添加輔助線巧解中學(xué)數(shù)學(xué)試題例析

揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(225002) 張夢穎 濮安山

在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,為了避免繁瑣的解題步驟,我們通常會采取一些方法來簡化解題的過程,從而提高解決問題的效率,發(fā)展思維.其中添加輔助線就是用來巧解問題的方法之一.本文通過對添加輔助線構(gòu)造三角形、圓形以及平行四邊形這三類典型方式進(jìn)行例題分析,加深學(xué)習(xí)者對于輔助線的了解與掌握.

1 輔助線

輔助線顧名思義就是起輔助作用的線,具體來說,就是根據(jù)題目中所給的條件以及圖形,將其中隱藏的輔助條件找出來,以輔助線的形式在圖中構(gòu)造輔助圖形,從而解決問題.其本質(zhì)就是構(gòu)造相關(guān)的輔助圖形,例如三角形、圓形、平行四邊形、線段等等.添加輔助線解決數(shù)學(xué)問題是解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題的常用方法.通過對輔助線的使用,能夠極大提高我們解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題的效率,將復(fù)雜的運(yùn)算題目變得簡單直觀;此外,添加輔助線能夠開發(fā)學(xué)生的動手實踐能力,發(fā)展學(xué)生的空間想象力與創(chuàng)造力,對于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),解決數(shù)學(xué)問題,發(fā)展數(shù)學(xué)思維具有極其重要的作用.

2 實例解析

2.1 構(gòu)造三角形的輔助線

例1 (南京2018 中考數(shù)學(xué)第20 題)如圖1,在四邊形ABCD中,BC=CD,∠C=2∠BAD.O是四邊形ABCD內(nèi)一點,且OA=OB=OD.求證:四邊形OBCD是菱形.

分析要解決的問題是證明四邊形OBCD是菱形,即:四邊形四邊相等;平行四邊形鄰邊相等;平行四邊形對角線互相垂直平分等;題目中給的條件,有關(guān)角的條件只有一個,其余都是有關(guān)邊的條件,那么優(yōu)先選擇證四邊相等,觀察圖形,要利用題目中給出的條件證明OB=OD=BC=CD,直接證明存在難度,那么思考如何簡潔獲取答案.

證明連接OC,因為OB=OD,BC=CD,OC=OC,所以△OBC∽=ΔODC.所以∠BOC=∠DOC,∠BCO=∠DCO.因為∠BOD=∠BOC+∠DOC,∠BCD=∠BCO+∠DCO,所以又因為∠BOD=∠BCD,所以∠BOC=∠BCO,所 以BO=BC,又因為OB=OD,BC=CD,所以O(shè)B=BC=CD=DO,所以四邊形OBCD是菱形.

圖1

思考這一題解題關(guān)鍵就在于OC這條輔助線的建立,通過連接OC,利用三角形全等得到我們需要的條件,從而進(jìn)一步貼近我們最終要證明出來的條件,進(jìn)而解決問題.

例2(蘇州2018 中考數(shù)學(xué)第17 題)如圖2,在RtΔABC中,將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到ΔAB′C′,連接B′,C,則sin ∠ACB′的值是多少?

分析要求該角的正弦值,在直角三角形中,才會有正弦值的存在,并且這并不是一個特殊角.

圖2

證明(用輔助線構(gòu)造直角三角形)過點B′作B′D ⊥ AC于點D.在RtΔABC中,因為∠B=90°,所以所以BC:AB:AC=1:2:由條件,得∠BAB′=90°,所以∠BAC+∠CAB′=90°.又因為∠BAC+∠ACB=90°,所以∠CAB′=∠ACB.又因為∠ADB′=∠B=90°,所以△ADB′∽ΔCBA,所以AD:DB′:AB′=CB:BA:CA=1:2:因為所以AD=2,B′D=4,所以CD=AC -AD=3.在RtΔCDB′中,因為∠B′DC=90°,所以所以

思考這道題主要關(guān)鍵就是使用輔助線構(gòu)造出直角三角形,通過相似三角形的轉(zhuǎn)換求得所需邊的長度,從而求得sin ∠ACB′的值.

