一種改進的加權(quán)最小二乘無網(wǎng)格法

張可庠 高春磊

摘? 要：目前現(xiàn)有的無網(wǎng)格方法因為不依賴網(wǎng)格的劃分，所以在處理一些傳統(tǒng)有限元方法中需要網(wǎng)格重構(gòu)的問題上具有很大的優(yōu)勢。在基于Galerkin法建立其的弱勢控制方程需要進行積分，運算量大。該文結(jié)合加權(quán)最小二乘無網(wǎng)格法，引入具有插值特性的Shephard形函數(shù)，推導(dǎo)出一種改進的加權(quán)最小二乘無網(wǎng)格法，使其能夠方便地添加本質(zhì)邊界條件，并且提高了精度。最后編制了程序提供了一個算例驗證該算法。

關(guān)鍵詞：加權(quán)最小二乘法? Shephard形函數(shù)? 無網(wǎng)格法

中圖分類號：TK124 ? ?文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2020）01（b）-0206-04

在處理數(shù)值仿真的問題上，無網(wǎng)格方法是用節(jié)點對求解域離散，相比有限元法利用單元網(wǎng)格進行離散，在處理自適應(yīng)分析、大變形和裂紋擴展等在傳統(tǒng)有限元中需要網(wǎng)格重構(gòu)的問題上，有著靈活有效等優(yōu)點。最近十多年來，在計算力學(xué)界和各相關(guān)領(lǐng)域得到了較大的關(guān)注和研究[1-2]。

目前現(xiàn)有的無網(wǎng)格方法的分類主要根據(jù)其使用的形函數(shù)不同進行分類，主要包括[3-8]：滑動最小二乘法（MLS）近似的無網(wǎng)格方法、核函數(shù)近似的無網(wǎng)格方法（SPH、RKPM）、點插值近似的無網(wǎng)格方法（PIM、RPIM）、自然鄰接點插值近似的無網(wǎng)格方法（NEM、NNM）。上述方法中，大多數(shù)是基于Galerkin法建立弱式的控制方程，需要利用各節(jié)點的子域進行積分，由于這些近似函數(shù)都不是多項式，因此需要使用高階高斯積分，計算量較大。針對上述問題，清華大學(xué)張雄教授提出了一種加權(quán)最小二乘法[9]，是利用最小二乘法系統(tǒng)建立變分原理，將控制方程殘差在所有節(jié)點上（包括邊界點）予以消除，具有易于編程實現(xiàn)、計算量小、結(jié)果穩(wěn)定等優(yōu)點。但其使用的形函數(shù)是基于最小二乘法建立起來的形函數(shù)，不具備有插值特性，在施加本質(zhì)邊界條件時候使用罰函數(shù)法，并不是精確滿足的，因此在計算中容易出現(xiàn)數(shù)值振蕩現(xiàn)象[1]。

該文引入一種新發(fā)展的無網(wǎng)格Shepard-最小二乘（LMSLS）插值方法[10]，推導(dǎo)出一種改進的加權(quán)最小二乘法。新的LMSLS其形函數(shù)滿足Kronecker條件，可以直接施加邊界條件，能夠精確滿足，基于這種形函數(shù)導(dǎo)出的加權(quán)最小二乘法可以克服或者減少數(shù)值振蕩現(xiàn)象，提高精度，同時具備傳統(tǒng)加權(quán)最小二乘法計算量小、易于編程實現(xiàn)等優(yōu)點。最后給出算例驗證該方法的有效性。

1? LMSLS插值近似函數(shù)

Shepard-最小二乘（LMSLS）插值技術(shù)是基于單位分解的概念（Partion of Unity）[11]。由最小二乘形函數(shù)的基礎(chǔ)再運用Shepard形函數(shù)做加權(quán)，使其具有delta屬性及精確再生基函數(shù)能力。詳細的推導(dǎo)證明過程相關(guān)文獻[10，12，13]中給出了敘述。下面對其推導(dǎo)過程做個簡單的敘述。

如圖1所示，對任意分析區(qū)域Ω離散成N個節(jié)點。設(shè)其中任意節(jié)點i的坐標(biāo)為xi，影響半徑為dmi，節(jié)點i的影響范圍內(nèi)有m個節(jié)點，由傳統(tǒng)的MLS形函數(shù)方法，得到位移近視函數(shù)，以x方向位移u（x）為例，可得如下定義：

