厘“逆”之理實(shí)“順”之基
——《加法和減法》教學(xué)與評析

執(zhí)教/朱孟迪 評析/劉善娜（特級教師）

《加法和減法》這節(jié)課有兩個重點(diǎn)：其一是建構(gòu)加法和減法的意義，其二是回顧并整理加、減法各部分間的關(guān)系，建立完整的知識結(jié)構(gòu)。教材以青藏鐵路為現(xiàn)實(shí)背景，解決西寧——格爾木——拉薩鐵路線問題。先解決西寧到拉薩的鐵路長多少千米，以此來建構(gòu)加法的意義，接著變換已知數(shù)和未知數(shù)，呈現(xiàn)問題，在解決的過程中引導(dǎo)學(xué)生概括減法的意義。在此基礎(chǔ)上，回憶加、減法中的各部分名稱，探究各部分之間的關(guān)系。

這節(jié)課常見教學(xué)流程是：呈現(xiàn)加法學(xué)習(xí)素材→建構(gòu)加法概念→舉一反三豐富素材→發(fā)現(xiàn)加法各部分關(guān)系→建構(gòu)減法概念→討論各部分關(guān)系→練習(xí)深化。但是這樣的過程會因?yàn)閷W(xué)習(xí)內(nèi)容缺乏挑戰(zhàn)性、概念的抽象過程具有枯燥性而讓學(xué)生覺得索然無味。那么，是不是能找到一個點(diǎn)，將散亂抽象的點(diǎn)狀學(xué)習(xí)材料都“串”起來呢？我們進(jìn)行了這樣的嘗試：

一、課前談話初識“逆”

師：（課件出示“逆”）同學(xué)們，認(rèn)識這個字嗎？說一說你對它的理解？

生：倒過來、反過來、反著來。

師：數(shù)學(xué)中，有時也會用到這個字，一起讀一讀：“減法是加法的逆運(yùn)算?！蹦隳芨鶕?jù)自己的經(jīng)驗(yàn)解釋一下這句話嗎？你可以列一列算式，畫一畫草圖，寫一寫文字，來表示自己的想法。

二、自主表征感知“逆”

作品一：（算式）

5+3=8 8-3=5

生：加法是把兩個加數(shù)加起來，減法是從和里面減去一個加數(shù)。

師：你的意思是加法是告訴加數(shù)和加數(shù)，求和；而減法呢？

生：減法是告訴和與其中一個加數(shù)，求另一個加數(shù)。

師：是嗎？讓我們找一找——減法中的8，相當(dāng)于和；減法中的3，相當(dāng)于加數(shù)；減法中的結(jié)果，相當(dāng)于另一個加數(shù)。形成板書：

師：他發(fā)現(xiàn)——加法是告訴我們加數(shù)和加數(shù)，求和；減法是告訴我們和與其中一個加數(shù)，求另一個加數(shù)。這就是你們心目當(dāng)中的逆運(yùn)算，對不對？

作品二：（線段圖）

師：這幅線段圖逆在哪里呢？

生：左邊是把兩個數(shù)5 和3加起來；右邊是已知一個加數(shù)5與和8，求另一個加數(shù)，或者是已知一個加數(shù)3 與和8，求另一個加數(shù)。

師：你的意思是左邊這幅圖告訴我們加數(shù)與加數(shù)，求和；右邊兩幅圖告訴我們和與一個加數(shù)，求另一個加數(shù)。這位同學(xué)還從一道加法，變出兩道減法來，真不錯。

作品三：（文字）加法是越加越大，減法是越減越小。

生：加法是越加越大，減法是越減越小，所以減法是加法的逆運(yùn)算。

師：你能舉個例子嗎？

（7+2=9 7-2=5）

師：你能看著這個加法算式（7+2=9），變出兩道減法嗎？

生：9-2=7，9-7=2。

師：你們看下圖，一變就變出了逆的感覺。同學(xué)們看看，這道題（7-2=5）是這道題的逆運(yùn)算嗎？（不是的）那它是怎么逆過來的呢？（2+5=7）

三、厘清關(guān)系構(gòu)建“逆”

師：同學(xué)們真厲害，借助自己的經(jīng)驗(yàn)，想到多種方法來解釋“減法是加法的逆運(yùn)算”?，F(xiàn)在你來說說看，什么是加法？什么又是減法？

師：你們看，減法好可憐呀！它沒有專屬自己的核心詞，而是僅僅依靠加法中的“加數(shù)”、“和”這樣的核心詞。正因?yàn)槿绱?，更讓我們感受到減法是加法的逆運(yùn)算。來，讓我們再來讀一讀——你讀出“逆”的感覺了嗎？真好！在數(shù)學(xué)上，相加的兩個數(shù)叫做加數(shù)，加得的數(shù)叫做和。