例3 (無錫2018 中考數(shù)學(xué)第24題) 如圖3,四邊形ABCD內(nèi)接于圓O,AB=17,CD=10,∠A=90°,求AD的長.

分析如何利用給出的∠B的余弦值來求得AD的長度,直角三角形中存在余弦值.

解延長AD,BC交于點E,因為AD⊥AB,∠DAB=90°,∠E+∠EDC=90°,∠E+∠B=90°,所以,∠B=∠EDC,所以AD=EA-ED=

圖3

思考這一道題和上面兩道題有所不同,上面兩題是在圖中進(jìn)行添加輔助線,而這一道題是在圖形的外部進(jìn)行輔助線的添加,相當(dāng)于“割”與“補(bǔ)”;但相同的都是上述三題都是在原圖形中通過添加輔助線構(gòu)造三角形,利用三角形的知識內(nèi)容來解決這一問題,將原題條件進(jìn)行重新的分析與整合,“轉(zhuǎn)個彎”來解決現(xiàn)有題目.

2.2 構(gòu)造平行四邊形的輔助線

例1如圖4,已知點O是平行四邊形ABCD的對角線AC的中點,四邊形OCDE是平行四邊形,求證:OE與AD互相平分.

分析添加合適的輔助線構(gòu)造平行四邊形解決問題.

證明連接AE、OD.因為四邊形OCDE是平行四邊形,所以O(shè)C//DE,OC=DE.又因為點O是AC的中點,AO//ED,AO=ED,所以,四邊形AODE是平行四邊形.根據(jù)平行四邊形性質(zhì),可得:OE與AD互相平分.

圖4

思考這一道題輔助線的添加并不是多難,關(guān)鍵在于對于題目中給出的平行四邊形以及對角線互相平分性質(zhì)的理解.通過對條件與問題的豎立,明確對角線平分的性質(zhì),從而添加輔助線構(gòu)造平行四邊形.

例2如圖5,在△ABC中,E、F為AB上兩點,AE=BF,ED//AC,FG//AC交BC分別為D、G.求證:ED+FG=AC.

圖5

分析第一,明確問題:ED+FG=AC;第二,弄清所給條件,邊平行、邊相等(平行相等在很多圖形中都有,根據(jù)題目中的已知條件,選擇合適的圖形進(jìn)行問題解決); 第三,要證ED+FG=AC,則AC是可以劃分成兩部分,依據(jù)圖形,我們選擇添加輔助線構(gòu)造平行四邊形.

證明過點E作EH//BC,交AC于點H,因為DE//AC,EH//BC,根據(jù)兩對邊平行,可得:四邊形CDEH是平行四邊形,ED=HC,又FG//AC,EH//BC,所以∠AEH=∠B,∠A=∠BFG.又AE=BF,所以ΔAEH∽=ΔFBG.AH=FG,FG+ED=AH+HC=AC.

思考由于該題條件中涉及到邊的平行,而且是兩對邊的平行,則自然會想到與平行四邊形的聯(lián)系,根據(jù)所求判斷邊與邊之間的關(guān)系.

例3如圖6,已知AD是△ABC的中線,BE交AC于點E,交AD于點F,且AE=EF.求證:BF=AC.

圖6

證明延長AD 到G,使得DG=AD,連接BG,CG,因為BD=CD,四邊形ABGC是平行四邊形,AC=BG,AC//BG,所以∠CAD=∠BGD.因為AE=EF,所以∠CAD=∠BFD,又∠AFE=∠BFD,所以∠CAD=∠BGD,BF=BG=AC.

2.3 構(gòu)造圓的輔助線

例1如圖7,在△ABC中,AB=AC=2,點D在BC的延長線上,AD=4,求BD·CD.

