高中數(shù)學(xué)直觀想象能力培養(yǎng)反思

羅永興

[摘 ?要] 核心素養(yǎng)下對高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要素的理解，應(yīng)當(dāng)基于具體的教學(xué)內(nèi)容去發(fā)現(xiàn)新的意義. 在理解數(shù)學(xué)抽象與直觀想象的關(guān)系時可以發(fā)現(xiàn)，更多時候是后者支撐了前者，只有學(xué)生有良好的直觀想象，才能對生活中的事物進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)抽象. 無論是從認(rèn)知的角度，還是從情感的角度，高中學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的興趣、動機(jī)、認(rèn)知能力等，都與直觀想象有密切的關(guān)系，良好的直觀想象可以讓學(xué)生處于比較愉悅的學(xué)習(xí)狀態(tài)，從而更好地激發(fā)他們的活力，以促進(jìn)學(xué)生高效建構(gòu)并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識.直觀想象的培養(yǎng)途徑：第一，情境的創(chuàng)設(shè);第二，問題解決工具的選擇;第三，學(xué)習(xí)反思.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);核心素養(yǎng);直觀想象

學(xué)科核心素養(yǎng)的來臨，意味著數(shù)學(xué)教學(xué)要通過學(xué)科特點，培養(yǎng)學(xué)生能夠適應(yīng)社會發(fā)展和終身發(fā)展的必備品格與關(guān)鍵能力. 在當(dāng)前公布的高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的六個要素中，有一些在數(shù)學(xué)教學(xué)傳統(tǒng)中原本就有著一以貫之的強(qiáng)調(diào)，如邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等，而筆者思考其中的“直觀想象”這一要素，卻發(fā)現(xiàn)其還有價值可以發(fā)掘，本文試從學(xué)生的視角來對此進(jìn)行粗淺的解讀.

直觀想象在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用

數(shù)學(xué)課標(biāo)修訂組組長史寧中教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的本質(zhì)，是描述一個人經(jīng)過數(shù)學(xué)教育后應(yīng)當(dāng)具有的數(shù)學(xué)特質(zhì)，大體上可以歸納為：會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界. 這三者是從數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模三個角度來說明的，直觀想象被史教授融合在數(shù)學(xué)抽象這一要素中. 筆者在理解數(shù)學(xué)抽象與直觀想象的關(guān)系時，發(fā)現(xiàn)更多時候是后者支撐了前者，只有學(xué)生有良好的直觀想象，才能對生活中的事物進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)抽象.

例如，在“函數(shù)模型的應(yīng)用實例”（人教A版數(shù)學(xué)1，必修）教學(xué)中，教學(xué)目標(biāo)通常設(shè)計為：學(xué)生能夠根據(jù)教師提供的信息（表格、圖像等）建立函數(shù)模型;學(xué)生初步形成利用函數(shù)模型解決實際問題的能力;在函數(shù)模型運(yùn)用的過程中形成閱讀理解、抽象概括等能力.基于這一學(xué)習(xí)目標(biāo)，在教學(xué)設(shè)計的時候，常常會有這樣幾個環(huán)節(jié)：一是創(chuàng)設(shè)問題解決的情境;二是尋找問題解決的工具;三是評估問題解決的過程. 這三個環(huán)節(jié)環(huán)環(huán)相扣，對應(yīng)著學(xué)生的問題解決過程，而在學(xué)生解決問題的過程中，直觀想象起到幫學(xué)生打開數(shù)學(xué)抽象大門、尋找問題解決工具的作用.

例如這樣的一個實際問題：某汽車在行駛過程中，速度與時間關(guān)系如圖1，試求8秒內(nèi)汽車的位移. 顯然這是一個來源于實際情形的問題（已經(jīng)進(jìn)行了適當(dāng)?shù)某橄螅? 解決這個問題需要的工具是什么？這就需要學(xué)生的直觀想象：學(xué)生的第一直觀往往是“位移與速度及時間的關(guān)系”，在遇到困難之后，往往會激活新的直觀，即“速度—時間圖像中的面積表示位移”;而在問題得到解決之后，學(xué)生在反思問題解決的過程時，往往會強(qiáng)化對這一直觀的認(rèn)識，因而就會出現(xiàn)學(xué)生在遇到類似問題的時候，并以之為最初的直觀去作為問題解決的工具.

更多的實踐表明，無論是從認(rèn)知的角度，還是從情感的角度，高中學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的興趣、動機(jī)、認(rèn)知能力等，都與直觀想象有密切的關(guān)系，良好的直觀想象可以讓學(xué)生處于比較愉悅的學(xué)習(xí)狀態(tài)，從而更好地激發(fā)他們的活力，以促進(jìn)學(xué)生高效建構(gòu)并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識.

