基于物理意義下的高斯公式教學探究

李慶容

摘 要 針對大學數(shù)學的高斯公式教學中存在數(shù)學理論化較重、實際應用不強等問題，采用發(fā)現(xiàn)教學法，緊密聯(lián)系實際物理背景，在矢量分析基礎上，通過發(fā)現(xiàn)、直覺、探究和提取，介紹散度及其在物理上的應用，歸納出高斯公式的具體形式，對學生應用能力的培養(yǎng)，具有一定的借鑒意義。

關鍵詞 發(fā)現(xiàn)教學法 高斯公式 散度

中圖分類號：G424 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A ? ?DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2020.01.049

Research on Gauss Formula Teaching Based on Physical Meaning

LI Qingrong

（Department of Basic Science， Wuchang Shouyi University， Wuhan， Hubei 430064）

Abstract Aiming at the problems of heavy mathematical theorizing and weak practical application in the teaching of Gaussian formula in college mathematics， the discovery teaching method is used to closely connect with the actual physical background. Based on vector analysis， through the discovery， intuition， exploration and extraction， the introduction of divergence and its application in physics summarize the specific form of the Gauss formula， which has certain reference significance for the cultivation of students' application ability.

Keywords discovery teaching method; Gauss formula; divergence

高斯公式是微積分學中非常重要的一個公式，思維上繼承了微積分基本公式、格林公式“馭繁于簡”的思想，揭示了曲面積分和三重積分的聯(lián)系，方法上一定程度地解決了曲面積分繁雜的計算問題，形式上統(tǒng)一了與上述兩個公式具有類似的數(shù)學結構形式;物理應用上，由高斯公式發(fā)展而來的高斯定理，是靜電場中不可或缺的重要工具。受學時和專業(yè)的限制，數(shù)學課堂教學上主要側重于高斯公式的介紹和定理的證明，課后習題也側重于計算，較少涉及應用，一方面推導過程抽象，不易理解，另一方面學生覺得數(shù)學離實際很遠，產(chǎn)生“數(shù)學無用”的思想，導致學習積極性不高，但是在大學物理等其它學科的學習時又不會用，尤其在對電磁學相關問題要用數(shù)學方法進行處理時，覺得無從下手，成功的用數(shù)學方法解決問題的時候很少。本文結合自己的教學實踐，利用發(fā)現(xiàn)教學法，探索高斯公式在數(shù)學課堂上的教學，為數(shù)學上針對本次課的教學改革提供一些有益的參考。

1 發(fā)現(xiàn)教學法簡介

發(fā)現(xiàn)教學法，[1]上世紀50年代由美國的教育學家布魯納首先提出，該方法遵循學習規(guī)律，注重思維過程，在教學實施過程中，不直接把現(xiàn)成的理論成果提供給學生，而是從學生好奇、喜究的心理特點出發(fā)，在教師的啟發(fā)引導下，學生根據(jù)教材和教師提供的材料，自己去發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題，成為知識的發(fā)現(xiàn)者而不是被動的接受者。一般操作流程是：首先是創(chuàng)設情境，激發(fā)學習興趣;其次是提出問題，形成探究動機;然后是引導觀察、分析比較，提出假說;最后是驗證假說，得出結論。運用發(fā)現(xiàn)教學法時，需要強調(diào)四個方面：（1）發(fā)現(xiàn)過程（即“好奇”的過程）;（2）直覺思維（防止過早結論化）;（3）內(nèi)在學習動機（即“喜究”的心理，具有對知識探究的內(nèi)在的興趣）;（4）信息提?。础皻w納提煉”的過程，對新知識加以組織，形成內(nèi)化效果）。

2 發(fā)現(xiàn)教學法的實施

高斯公式的傳統(tǒng)教學立足于數(shù)學角度，從解決曲面積分計算問題入手，引出公式，利用重積分理論進行分析證明，然后舉例應用，最后介紹物理上的通量、散度概念，[2]這種教學方式有一定的不足，缺乏實際背景，主要是就數(shù)學講數(shù)學，學生容易在諸多積分的學習中引起混淆，更是不知道在其他方面有何應用。針對現(xiàn)行教學中存在的問題，現(xiàn)利用發(fā)現(xiàn)教學法，在科學實施的基礎上，緊扣實際背景，主要從物理意義出發(fā)，對學生激趣，然后逐步引導學生進行發(fā)現(xiàn)、探究和提煉，本次設計由曲面積分的物理意義，即通量出發(fā)，探究閉合曲面通量問題，引出散度概念，由散度和通量的關系，歸納出高斯公式，這種設計遵循教育規(guī)律，學生能夠既理解所學知識的實際背景，又學習了科學的研究方法，并且掌握了公式的應用。具體實施過程如下：