四、充實(shí)素材再議“逆”

題組1：在求解中強(qiáng)化關(guān)系理解。

快問快答——已知什么？要求什么？

【設(shè)計意圖：這是一組針對性練習(xí)，針對加減法的各部分關(guān)系而設(shè)計。學(xué)生回答后要追問：“你認(rèn)為哪些題要逆過來進(jìn)行思考？”進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注“逆”關(guān)系。】

題組2：具體問題中抽象內(nèi)化運(yùn)算意義。

【設(shè)計意圖：這一層練習(xí)，分為兩層推進(jìn)，感受不同的“加法”和“減法”結(jié)構(gòu)所體現(xiàn)的相同意義。學(xué)生發(fā)現(xiàn)同一個“數(shù)學(xué)故事”，隨著信息和問題的交換，解決問題的方式就會“互逆”。線段圖，則使學(xué)生對加減法的意義有更好的理解?！?/p>

題組3：編題中感受“互逆轉(zhuǎn)化”。

【設(shè)計意圖：“運(yùn)走”、“剩下”是減法問題常見的信息描述語。求“原來”是逆推。通過這一題的解答以及隨后的自行編題“你能把這道題的問題和信息逆過來，改編成用減法解決的問題嗎”讓學(xué)生從題組中對比感知問題中蘊(yùn)含的加減法關(guān)系?！?/p>

五、理清關(guān)系深化“逆”

1.回憶舊知，進(jìn)行聯(lián)系。

師：同學(xué)們，回憶舊知，你們有沒有發(fā)現(xiàn)“減法是加法的逆運(yùn)算”這個原理，我們似曾相識？

檢驗(yàn)減法計算結(jié)果是否正確，我們可以用加數(shù)來驗(yàn)算。一圖四式中，既有加法，又有減法，計算減法時，也可以利用逆運(yùn)算快速得到答案。

2.整合理解各部分關(guān)系。

（1）動筆解答。

23 +（ ）=125，125 -（ ）=23，125+23=（）；

（）-125=23，（）-23=125，125-23=（）。

（2）分類觀察。

師：根據(jù)答案給它們分分類，你有什么新的發(fā)現(xiàn)？

生1：我發(fā)現(xiàn)，和=加數(shù)+加數(shù)，加數(shù)=和-另一個加數(shù)；被減數(shù)=減數(shù)+差，減數(shù)=被減數(shù)-差，差=被減數(shù)-減數(shù)。

生2：我發(fā)現(xiàn)，求和與求被減數(shù)竟是一樣的！

師：有這么神奇嗎？

（學(xué)生再觀察算式，并形成這樣的板書：和=加數(shù)+加數(shù) 被減數(shù)=減數(shù)+差）

生3：我還發(fā)現(xiàn)，求加數(shù)，與求差，求減數(shù)，也是一樣的。

（板書：加數(shù)=和-另一個加數(shù)，減數(shù)=被減數(shù)-差，差=被減數(shù)-減數(shù)）

師：同學(xué)們，這些加減算式中，竟然還存在如此多的關(guān)系，我們看到了它們“變中有不變”的意蘊(yùn)！現(xiàn)在，你認(rèn)為加法和減法，哪個更基礎(chǔ)？（加法）是呀，有時它這樣呈現(xiàn)——告訴我們兩個加數(shù)；有時它這樣呈現(xiàn)——只告訴我們一個加數(shù)，只要我們找到基本關(guān)系，火眼金睛進(jìn)行辨析，就可以很快得到答案。你掌握這些方法了嗎？馬上完成“學(xué)習(xí)單”第2 題。

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六、強(qiáng)化練習(xí)完善“逆”

1.算一算，破難點(diǎn)。

【設(shè)計意圖：針對學(xué)生的易錯點(diǎn)設(shè)計。追問“為什么題目中有‘加’，卻用減法做”“為什么題目中有‘減’，卻用加法做”？讓學(xué)生明白加減法互逆關(guān)系，如第2 小題的“我”既可以理解成“求和”，也可以理解成“求被減數(shù)”，能加深互逆關(guān)系理解?！?/p>

2.填一填，練重點(diǎn)。

【設(shè)計意圖：通過追問第2 小題“為什么想到是一道減法呢”，學(xué)生既可以想到“被減數(shù)-差=減數(shù)”，也可以想到“求一個加數(shù)要用減法”。】

