劉英杰
摘?要:圓錐曲線內(nèi)容是高中解析幾何知識板塊中的重要構(gòu)成部分,圓錐曲線既有簡潔優(yōu)美的圖像又有簡練的代數(shù)形式,是數(shù)形結(jié)合思想的完美體現(xiàn),同時(shí)圓錐曲線還具備在物理學(xué)上非常重要的光學(xué)性質(zhì)。三類曲線各具個(gè)性特征,同時(shí)又有內(nèi)在的統(tǒng)一。曲線中的定性問題體現(xiàn)了動(dòng)與靜的統(tǒng)一,變與不變的相對關(guān)系.本文著重探討拋物線中的一類定性問題。
關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué);拋物線;圓錐曲線定性問題
拋物線知識作為圓錐曲線的一個(gè)重要知識板塊,即和橢圓、雙曲線有著內(nèi)在的統(tǒng)一,也有自己的獨(dú)特個(gè)性。比如涉及拋物線的焦點(diǎn)弦問題,可以挖掘出很多穩(wěn)定的性質(zhì)。在學(xué)習(xí)中如果注意思考,很多簡單的例題都是發(fā)現(xiàn)這些定性的極佳切入點(diǎn)。
例1.在平面直角坐標(biāo)系xoy中,直線過點(diǎn)C(2,0)且與拋物線y2=4x相交于A,B兩點(diǎn),且有A(x1,y1),B(x2,y2)。試探討能否找到與y軸平行的定直線被以AC為直徑的圓截得的弦長為一確定的值?若能找到,求出該直線的方程,若找不到,請說明理由。
解答:設(shè)有直線l:x=m滿足題干條件,由已知線段AC的中點(diǎn)E(x1+22,y12),AC=(x1-2)2+y12,因此以AC為直徑的圓的半徑為:r=12AC=12(x1-2)2+y12=12x12+4,點(diǎn)E到直線x=m的距離為d=|x1+22-m|,即直線被圓所截弦長為:
2r2-d2=214(x12+4)-(x1+22-m)2
=-4(1-m)x1+8m-4m2
只需取1-m=0也就是m=1時(shí),弦長為2(定值),這時(shí)直線x=1即為所求定直線。
通過本例我們發(fā)現(xiàn),以AC為直徑的動(dòng)圓在定直線x=1上截得的弦長為定值,這個(gè)現(xiàn)象是偶然的嗎?我們來類比一條大家比較熟悉的拋物線的性質(zhì)“在拋物線中,以焦半徑為直徑的圓和拋物線在頂點(diǎn)處的切線相切”下面給出這條性質(zhì)的證明。
例2.設(shè)拋物線方程為C:y2=2px,F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn),A(x1,y1)是C上任一點(diǎn)。
求證:以AF為直徑的圓與y軸相切。
證明:由已知:焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(p2,0),由焦半徑公式可知:AF=x1+p2,AF為直徑的圓的圓心為線段AF的中點(diǎn)其坐標(biāo)為(x12+p4,y12),所以圓心到y(tǒng)軸距離:d=x12+p4=12AF,圓心到y(tǒng)軸距離恰為圓的半徑,所以AF為直徑的圓與y軸相切。
將上面的例2和例1進(jìn)行對比,發(fā)現(xiàn)在例2中的y軸(x=0)相當(dāng)于例1中的定直線x=1,只不過因?yàn)镕點(diǎn)的特殊身份(恰為焦點(diǎn))導(dǎo)致這個(gè)背景下的動(dòng)圓與定直線y軸是相切關(guān)系(相當(dāng)于固定弦長為0)。
由此我試著去猜想:在以拋物線的對稱軸上任意一定點(diǎn)和拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的連線段為直徑的圓都會(huì)和某一條垂直于對稱軸的定直線保持所截得的的弦長為定值嗎?
接下來對這一想法做出探討和證明。
例3.設(shè)拋物線方程為C:y2=2px,點(diǎn)C(m,0)為x軸上一定點(diǎn),A(x1,y1)是C上任一點(diǎn)。
探討:是不是存在一條平行于縱軸的定直線被以AC為直徑的圓截得的弦長為確定的值呢?若存在求出這一定直線的表達(dá)式,若不存在,請說明理由。
證明:設(shè)有直線l:x=n滿足題干條件,由已知可得AC的中點(diǎn)E(x1+m2,y12),AC=(x1-m)2+y12,所以以AC為直徑的圓的半徑為r=12AC=12(x1-m)2+y12=12x12+m2+2(p-m)x1,易求得點(diǎn)E到直線x=n的距離為d=|x1+m2-n|,因此直線被圓所截弦長為:
2r2-d2=214x12+14m2+12(p-m)x1-(x1+m2-n)2
=2(n+p2-m)x1+nm-n2
取n+p2-m=0也就是n=m-p2時(shí),弦長為:2nm-n2(定值),所以直線為x=m-p2為要求定直線。
這樣,我們便把拋物線中這一類,“以拋物線對稱軸上的定點(diǎn)和其上的動(dòng)點(diǎn)連線段為直徑的圓存在相關(guān)定直線,使動(dòng)圓在該直線上所截得的弦長為定值”的問題,做出了一般化的推廣和證明。這種“動(dòng)中有定,變中有恒”的規(guī)律,正式圓錐曲線的奧妙之處。
參考文獻(xiàn):
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基金項(xiàng)目:本文系2018度河北省“三三三人才”人才資助項(xiàng)目課題《生涯規(guī)劃在數(shù)學(xué)課堂中的滲透》成果,項(xiàng)目編號:A201803084