定常Navier-Stokes方程的三個(gè)梯度-散度穩(wěn)定化Taylor-Hood有限元

王炷霖， 敬璐如， 馮民富

(四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院, 成都 610064)

1 引 言

Navier-Stokes方程(簡(jiǎn)稱NS方程)是描述不可壓縮流體運(yùn)動(dòng)的非線性偏微分方程.解NS方程的有限元法一直是計(jì)算數(shù)學(xué)領(lǐng)域的重要課題之一.

作為一個(gè)比較常用的有限元空間，Taylor-Hood有限元空間(簡(jiǎn)稱TH元)采用連續(xù)的分片k次多項(xiàng)式空間作為速度逼近空間，連續(xù)的分片k-1次多項(xiàng)式空間作為壓力逼近空間.文獻(xiàn)[1-3]介紹了Scott-Vogelius有限元空間(簡(jiǎn)稱SV元)，其速度逼近空間也采用連續(xù)的分片k次多項(xiàng)式空間，壓力逼近空間則采用非連續(xù)的分片k-1次多項(xiàng)式空間.

在解不可壓縮流問題時(shí)，TH元有比較廣泛的應(yīng)用.利用TH元雖能得到連續(xù)的速度及壓力，但其離散速度解往往不滿足質(zhì)量守恒性質(zhì).文獻(xiàn)[9-12]討論了NS方程的帶梯度-散度穩(wěn)定項(xiàng)的有限元法，表明梯度-散度穩(wěn)定項(xiàng)可以有效降低離散速度解的散度.此外，文獻(xiàn)[13-14]證實(shí)當(dāng)梯度-散度穩(wěn)定項(xiàng)系數(shù)γ→∞時(shí)，梯度-散度穩(wěn)定化TH元離散解逼近SV混合有限元離散解.

有限元法求解偏微分方程最終歸結(jié)于解線性方程組.許多研究致力于發(fā)展有效求非線性NS方程有限元離散解的算法.其中，文獻(xiàn)[15]介紹了求定常NS方程有限元離散解的迭代方法，并證明了在一定的強(qiáng)唯一性條件下某些迭代格式能夠得到收斂到真解的離散解.文獻(xiàn)[16-17]分別對(duì)比了三種求齊次和非齊次定常NS方程有限元離散解的迭代格式.受文獻(xiàn)[13-14，16]啟發(fā)，我們將文獻(xiàn)[16]中求NS方程有限元離散解的迭代格式推廣到梯度-散度穩(wěn)定化迭代格式，用梯度-散度穩(wěn)定項(xiàng)克服TH元解不滿足質(zhì)量守恒性質(zhì)的問題.在強(qiáng)唯一性條件下，我們證明了這些梯度-散度穩(wěn)定化TH元迭代格式的解在一定的迭代次數(shù)下逼近SV混合有限元離散解，且當(dāng)梯度-散度穩(wěn)定項(xiàng)系數(shù)γ→∞時(shí)TH元離散迭代解的散度趨于零.利用TH元求NS方程離散解時(shí)，相較于文獻(xiàn)[16]中的三種迭代格式，本文提出的三種穩(wěn)定化迭代格式的解能夠更好的滿足質(zhì)量守恒性質(zhì).數(shù)值模擬驗(yàn)證了這一結(jié)論.

2 預(yù)備知識(shí)

考慮二維多邊形區(qū)域Ω上的定常NS方程

(1)

對(duì)X賦予范數(shù)‖v‖X=‖?v‖.一般地，f∈X′的范數(shù)

眾所周知，TH元取Ω上連續(xù)的分片k次多項(xiàng)式空間作為速度逼近空間，壓力逼近空間則是取Ω上連續(xù)的k-1次分片多項(xiàng)式空間.SV元同樣以Ω上連續(xù)的分片k次多項(xiàng)式空間作為速度逼近空間，其壓力逼近空間也采用k-1次多項(xiàng)式空間，與TH元不同的地方僅在于SV元的壓力逼近空間不要求在Ω上連續(xù).當(dāng)取特定網(wǎng)格剖分且選擇合適的多項(xiàng)式次數(shù)時(shí)SV元是LBB穩(wěn)定的，而TH元在以上情況下都是LBB穩(wěn)定的.以下假設(shè)SV元與TH元是在特定網(wǎng)格剖分Λh下建立的LBB穩(wěn)定的有限元空間.

定義TH元和SV元的速度有限元逼近空間為

vh=0 on ?Ω}.

對(duì)TH元，定義其壓力有限元逼近空間

定義SV元的壓力有限元逼近空間

盡管TH元和SV元有相同的速度有限元逼近空間，但是它們的弱無散有限元子空間是不同的.定義

分別定義X×X,X×Q上的雙線性形式

aγ(u,v)=(?u,?v)+γ(?·u,?·v),

?(u,v)∈X×X，

b(v,q)=-(?·v,q),?(v,q)∈X×Q.