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中直觀想象培養(yǎng)途徑

認(rèn)識到直觀想象的價值，那其后最關(guān)鍵的問題就是如何培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象意識與能力的問題. 通常情況下，包括直觀想象在內(nèi)的所有能力培養(yǎng)目標(biāo)，都是依附于具體的數(shù)學(xué)知識的. 有研究者指出，在函數(shù)教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想，幫助學(xué)生建立數(shù)形聯(lián)系的意識，利用圖像描述、分析數(shù)學(xué)問題，構(gòu)建直觀模型，探索解決問題的思路，是培育學(xué)生數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)的契機(jī)，也是提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題能力的重要載體. 實際上，筆者在教學(xué)中首選的也是函數(shù)內(nèi)容，因為函數(shù)內(nèi)容在高中數(shù)學(xué)體系中地位至關(guān)重要，而函數(shù)意識與利用函數(shù)解決問題，原本也是生活需要. 我們?nèi)匀豢梢越柚厦娴睦觼硎崂碇庇^想象的培養(yǎng)途徑：

第一，情境的創(chuàng)設(shè).在創(chuàng)設(shè)情境的時候，教師可以借助現(xiàn)代教學(xué)手段，用動畫呈現(xiàn)圖像中汽車的運(yùn)動情形——是先呈現(xiàn)函數(shù)圖像還是先播放動畫，取決于教師對學(xué)情的把握. 筆者的經(jīng)驗是，學(xué)生的基礎(chǔ)較好的時候，可以先呈現(xiàn)圖像，然后用動畫強(qiáng)化學(xué)生的認(rèn)識，這個認(rèn)識就是用圖像表示生活事物的過程，于是也就體現(xiàn)了直觀想象支撐數(shù)學(xué)抽象完成的思路.

第二，問題解決工具的選擇. 由于認(rèn)知基礎(chǔ)的原因，學(xué)生在遇到求位移（實際上這個時候不少學(xué)生大腦中還是有強(qiáng)烈的“路程”概念，這也是在教學(xué)中需要重視的前概念）問題的時候，最初的直覺就是速度公式;但在面對圖像時，這一公式并不好直接運(yùn)用，于是新的問題必然驅(qū)動學(xué)生新的思考，而函數(shù)圖像中的“面積”所表示的意義，就成為學(xué)生新的直覺. 當(dāng)然，在新的直觀出現(xiàn)之后，學(xué)生會基于想象去構(gòu)思問題解決的大致過程，自然也就有學(xué)生會發(fā)現(xiàn)圖像中部分曲線在x軸的正方，于是面積也就出現(xiàn)在x軸的正方，這個面積所代表的位移是什么含義呢？這個大部分學(xué)生會出現(xiàn)的問題，使得本問題的解決完全憑直觀想象并不可行，因此邏輯推理必然會發(fā)生.但可以肯定的是，邏輯推理的結(jié)果會豐富學(xué)生對速度時間圖像中面積意義的理解，從而讓形成的函數(shù)模型更加完整，于是問題的解決也就更加完整.

第三，學(xué)習(xí)反思.通過對問題解決過程的反思，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)在遇到類似問題的時候，基于從局部到整體、從特殊到一般的思路，緊扣函數(shù)圖像的性質(zhì)與意義，就是一個重要的解決思路（工具）. 這個認(rèn)識形成，那學(xué)生新的直觀想象就有了支撐.

直觀想象引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)略數(shù)學(xué)之美感

事實證明，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中加強(qiáng)對學(xué)生直觀想象意識與能力的培養(yǎng)，不僅可以讓學(xué)生更為成功地解決問題，還可以培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心態(tài)，從而讓學(xué)生享受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程. 從這個角度講，直觀想象能力是能夠引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入領(lǐng)略數(shù)學(xué)之美的學(xué)習(xí)境界的.

進(jìn)一步研究表明，在建立以學(xué)生為主體、教師為輔的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，直觀想象有利于促進(jìn)學(xué)生的知識與能力形成，有利于提高學(xué)生分析和解決問題能力，從而養(yǎng)成良好數(shù)學(xué)思維習(xí)慣、創(chuàng)新意識以及應(yīng)用數(shù)學(xué)意識與欣賞數(shù)學(xué)之美. 很多時候，我們都認(rèn)為數(shù)學(xué)之美有些空洞，但實際上，站在學(xué)生的角度，數(shù)學(xué)之美其實就是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的成就感驅(qū)動形成的愉悅感受.而以此理解數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，就正對應(yīng)著必備品格的培養(yǎng)，如此可以認(rèn)為，直觀想象能力培養(yǎng)是能夠讓必備品格與關(guān)鍵能力培育之間相互促進(jìn)、相得益彰的.