn).

證明首先考慮右子系統(tǒng)(5), 有如下結(jié)論成立：

(ⅰ) 由向量場分析可知,系統(tǒng)(5)除常數(shù)解y=C/A外的相空間軌線將隨著t的增加單調(diào)接近該常數(shù)解.

(ⅲ) 從y軸正半軸上任意點(diǎn)(0,y0)出發(fā)的軌線將再次與y軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)(0,y1),其中max{C/A,-y0}

(10)

在(10)式中，令

則根據(jù)引理1可得結(jié)論(ⅲ)成立.

其次考慮左子系統(tǒng)(4).由于系統(tǒng)(4)與系統(tǒng)(5)的向量場關(guān)于原點(diǎn)對稱且保持相同的運(yùn)動方向,因此上述結(jié)論(ⅰ)至(ⅲ)同樣適用(4)(只需將(5)的相軌圖繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度).特別地,系統(tǒng)(4)從y軸負(fù)半軸上任意點(diǎn)(0,y1)出發(fā)的軌線將再次與y軸正半軸相交于點(diǎn)(0,y2),其中0

綜上可知,系統(tǒng)(4)、(5)的任意軌線或直接進(jìn)入，或運(yùn)動一段時間后進(jìn)入?yún)^(qū)域：

Ω={(x,y)|x∈R,C/A

換言之,為討論原點(diǎn)的穩(wěn)定性,只需研究Ω中的廣義Poincare映射P即可.不失一般性,令0

P(y0)=Pl°Pr(y0)=y2.

注意到y(tǒng)2<-y1

定理1證畢.

情形4A<0,C<0.

當(dāng)B=0時,經(jīng)坐標(biāo)變換(t,x,y)→(-t,x,-y),方程(3)滿足A<0、C<0的左右子系統(tǒng)與滿足A>0、C<0的左右子系統(tǒng)分別等價(jià),并且保持邊界不變.由此可得如下定理：

定理2 若A<0,C<0,則原點(diǎn)(0,0)為系統(tǒng)(4)、(5)全局不穩(wěn)定的偽焦點(diǎn).

情形4下系統(tǒng)(4)、(5)的全局相圖如圖2(b)所示.

注文獻(xiàn)[3]在其定理2.1中指出:當(dāng)情形3和情形4的條件成立時,系統(tǒng)(4)、(5)在原點(diǎn)附近分別存在唯一穩(wěn)定和不穩(wěn)定的極限環(huán).然而由本文定理1和定理2的結(jié)論可知,系統(tǒng)(4)、(5)的原點(diǎn)實(shí)際分別是全局穩(wěn)定和不穩(wěn)定的偽焦點(diǎn),因此該斷言是不正確的.

2 A=0,BC≠0時的全局動力學(xué)分析

當(dāng)A=0時,(3)式左右兩個子系統(tǒng)分別為：

(11)

(12)

在相平面內(nèi)求解相應(yīng)過初始點(diǎn)(x0,y0)的解,得：

(13)

(14)

系統(tǒng)(11)、(12)的正常平衡點(diǎn)分別為(-C/B,0)和(C/B,0),偽平衡點(diǎn)為原點(diǎn).另外,方程組(11)和(12)的系數(shù)矩陣對應(yīng)的特征方程相同,即

(15)

下面將根據(jù)B、C的符號分類對系統(tǒng)(11)、(12)的全局動力學(xué)進(jìn)行分析.

情形1B<0,C>0.

情形2B<0,C<0.

定理3 若B<0,C<0,則系統(tǒng)(11)、(12)存在一條異宿軌L,且在L圍成的區(qū)域內(nèi)部原點(diǎn)(0,0)為穩(wěn)定的偽中心.

證明類似上面情形1的討論,此時平衡點(diǎn)(-C/B,0)和(C/B,0)分別為左右子系統(tǒng)的唯一實(shí)鞍點(diǎn),它們的單側(cè)穩(wěn)定和不穩(wěn)定流形共同構(gòu)成異宿環(huán)：

又據(jù)(13)和(14),左右子系統(tǒng)過L內(nèi)的點(diǎn)(0,y0)的解

和

在相空間中形成一條封閉曲線.這樣由(0,y0)的任意性,(0,0)為L內(nèi)穩(wěn)定的偽中心,如圖3(b)所示.

定理3證畢.

情形3B>0,C>0.

另一方面,當(dāng)x0∈(-,-2C/B)時,由解對初值的連續(xù)依賴性及關(guān)于y軸的對稱性,左右子系統(tǒng)分別過(x0,0)和(-x0,0)的軌線形成了包圍所有橢圓簇的閉曲線.情形3下系統(tǒng)(11)、(12)的全局相圖如圖4(a)所示.

情形4B>0,C<0.

3 結(jié) 論

全局穩(wěn)定性是不連續(xù)系統(tǒng)重要的動力學(xué)性質(zhì).本文針對一類二階不連續(xù)系統(tǒng)的各種參數(shù)分類，研究其相應(yīng)平面等價(jià)系統(tǒng)偽平衡點(diǎn)的類型及全局穩(wěn)定性，獲得的結(jié)果修正并改進(jìn)了文獻(xiàn)[3]的部分工作，并能為該系統(tǒng)在工程領(lǐng)域中的應(yīng)用提供了穩(wěn)定性方面的支持.