開(kāi)放性練習(xí)，擦亮學(xué)生的眼睛

孫貴合

在上期中，我們談到了應(yīng)用開(kāi)放性練習(xí)使學(xué)生能夠用數(shù)學(xué)的頭腦去思考，那如何使學(xué)生能夠用數(shù)學(xué)的眼光看世界呢？本期我們圍繞這一主題和大家進(jìn)行交流。

開(kāi)放性練習(xí)除了能夠打開(kāi)學(xué)生的思維，還有更重要的一點(diǎn)，就是把所學(xué)知識(shí)在生活中找到原型，也是就能夠納入生活中去，從而使學(xué)生體驗(yàn)：生活——數(shù)學(xué)——生活。數(shù)學(xué)的眼光，就是能夠從日常的生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的信息；能從基礎(chǔ)紛繁復(fù)雜的情境中發(fā)現(xiàn)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)原理；從平凡的事實(shí)出發(fā)，能夠思考出不平凡的理論……因此在開(kāi)放性的練習(xí)設(shè)計(jì)過(guò)程中，教師可以加入一些生活中的素材，拓展學(xué)生視野同時(shí)，感受知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界。

●案例：《同分母分?jǐn)?shù)加減法》

對(duì)于計(jì)算課，大多數(shù)內(nèi)容都是反復(fù)的計(jì)算，但除了計(jì)算之外，我們是否可以讓學(xué)生感受一個(gè)真正學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)呢？人教版這部分內(nèi)容課后有這樣一道練習(xí)題：分母是10 的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)的和是多少？很多教師處理這道題時(shí)，只是讓學(xué)生計(jì)算，強(qiáng)調(diào)是最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)。在學(xué)生得到正確結(jié)果之后，這道題也就失去了它的意義，但是如果這道題只以計(jì)算出正確結(jié)果為目的，那就失去了它本身更大的作用。

我在進(jìn)行這部分教學(xué)時(shí)，當(dāng)學(xué)生已經(jīng)計(jì)算出本題的正確結(jié)果之后，提了一個(gè)問(wèn)題——

師：同學(xué)們，分母是10 的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)的和是整數(shù)，你還有什么別的想法嗎？

生1：那分母是100 的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)的和是不是也是整數(shù)？

師：你提出了一個(gè)很好的問(wèn)題，我也不知道答案。還有嗎？

生2：那分母是1000 的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)的和是不是也是整數(shù)？

師：雖然你也提出了一個(gè)問(wèn)題，但和剛才同學(xué)所提的問(wèn)題類(lèi)似，你是在模仿，因?yàn)槟銈兊膯?wèn)題都是100、1000 這樣的數(shù)，沒(méi)有超越，看誰(shuí)能提出有超越的問(wèn)題？

在這里可能有的老師會(huì)說(shuō)，為什么要否定生2 提出的問(wèn)題。因?yàn)樵谖覀兊恼n堂上存在著大量的模仿，學(xué)生并沒(méi)有自己真正的思考。什么是創(chuàng)造性思維？由1 到100 不是創(chuàng)造，由1 到10000 也不是創(chuàng)造，而由0 到1 的過(guò)程才是創(chuàng)造。所以讓學(xué)生能夠跳出原有思維的圈子，才是創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)。

生3：老師，是不是所有整數(shù)以某個(gè)整數(shù)為分母的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)的和都是整數(shù)？

師：你提出了一個(gè)很大的問(wèn)題，其他同學(xué)對(duì)他的這個(gè)問(wèn)題，你們有什么想法嗎？

生4：生3 提出的不對(duì)，因?yàn)檎麛?shù)2，以它為分母的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)只有，和不是整數(shù)。

師：看來(lái)有了不成立的例子了，但能不能修改一下這句話讓它成立呢？

生3：所有大于等于3 的整數(shù)，以它為分母的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)的和都是整數(shù)。

師：我們一起舉例子來(lái)試一試吧。（學(xué)生舉例）

第二天，我剛到辦公室門(mén)口，就有一群學(xué)生追了過(guò)來(lái)。一起激動(dòng)地說(shuō)：“老師，咱們五（二）班猜想真成立?！?/p>

師：你們?cè)趺粗莱闪ⅲ?/p>

生：我們?cè)嚵耍汲闪ⅰ?/p>

師：好一會(huì)上課時(shí)我們?cè)賳?wèn)問(wèn)其他同學(xué)的結(jié)果。

上課開(kāi)始，我問(wèn)全班同學(xué)誰(shuí)昨天證明五（二）班定理了，全班同學(xué)都舉手。

師：那你們誰(shuí)找到不成立的例子嗎？

生：沒(méi)有，都成立。

師：那現(xiàn)在我們是不是可以說(shuō)，我們五（二）班定理成立？

采取SPSS11.0軟件進(jìn)行分析,計(jì)量資料(均數(shù)±標(biāo)準(zhǔn)差)表示,t檢驗(yàn),計(jì)數(shù)資料(n,%)表示,x2檢驗(yàn),P<0.05差異存在統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

生：可以。

師：同學(xué)們，你們的心情老師可以理解，但我們現(xiàn)在只能稱它為：五（二）班猜想。因?yàn)槲覀兪峭ㄟ^(guò)舉例的方法，不能夠把所有情況都進(jìn)行嘗試，要證明它成立，要通過(guò)系統(tǒng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明方法才能夠證明，如果我們班有同學(xué)一直從事數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，希望有一天你能夠把這個(gè)猜想證明出來(lái)，然后告訴我們同學(xué)。

