數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)對(duì)解數(shù)學(xué)題的啟示

【摘 要】本文基于對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)內(nèi)在關(guān)系的剖析，提出了解數(shù)學(xué)題的科學(xué)方法。同時(shí)，針對(duì)新版教材的變化，對(duì)教材培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的意圖做了分析，提出了如何利用教材來(lái)更好地培養(yǎng)學(xué)生解數(shù)學(xué)題的能力。還結(jié)合波利亞的《怎樣解題》與當(dāng)前教材改革的導(dǎo)向，提出了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)對(duì)解數(shù)學(xué)題的啟示，并利用高考題加以分析與示范。

【關(guān)健詞】高中數(shù)學(xué);核心素養(yǎng);題目分析;解題能力

核心素養(yǎng)的考查是高考的重點(diǎn)，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)。本文基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)對(duì)解數(shù)學(xué)題的啟示，從四個(gè)方面進(jìn)行剖析，提出了獨(dú)特的見(jiàn)解，以期為中學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)提供一些啟示，為中學(xué)生學(xué)習(xí)提供一些方法。

1? ?數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：學(xué)科核心素養(yǎng)是育人核心價(jià)值的集中體現(xiàn)，是學(xué)生通過(guò)學(xué)科學(xué)習(xí)而逐步形成的正確價(jià)值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力。數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析[2]。其中，數(shù)學(xué)抽象與直觀想象是用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，邏輯推理與數(shù)學(xué)建模是用數(shù)學(xué)的思維分析世界，數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)據(jù)分析是用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界。數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用過(guò)程中逐步形成和發(fā)展的，解數(shù)學(xué)題是培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一種重要途徑。

2? ?數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)對(duì)解數(shù)學(xué)題的啟示

對(duì)于在解題中體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，美國(guó)數(shù)學(xué)家G.波利亞在《怎樣解題》中給出了一個(gè)表格，筆者分析如下。

（1）閱讀題目，尋找解題信息，通過(guò)數(shù)學(xué)抽象與直觀想象理解題目。用數(shù)學(xué)的眼光觀察題目：數(shù)清條件的個(gè)數(shù)，條件與條件之間的關(guān)系是什么，條件與求證或求解之間有什么關(guān)系，命題者想考查哪一部分的知識(shí)，想考查什么能力與素養(yǎng)？這里強(qiáng)調(diào)數(shù)清條件的個(gè)數(shù)及理解

背景。

（2）利用邏輯推理與數(shù)學(xué)建模思維尋找解決方案，找出已知量與未知量之間的聯(lián)系。波利亞的《怎樣解題》建議，如果找不到直接的聯(lián)系，可以考慮輔助題目，最終得到一個(gè)解題方案。用數(shù)學(xué)的思維分析題目的解決方案：這個(gè)題目用到了什么知識(shí)，類(lèi)似題目是用什么樣的方法解決的？根據(jù)條件的特征或是式子的特征，可以選擇哪種方法解題？可以分哪些步驟把問(wèn)題解出來(lái)？這里強(qiáng)調(diào)分析數(shù)學(xué)式子或知識(shí)的結(jié)構(gòu)。

（3）利用運(yùn)算與數(shù)據(jù)分析，執(zhí)行解決方案。用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)解題過(guò)程：利用選擇的方案去解題，通過(guò)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析表達(dá)解題過(guò)程，這個(gè)過(guò)程中如果遇到困難，就需要重新選擇并制定方案。這里強(qiáng)調(diào)條件的等價(jià)轉(zhuǎn)化與條件使用的順序。

（4）利用邏輯推理與數(shù)學(xué)建模檢驗(yàn)結(jié)果。用數(shù)學(xué)的思維檢驗(yàn)結(jié)果的正確性：可以通過(guò)特值排除、驗(yàn)證、建立模型等方法檢驗(yàn)結(jié)果或論證[1]。這里強(qiáng)調(diào)結(jié)果在問(wèn)題中的核心作用。

3? ?通過(guò)高考題剖析基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的解題

例1 已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)。證明：①在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn);②有且僅有2個(gè)零點(diǎn)。

步驟一：閱讀題目，尋找解題信息，通過(guò)數(shù)學(xué)抽象與直觀想象理解題目。

這個(gè)題目是考導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。函數(shù)導(dǎo)數(shù)的極值問(wèn)題中，先要函數(shù)導(dǎo)數(shù)等于0有根，還要在根的兩側(cè)附近異號(hào);關(guān)于函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，有零點(diǎn)的存在性定理。