對(duì)TH元和SV元，都存在β>0，使得

(2)

定義F(v)=(f,v),?v∈X.

在后面的分析中需要用到以下引理.

引理2.1[16]存在只與Ω，h有關(guān)的常數(shù)CS，使得對(duì)uh,vh,wh∈Xh有

|b*(uh,vh,wh)|≤

CS‖?uh‖·‖?vh‖·‖?wh‖

(3)

引理 2.2[14]?M<∞，使得對(duì)任意rh∈Rh，

‖?rh‖≤M‖?·rh‖

(4)

下面我們研究四種求解定常NS方程的有限元.SV混合有限元法：

a0(uh,vh)+b*(uh,uh,vh)+

b(vh,ph)=F(vh),b(uh,qh)=0

(5)

梯度-散度穩(wěn)定化TH元1：

(6)

梯度-散度穩(wěn)定化TH元2：

(7)

梯度-散度穩(wěn)定化TH元3：

(8)

(9)

在唯一性條件

CSν-2‖f‖-1<1

(10)

利用SV元，我們可以得到無散的離散速度解，但得到的離散壓力解是不連續(xù)的.另一方面，利用TH元雖得到了連續(xù)的離散壓力解，但離散速度解不是無散的.本節(jié)中我們將證明在γ→+∞時(shí)梯度-散度穩(wěn)定化TH元1～3可以得到散度趨于零的離散速度解和連續(xù)的離散壓力解，且梯度-散度穩(wěn)定化TH元在強(qiáng)唯一性條件下隨迭代次數(shù)增加逼近SV元解.

引理3.1設(shè)唯一性條件(10)成立.則對(duì)問題(5)的解uh有

‖?uh‖≤ν-1‖f‖-1，?n≥1

(11)

(12)

4CSν-2‖f‖-1<1

(13)

下有

(14)

(15)

下有

(16)

證明 在問題(5)中取vh=uh有

ν‖?uh‖2=(f,uh)≤‖f‖-1‖?uh‖.

由Young不等式得

故

‖?uh‖≤ν-1‖f‖-1.

同理可證式(12).

即式(14)成立.同理可證(16).證畢.

(17)

(18)

(19)

(20)

證明 由問題(5)(6)有

又由式(5)(9)知

故式(18)成立.同理可得式(19).

又由式(16)知

即

顯然，當(dāng)n=0時(shí)(20)式成立.假設(shè)n=J時(shí)(20)式成立.則由上式可得當(dāng)n=J+1時(shí)(20)式成立.證畢.

C‖f‖-1(CSν-2‖f‖-1)n

(21)

C‖f‖-1(3CSν-2‖f‖-1)n

(22)

(23)

證明 由問題(5)(6)有

故

即(21)式成立.同理可證(22)(23)式成立.證畢.

4 數(shù)值算例

例4.1在問題(1)中取Ω=[0,1]×[0,1]，f及邊界條件由二維定常NS方程的精確解確定.設(shè)精確解為

u1=10(x4-2x3+x2)(2y3-3y2+y),

u2=-10(y4-y3+y2)(2x3-3x2+x),

p=10(2x-1)(2y-1).

取k=2.采用圖1所示10×10重心細(xì)分網(wǎng)格剖分.

圖1 Ω上10×10重心細(xì)分的三角形劃分

設(shè)(uh,ph)為問題(5)的解.表1，2給出了不同參數(shù)下梯度-散度穩(wěn)定化迭代法1的計(jì)算結(jié)果，表3，4分別給出了ν=0.5時(shí)梯度-散度穩(wěn)定化迭代法2及梯度-散度穩(wěn)定化迭代法3的計(jì)算結(jié)果.

表1 ν=0.5時(shí)迭代法1的計(jì)算結(jié)果

表2 ν=0.25時(shí)迭代法1的計(jì)算結(jié)果

表3 ν=0.5時(shí)迭代法2的計(jì)算結(jié)果

表4 ν=0.5時(shí)迭代法3的計(jì)算結(jié)果

計(jì)算結(jié)果顯示，經(jīng)過一定的迭代次數(shù)后，三種梯度-散度穩(wěn)定化TH元迭代方法的解都可以很好的逼近SV混合有限元的離散解.通過增大梯度-散度穩(wěn)定項(xiàng)系數(shù)，我們可以得到散度趨于零的離散速度解，且系數(shù)增大并不會(huì)造成TH元離散解與SV有限元離散解的誤差增大.換句話說，通過在文獻(xiàn)[16]中的三種迭代格式上加梯度-散度穩(wěn)定項(xiàng)，利用TH元我們可以得到散度趨于零的離散速度解和連續(xù)的離散壓力解.