分析聯(lián)想到割線定理.關(guān)鍵就在于圓輔助線的添加.

解如圖7,以點A為圓心,AB為半徑作圓A,交AD于點F,延長DA交圓A于點E因為點B、C、E、F都是圓上的點,所以AE=AF=AB=2,DF=AD-AF=2,DE=AD+AE=6.根據(jù)圓的割線定理,可得:BD·CD=DE·DF=12.

圖7

思考解決幾何問題絕大部分情況都需要添加輔助線,而輔助線的好壞直接關(guān)系到解題的質(zhì)量與效率,好的輔助線往往能起到事半功倍的效果,能大大提升學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)興趣和積極性,使人能時常感到滿滿的成就感.

例2如 圖 8,四 邊 形ABCD中,∠ABC=∠CDA=90°,AD=CD=5,AB=7,BC=1,求BD的值.

分析思考如何利用已有的條件解決該題的問題(可將題目中給的條件的賦值標(biāo)在圖形中);根據(jù)托勒密定理:圓的內(nèi)接凸四邊形兩對角線的積等于兩對邊的積的和.

圖8

解連接AC,則AC為圓的直徑,點A、B、C、D在圓上,因為∠CDA=90°,所以AC2=AD2+CD2=50,因為∠ABC+∠CDA=180°,所以四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形,根據(jù)托勒密定理,得:AC·BD=AD·BC+AB·CD,

思考這一道題輔助線的添加是一個極具技巧性的方法,主要是關(guān)于A、B、C、D在同一個圓上的這一條件需要從題目中給的條件當(dāng)中獲取,不僅要把輔助線畫出,還需要證明A、B、C、D共圓.所以這一道關(guān)于圓的題的輔助線的添加還是比較難想的,具有很大的特殊性.

例3.(揚(yáng)州樹人中學(xué)周練題)如圖9,有A、B、C三點,∠ACB=45°,點B的坐標(biāo)為(-6,0),點A的坐標(biāo)為(4,0),點C的坐標(biāo)為(0,c),求C點的縱坐標(biāo).

圖9

分析首先,根據(jù)題目中的信息條件畫出如圖9的坐標(biāo)系以及三角形,然后明確我們要解決的問題:點C的坐標(biāo),最后根據(jù)畫出的圖形以及題目中給的坐標(biāo)值,添加適合的輔助線解決問題.

解作AB的垂直平分線,點A、B、C在同一個圓上,由題目中條件可知:B(-6,0),A(4,0),所以AB的垂直平分線與x軸的坐標(biāo)為(-1,0),圓心在這條垂直平分線上,因為在垂直平分線上能夠找到一點S使得A、B、C共圓,由圖以及圓心角性質(zhì)可知,SA=SB=SC,∠ASB=90°,在△ABS中,SB=SA,SB=SA=SC=∠ASB=90°.S點的縱坐標(biāo)為5,再根據(jù)直角三角形勾股定理,可得:c=5+7=12.所以C點的坐標(biāo)為(0,12).

思考這是一道需要巧妙思考的幾何體,關(guān)鍵就在于圓的輔助線的添加,并能夠根據(jù)給出的45°的角度聯(lián)系到圓的圓周角與圓心角的性質(zhì),從而利用題目中的條件畫出圓,并根據(jù)圓的性質(zhì)與直角三角形中的勾股定理得出答案.

3 總結(jié)

添加輔助線構(gòu)造三角形、圓形、平行四邊形以及線段等等是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的解決問題的手段,是中學(xué)數(shù)學(xué)的需要掌握的構(gòu)造法之一.在添加這一類輔助線的過程中,重要的是對于題目中條件的了解與分析,弄清楚條件之間的聯(lián)系,條件與問題之間的聯(lián)系,從而有理有據(jù)的添加合適的輔助線來巧妙地解決問題.