2.1 實施過程

2.1.1 發(fā)現(xiàn)問題——任一點處通量

設不可壓縮流體的流速為，當通過曲面時，則單位時間內(nèi)通過曲面的通量為：。若為方向向外的閉合曲面，則通量為。現(xiàn)需要研究曲面內(nèi)任一點處的通量，顯然現(xiàn)有公式已不適合。如何合理有效的解決？這時學生會發(fā)現(xiàn)這樣的問題，也必然想辦法去解決問題。

2.1.2 直覺思維——借助微元法

直覺思維很重要，教師可以略作提示引導，此時就是利用高等數(shù)學里的微元法思想，借鑒導數(shù)求解瞬時速度的方法，將閉曲面∑所包圍的體積進行劃分，其中點包含在中，其曲面為，則得到點M的通量應該為，但無法回避極限的計算困難，必須尋求其它有效方法來解決。又出現(xiàn)了問題，怎么辦？

2.1.3 “喜究”心理——散度定義[3]

教師要鼓勵學生，進行進一步思考和探索?？紤]一個平行于坐標面的微長方體，邊長為，其體中心坐標為（），易知在長方體的表面計算的積分即為六面積分之和。如圖1所示。

考察圖1中標記為的面，易知有。因面中心的坐標為，因此。同理，在其相對的面，有，兩式合并，得

，

利用，變形得

，

兩邊取極限，有

，

其他四個面類似處理可得，于是

，

該結果表明通量的極限并不依賴于體積的幾何形狀，且這個量是標量，不同點有不同的值，記作，稱為散度。

將哈密爾頓算子與進行數(shù)量積運算，得到。

繼續(xù)考慮由封閉曲面∑包圍的體積 ，將其任意劃分成個微幾何體，為研究方便，本文取內(nèi)部的一個立方體，如圖2所示。易知通過曲面∑的通量應等于通過每一個小體積的面的通量之和，即，這里是包圍小體積的面。觀察圖3，可以發(fā)現(xiàn)，除了部分外表面，通過內(nèi)部的立體面的通量會相互抵消，從而通過曲面∑的通量僅來自于這些小立體面的和相加構成的面∑。這時獲得了初步的成果，雖然和預先設想的不完全一致，但為成功解決本課次問題提供了方向，應該繼續(xù)探究下去。

2.1.4 信息提取——高斯公式

將進行變形，得：

，

結合三重積分的定義，上式有

因為，，從而

，此即為高斯公式的形式，再進行必要的條件完善和補充，即可得到數(shù)學教材中所給的高斯公式和物理教材上的高斯定理。[4]

2.2 不同坐標系下的散度公式

柱坐標系和球坐標系也是工程中常見的坐標系，實際應用也較為廣泛，因此在教學中有必要拓展一下這兩個坐標系下的高斯公式問題。具體推導過程有一定的繁瑣性，教師可以把其作為參考資料發(fā)放給學生，讓學有余力的學生借鑒和參考，一定程度上也體現(xiàn)了因材施教、分層教學的理念。具體推導過程如下：

柱坐標系中變量有，設其對應單位向量分別為，，，由正交性及與直角坐標系的關系，有，或，，。設，，表示的分量，由于，從而。

球坐標系中變量為，設其對應單位向量分別為，由正交性及與直角坐標系的關系，有，，或，，。設，，表示的分量，類似有，從而。

3 結束語

多元函數(shù)積分學是大學物理課程學習的基礎，高等數(shù)學所涉及到的積分類型比較多，學生在學習過程中普遍感到各類積分交織在一起，容易產(chǎn)生混淆，特別是高斯公式、斯托克斯公式及物理應用，更使得學生對高等數(shù)學產(chǎn)生畏難情緒，學生在學習大學物理時又不會應用，導致大學物理的學習困難。實際上只要緊密聯(lián)系實際物理背景，采用合理的教學方法，積極發(fā)揮學生的主觀探索意識，就能使學生由厭學變樂學。

參考文獻

[1] 布魯納.發(fā)現(xiàn)的行為[J].哈佛教育評論，1961年冬季號.

[2] 同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2015.

[3] H.M斯徹.散度、旋度、梯度釋義[M].北京：機械工業(yè)出版社，2017.

[4] 姜大華等.大學物理[M].北京：科學出版社，2017.11.