我們?cè)囍ハ?，如果一名同學(xué)一直從事數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，有一天在翻閱《數(shù)學(xué)史》的過(guò)程中看到這樣一段話：早在二百多年前，大數(shù)學(xué)家歐拉曾經(jīng)提出過(guò)這樣的猜想：所有大于等于3 的整數(shù)，以它為分母的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)的和都是整數(shù)。這個(gè)猜想通過(guò)證明得到了正確結(jié)論，也被稱為歐拉定理。我想這個(gè)時(shí)候這個(gè)學(xué)生不會(huì)埋怨老師當(dāng)時(shí)沒(méi)有告訴他這個(gè)結(jié)論，他會(huì)更感謝老師，在他的心里種下了一顆數(shù)學(xué)的種子，才讓他一直堅(jiān)持著數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。

對(duì)于這道題，我當(dāng)時(shí)還想了另外一種處理方法，就是當(dāng)啟發(fā)學(xué)生提出“所有大于等于3 的整數(shù)，以它為分母的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)的和都是整數(shù)”之后，告訴學(xué)生這個(gè)結(jié)論就是“歐拉定理”。我想當(dāng)學(xué)生了解后，心情也是非常激動(dòng)的，但激動(dòng)過(guò)后，又能給他們留下什么呢？因?yàn)闅W拉已經(jīng)證明了，所以學(xué)生不需要思考了。

●案例：《因數(shù)和倍數(shù)》

在教學(xué)這一部分時(shí)，平時(shí)我們只是關(guān)注學(xué)生能否正確找到一個(gè)數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)，那是否能夠在學(xué)習(xí)的過(guò)程中激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的源動(dòng)力呢？于是在新課學(xué)習(xí)之后，我出了這樣一道題目：

師：有9 顆珠子，擺在一個(gè)計(jì)數(shù)器上，能擺出哪些兩位數(shù)？

生：18、27、36、45、54、63、72、81、90。

師：認(rèn)真觀察這些兩位數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：這些兩位數(shù)，個(gè)位數(shù)和十位數(shù)相加都等于9。

師：9 顆珠子擺的，相加肯定等于9。

生：這些兩位數(shù)都顛倒著，18、81；27、72；36、63；……

師：真的是呀，還有嗎？

生：都是9 的倍數(shù)。

師：9 顆珠子，擺出的兩位數(shù)都是9 的倍數(shù)，那你有什么大膽的猜想嗎？

生1：我猜8 顆珠子擺出的兩位數(shù)就是8 的倍數(shù)。

師：很好，這就是生1 猜想。其他同學(xué)呢？

生2：我猜7 顆珠子擺出的兩位數(shù)就是7 的倍數(shù)。

師：很好，這就是生2 猜想。還有嗎？

師：現(xiàn)在每位同學(xué)都有了自己的猜想，那我們就帶著自己的猜想課下去驗(yàn)證吧。

讓學(xué)生帶著問(wèn)題走進(jìn)課堂，同時(shí)也讓學(xué)生帶著問(wèn)題走出課堂。學(xué)習(xí)不僅是課堂上的事，也是生活中的事，我們更要培養(yǎng)學(xué)生終身學(xué)習(xí)的能力，所以要讓學(xué)生自己學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。同時(shí)我這道題的設(shè)計(jì)是在為學(xué)生學(xué)習(xí)《3 的倍數(shù)的特征》打下基礎(chǔ)，因?yàn)閷W(xué)生從一年級(jí)到五年級(jí)，從來(lái)沒(méi)有做過(guò)要把個(gè)位數(shù)字和十位數(shù)字相加的事，所以學(xué)習(xí)起來(lái)有困難，于是我給學(xué)生一次體驗(yàn)的機(jī)會(huì)，這也就是學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的積累。

另外，這道題還肩負(fù)著另一重任：讓學(xué)生經(jīng)歷一次真正的科學(xué)猜想、驗(yàn)證、結(jié)論的過(guò)程。因?yàn)槲覀儸F(xiàn)今的很多證明，學(xué)生經(jīng)歷的都是偽證明，由于課堂教學(xué)任務(wù)的影響，使學(xué)生的操作“一實(shí)驗(yàn)就成功”，但在科學(xué)發(fā)展的過(guò)程中，是經(jīng)歷很多次的失敗最后才取得一次成功。于是在第二節(jié)課，我對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行反饋。

師：你的“生1 猜想”怎么樣？

生：不成功。

師：你的“生2 猜想”呢？

生：也不成功。

師：那是不是所有的猜想都不成功呢？

生：老師，我的猜想成功，我猜想3 顆珠子擺出的兩位數(shù)就是3 的倍數(shù)，您看：12、21、30，都是3的倍數(shù)。

師：看，雖然很多人都沒(méi)成功，那是不是就失敗了呢？錯(cuò)，其實(shí)你們已經(jīng)成功的證明了那些猜想不可以，同時(shí)不要因畏懼失敗而不敢大膽猜想，因?yàn)橹挥杏辛瞬孪氩庞谐晒Φ目赡堋?/p>

在這樣的過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷了：猜想——驗(yàn)證——結(jié)論的過(guò)程，有成功也有失敗，但畢竟這個(gè)過(guò)程對(duì)于學(xué)生來(lái)講，是非常難得的。所以多給學(xué)生留下點(diǎn)空間，讓學(xué)生獨(dú)立思考。從一個(gè)普通的事件出發(fā)，能夠發(fā)現(xiàn)常人不容易發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題，并且通過(guò)自己的證明方法，得出了結(jié)論，這不正是我們數(shù)學(xué)的眼光看世界嗎？