【設(shè)計意圖：利用沒有學(xué)過的異分母分?jǐn)?shù)加法，考查學(xué)生靈活應(yīng)用加減法的關(guān)系來解決問題的能力，尤其是呈現(xiàn)圖形之間的關(guān)系，更是考查了學(xué)生對加減法意義與各部分關(guān)系的理解程度?！?/p>

【評析】

這節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容看似非常簡單，課后習(xí)題就算不教學(xué)生也會做，但整個學(xué)習(xí)材料較多、板塊瑣碎，加減法的“意義”、“關(guān)系”的表述都比較抽象，與兒童的經(jīng)驗(yàn)性語言并不契合，都需要加以引導(dǎo)和提煉。因此尋求清晰的教學(xué)路徑、生動地組織起所有學(xué)習(xí)材料，是執(zhí)教者設(shè)計本課教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)。

朱老師尋求到了很好的一個點(diǎn)，使整節(jié)課有“探”有“論”，有概念理解也有難點(diǎn)挑戰(zhàn)，將一節(jié)看似無味的課上得有深度又有趣味。而這個“點(diǎn)”，就是“減法是加法的逆運(yùn)算”的“逆”。這個“逆”關(guān)系不僅體現(xiàn)在“加減法的意義”上，更體現(xiàn)在“加減法各部分之間的關(guān)系”上?！澳妗睘楹诵牡慕虒W(xué)，就是關(guān)系角度的教學(xué)。學(xué)生借助“逆”關(guān)系的探究，建構(gòu)加、減法的概念，形成加減“逆”關(guān)系的感悟。與此同時，借助“逆”關(guān)系，架起了加法內(nèi)部關(guān)系式、減法內(nèi)部關(guān)系式、加減關(guān)系式的橋梁，形成了以“加法模型”為基礎(chǔ)的加減法關(guān)系網(wǎng)。主要凸顯了三個特色：

1．“逆”字切入，探究先行。

為什么說“減法是加法的逆運(yùn)算”？這個問題并不好回答。所以，朱老師分兩步走：你認(rèn)識的“逆”字是什么意思→“逆運(yùn)算”又是什么意思。學(xué)生對“逆”字的理解，基本會表達(dá)為“逆反”、“相反”、“反著來”。這番輕松的對話，有助于所有學(xué)生對“逆運(yùn)算”的理解。而什么是“逆運(yùn)算”，朱老師則放手讓學(xué)生自己探究“你能根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)解釋一下這句話嗎？你可以列一列算式，畫一畫草圖，寫一寫文字，來表示自己的想法”。

自主探究與表征，學(xué)生會出現(xiàn)幾個層次，其中以加減法算式舉例居多，集合圖與線段圖相對少，文字表達(dá)的更少，體現(xiàn)了學(xué)生具象表達(dá)能力占優(yōu)的特點(diǎn)。讓學(xué)生自己思考、表征貼近了學(xué)生已有的四則運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)，在后續(xù)的交流中，朱老師利用學(xué)生的表征圖式引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行了抽象和提煉，“從學(xué)生中來”的探究素材，使學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)得到了有效的提升。

2．緊扣“逆”意，搭建框架。

概念教學(xué)的一般路徑為：建立表象→豐富表象→完善概念。倘若按這樣的思路設(shè)計教學(xué)，通常是這樣的流程：學(xué)生表征加法→教師補(bǔ)充素材→形成加法概念→加法變式→建構(gòu)減法概念→教學(xué)加減關(guān)系。

本課的教學(xué)顯然又與之不同，框架簡潔清晰：學(xué)生表征“逆”關(guān)系→借助“逆”建構(gòu)加法與減法概念→利用“逆”關(guān)系重構(gòu)關(guān)系網(wǎng)?！澳妗标P(guān)系架起了本課框架，呈現(xiàn)了兩個特點(diǎn)：（1）“逆”為載體，能同時呈現(xiàn)加法與減法的概念。（2）“逆”為根源，構(gòu)成關(guān)系網(wǎng)。這樣，就將“多”、“散”“乏味”的素材串了起來，其中的關(guān)聯(lián)與意義表達(dá)成了學(xué)生感覺“神奇”的知識點(diǎn)。

3．厘“逆”之理，實(shí)“順”之基。

“加減關(guān)系”存在著千絲萬縷的關(guān)系，加法是基礎(chǔ)，是學(xué)生順向的思維方式，這為學(xué)生進(jìn)一步理解減法和后續(xù)學(xué)習(xí)提供了思維支撐。扎實(shí)“加法模型”，將推導(dǎo)出的其他關(guān)系式梳理成網(wǎng)，能夠幫助學(xué)生減輕名稱上的記憶負(fù)擔(dān)，進(jìn)而提高學(xué)習(xí)的實(shí)效。