關(guān)于大學課程學習中梯度、散度和旋度的簡單解析

金遠航+何開棘+王開明

摘 要：大學生常常被學習中遇到梯度、散度和旋度的問題困擾，本文針對這幾個問題進行了簡單解析，首先對它們的數(shù)學概念、表達方法以及對應的物理含義進行了概括，明確梯度、散度和旋度的區(qū)別，然后對學習中遇到的具體問題進行了由表及里地分析、概括和總結(jié)，從而加深對這三個問題的理解。

關(guān)鍵詞：梯度 散度 旋度 標量函數(shù) 矢量函數(shù)

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1003-9082（2017）10-0-01

一、梯度、散度和旋度的概念及意義

1.梯度

設體系中某處存在某一物理參數(shù)（如溫度、速度、濃度等標量）為w，在與其垂直距離為dy處該參數(shù)為W+dW，則稱為該物理參數(shù)的梯度 ，也即該物理參數(shù)的變化率.如果參數(shù)為速度、濃度或溫度，則分別稱為速度梯度、濃度梯度或溫度梯度。在向量微積分中，標量場的梯度是一個向量場，標量場中某一點上的梯度指向標量場增長最快的方向，梯度的長度是這個最大的變化率。更嚴格的說，從歐氏空間Rn到R的函數(shù)的梯度是在Rn某一點最佳的線性近似.在這個意義上，梯度是雅戈比矩陣的一個特殊情況，在單變量的實值函數(shù)的情況下，梯度只是導數(shù)，或者，對于一個線性函數(shù)，也就是線的斜率。梯度一詞有時用于斜度，也就是一個曲面沿著給定方向的傾斜程度或者說某個物理量的方向?qū)?shù)。

2.散度

散度定義為在矢量場 中的任一點P處，作一個包圍該點的任意閉合曲面，當所限定的區(qū)域直徑趨近于0時，其邊界面上的矢量積分和區(qū)域體積的比值，即的極限稱為矢量場在點P處的散度，表示為。由散度的定義可知，表示在點P處的單位體積內(nèi)散發(fā)出來的矢量的通量，所以描述了通量源的密度。散度可用表征空間各點矢量場發(fā)散的強弱程度，當時 ，表示該點有散發(fā)通量的正源，表示通量源向外輻射；當時，表示該點有散發(fā)通量的負源，表示通量源向內(nèi)輻合，當說明是無源。散度的物理意義是：（1）矢量場的散度代表矢量場的通量源的分布特性；（2）矢量場的散度是一個標量；（3） 矢量場的散度是空間坐標的函數(shù)。

3.旋度

矢量沿某封閉曲線的線積分， 定義為沿該曲線的環(huán)量（或旋渦量）， 記為false，然后設想將閉合曲線縮小到其內(nèi)某一點附近，那么以閉合曲線L為界的面積逐漸縮小，也將逐漸減小，一般說來，這兩者的比值有一極限值，即單位面積平均環(huán)流的極限，記作：，它與閉合曲線的形狀無關(guān)，但依賴于以閉合曲線為界的面積法線方向，且通常L的正方向與以閉合曲線為邊界的面積法線方向構(gòu)成右手螺旋法則，旋度的重要性在于，可用以表征矢量在某點附近各方向上環(huán)流強弱的程度。旋度的物理意義：（1）矢量的旋度是一個矢量， 其大小是矢量在給定點處的最大環(huán)量面密度， 其方向就是當面元的取向使環(huán)量面密度最大時， 該面元矢量的方向（2）它描述在該點處的旋渦源強度（3）若某區(qū)域中各點，稱為無旋場或保守場。

二、梯度、散度和旋度的區(qū)別

對于初學這些概念的人來講，對于散度和旋度的理解僅僅限于數(shù)學的層面，往往忽略了他們在物理學里的區(qū)別。

（1）求梯度是針對一個標量函數(shù)，求梯度的結(jié)果是得到一個矢量函數(shù)；求散度則是針對一個矢量函數(shù)，得到的結(jié)果是一個標量函數(shù)，跟求梯度是相反的；求旋度是針對一個矢量函數(shù)，得到的還是一個矢量函數(shù)。這三種關(guān)系可以從定義式很直觀地看出，因此可以求“梯度的散度”、“散度的梯度”、“梯度的旋度”、“旋度的散度”和“旋度的旋度”，只有旋度可以連續(xù)作用兩次。

（2）旋度描述的是矢量場中各點的場量與渦旋源的關(guān)系，而散度描述的是矢量場中各點的場量與通量源的關(guān)系；

（3）如果矢量場所在的全部空間中，場的旋度處處為零，則這種場中不可能存在旋渦源，因而稱之為無旋場（或保守場）；如果矢量場所在的全部空間中，場的散度處處為零，則這種場中不可能存在通量源，因而稱之為無源場（或管形場）；

（4）在旋度公式中，矢量場的場分量Mx、My、Mz分別只對與其垂直方向的坐標變量求偏導數(shù)，所以矢量場的旋度描述的是場分量在與其垂直的方向上的變化規(guī)律；

（5）在散度公式中，矢量場的場分量Mx、My、Mz分別只對x、y、z求偏導數(shù)，所以矢量場的散度描述的是場分量沿著各自方向上的變化規(guī)律。

三、梯度、散度和旋度在物理學中的應用

對于梯度、散度和旋度的深入理解，還要落實在物理學的學習中，常見于電磁場部分。以電場為例，按著它產(chǎn)生的原因分為靜電場和感生電場，靜電場是靜止電荷產(chǎn)生的，而感生電場是變化的磁場產(chǎn)生的。在靜電場中，靜電場既然是靜止電荷產(chǎn)生的，電場線起于正電荷終止于負電荷，電場線有頭有尾，那么它一定是有源的，即它對應的散度不為零，則有，它的源就是激發(fā)電場的靜電荷，若，則為正源即場源電荷是正電荷或場源電荷的代數(shù)和大于零；若，則為負源即場源電荷是負電荷或場源電荷的代數(shù)和小于零，若，則為無源即場源電荷的代數(shù)等于零，其的積分形式就是我們非常熟悉的靜電場中的高斯定理（真空中）。然后靜電場中的環(huán)路定理，可知靜電場力所做的功與積分路徑無關(guān)，故靜電場力為保守力，那么靜電場力的旋度。既然為保守力，那么必有與之相對應的一個標量函數(shù)即電勢函數(shù)，那么靜電場的電場強度與電勢函數(shù)V之間的關(guān)系就可以用梯度來表示，即：，表示電場強度為電勢函數(shù)的負梯度，說明電場強度的方向一定沿著電勢函數(shù)減小最快的方向，所以就有順著電場線的方向電勢越來越低的說法。然而對于感生電場，因為它是變化的磁場產(chǎn)生的，它的電場線為閉合曲線即感生電場為無源場，因此它的散度必為零，即；它對應的環(huán)路定理，所以感生電場力為非保守力，其旋度，不存在與之對應的電勢函數(shù)。

通過上面簡單分析，對于我們學習中的遇到的梯度、散度和旋度的概念一定會有所幫助，因為事物是普遍聯(lián)系的，數(shù)學中有物理，物理中包含數(shù)學。所以我們在今后的學習中，不能簡單地學習某一學科，把它與其他學科割裂開，在學習中要運用哲學的普遍聯(lián)系的觀點辯證地看待我們所學習的知識，才會學的好、學的活、學的精，才能做到學以致用。endprint