步驟二：利用邏輯推理與數(shù)學(xué)建模尋找解決方案，找出已知量與未知量之間的聯(lián)系。

（1）要證明函數(shù)在存在唯一極大值點(diǎn)，只需證其導(dǎo)數(shù)在單調(diào)遞減，且在該區(qū)間內(nèi)有唯一的零點(diǎn)。

（2）由于函數(shù)中有正弦函數(shù)，正弦函數(shù)有周期性，而第一問(wèn)所給的區(qū)間是，所以結(jié)合五點(diǎn)法做圖時(shí)要用到五點(diǎn)的橫坐標(biāo)，分區(qū)間研究的零點(diǎn)。

步驟四：利用邏輯推理與數(shù)學(xué)建模檢驗(yàn)結(jié)果。

（1）分析所用知識(shí)和定理的正確性：本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值之間的關(guān)系、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題。解決零點(diǎn)問(wèn)題的關(guān)鍵，一方面是利用零點(diǎn)存在性定理或最值點(diǎn)來(lái)說(shuō)明存在零點(diǎn)，另一方面是利用函數(shù)的單調(diào)性說(shuō)明區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)的唯一性，二者缺一不可。

（2）檢驗(yàn)運(yùn)算的結(jié)果正確，步驟合理。

例2 古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是（，稱(chēng)為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此（如下圖所示）。此外，最美人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是。若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長(zhǎng)為105cm，頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26cm，則其身高可能是（? ? ）。

A.165cm? B.175cm? C.185cm? D.190cm

步驟一：閱讀題目，尋找解題信息，通過(guò)數(shù)學(xué)抽象與直觀想象理解題目。

該題以“斷臂維納斯”為背景，滲透了數(shù)學(xué)之美與數(shù)學(xué)的應(yīng)用。將人體抽象為線段，黃金分割比例就是把線段分為固定的比例。題目中兩次提到黃金分割，即有四條線段。

步驟二：利用邏輯推理與數(shù)學(xué)建模尋找解決方案，找出已知數(shù)據(jù)與未知量之間的聯(lián)系。

設(shè)頭頂處為點(diǎn)A、咽喉處為點(diǎn)B、脖子下端處為點(diǎn)C、肚臍處為點(diǎn)D、腿根處為點(diǎn)E、足底處為F，則可利用比例的知識(shí)求線段AF的長(zhǎng)。

步驟三：利用數(shù)學(xué)的運(yùn)算與數(shù)據(jù)分析執(zhí)行解決方案。

根據(jù)腿長(zhǎng)為105cm，頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26cm可得ABEF;即<26，>105，將≈0.618代入，可得40<<42。

所以169.6<<178.08，故選B。

從解題的角度去體驗(yàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的作用，為數(shù)學(xué)的教學(xué)提供了方向。當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)突出了問(wèn)題的分析、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)解題過(guò)程、檢驗(yàn)解題結(jié)果，而對(duì)“用數(shù)學(xué)的眼光理解知識(shí)與問(wèn)題”做得還不夠。所以有時(shí)會(huì)出現(xiàn)題講過(guò)了，學(xué)生聽(tīng)明白了，但仍不會(huì)獨(dú)立解決問(wèn)題的情況。在2019年國(guó)家教材委員會(huì)專(zhuān)家委員會(huì)審核通過(guò)的普通高中教科書(shū)中，每節(jié)的正文中都增加了很多的思考與探究，還設(shè)置了習(xí)題的復(fù)習(xí)鞏固、綜合運(yùn)用、拓展探索等欄目，有些章節(jié)還穿插了閱讀與思考的內(nèi)容[3]。這些都是編者為用數(shù)學(xué)的眼光理解知識(shí)與問(wèn)題提供的素材，也是為培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)提供的材料。教師只有理解數(shù)學(xué)素養(yǎng)的內(nèi)在聯(lián)系，理解教材編者的意圖，才能在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。有了良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，學(xué)生就能在做題時(shí)水到渠成地找到解題方法。

【參考文獻(xiàn)】

[1]G·波利亞著;涂泓，馮承天，譯.怎么解題——數(shù)學(xué)思維的新方法[M].上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2011.

[2]中華人民共和國(guó)教育部制定.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[3]人民教育出版社、課程教材研究所、中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究中心編著.普通高中教科書(shū)（2019年版）[M].北京：人民教育出版社，2019.

【作者簡(jiǎn)介】

張憲華，中學(xué)高級(jí)教師，沂蒙名師，臨沂市教學(xué)能手。