上述加權(quán)最小二乘法類似文獻[9]傳統(tǒng)的加權(quán)最小二乘法的推導(dǎo)，因為其形函數(shù)具備Kronecker條件，因此不用罰函數(shù)法添加本質(zhì)邊界條件，可以在邊界條件上直接相等。

3? 計算算例

該文以文獻[1]中加權(quán)最小二乘法算例為驗證，比較改進后的加權(quán)最小二乘法與傳統(tǒng)的加權(quán)最小二乘法做對比。

以一維受線性分布載荷作用桿模型為例，如圖2所示，桿L為單位桿，E=1，v=0.3，求解受線性分布載荷情況下桿的位移與應(yīng)力。采取均勻分布的11給節(jié)點，dmi為0.1。圖3為計算桿的位移與應(yīng)力結(jié)果，該算例的解析表達式為：

計算得出，傳統(tǒng)的加權(quán)最小二乘法LuMSL=0.98LuMSL=1.28，而改進的加權(quán)最小二乘法LuLMSLS=0.97，LsLMSLS=1.26。由于算例只是一維簡單算例，精確度提高不明顯，但還是有所提高。根據(jù)誤差分析原理，可以推導(dǎo)出，再處理二維問題或三維問題，改進的加權(quán)最小二乘法精度能得到明顯提高。

4? 結(jié)語

針對弱勢無網(wǎng)格法建立起的計算方法計算量大，而配點法雖然計算量下，但精度不高，且數(shù)值穩(wěn)定性不好等缺點，結(jié)合傳統(tǒng)的加權(quán)最小二乘法，提出了一種改進的加權(quán)最小二乘法。通過一維算例驗證，改進的加權(quán)最小二乘法精度較傳統(tǒng)的加權(quán)最小二乘法高。由于改進方法的形函數(shù)是由傳統(tǒng)方法的形函數(shù)推導(dǎo)而來，其在程序上實現(xiàn)容易，兼顧了傳統(tǒng)加權(quán)最小二乘法計算量小、易于編程實現(xiàn)的優(yōu)點，同時提高了計算精度。

參考文獻

[1] 張雄，劉巖.無網(wǎng)格方法[M].北京：清華大學(xué)出版社，2004.

[2] 李九紅，程玉民.無網(wǎng)格方法的研究進展與展望[J].力學(xué)季刊，2006（1）：143-152.

[3] P. Lancaster，K.Salkauskas. Surfaces generated by moving least squares methods[J].Mathematics of computation，1981（37）：141-155.

[4] 張延軍，王恩志.新型無網(wǎng)格法（IMLS方形域法）的研究及其應(yīng)用[J].巖土工程學(xué)報，2006（7）：886-890.

[5] Liu GR，Gu YT.Comparisons of two meshfree local point interpolation method for structure analyses[J].Computational Mechanics，2002（29）：107-121.

[6] 龍述堯.彈性力學(xué)問題的局部Petrov-Galerkin方法[J].力學(xué)學(xué)報，2001（4）：508-518.

[7] 李樹忱，程玉民，李術(shù)才.擴展的無網(wǎng)格流形方法[J].巖石力學(xué)與工程學(xué)報，2005（12）：2065-2073.

[8] A. Galavís，D.González，E.Cueto.A natural neighbour Lagrange-Galerkin method for the simulation of Newtonian and Oldroyd‐B free surface flows[J]. International Journal for Numerical Methods in Fluids，2012，70（7）：860-885.

[9] 張雄，胡煒，潘小飛，等.加權(quán)最小二乘無網(wǎng)格法[J].力學(xué)學(xué)報，2003（4）：425-431.

[10] Y.C.Cai，H.H.Zhu.A Local Meshless Shepard and Least Square Interpolation Method Based on Local Weak Form[J].Computer Modeling in Engineering & Sciences，2008，34（2）：179-204.

[11] S.Rajendran，B.R.Zhang.A“FE-meshfree”QUAD4? element based on partition of unity[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineeri-ng，2007，197（1）：128-147.

[12] 李武，姚文娟，蔡永昌.Shepard基函數(shù)的無網(wǎng)格方法[J].工程力學(xué)，2009，26（4）：92-97.

[13] R.L.Taylor，E.Onate，S.Idelsohn，et al.Afinite point method in computational mechanics. applications to convective transport and fluid flow[J].International Journal for Numerical Methods in Engineeri-ng，1996，39（22）：3839-3866.