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    “零分解”在解題中的應(yīng)用
    ——對(duì)2010年海南高考一道試題的解答與探討

    2020-03-31 03:23:22郭秀麗郭晉生
    關(guān)鍵詞:加速運(yùn)動(dòng)支持力細(xì)繩

    郭秀麗,郭晉生

    (呂梁市賀昌中學(xué)校,山西 呂梁 033000)

    一、“零分解”的概念

    “零分解”就是無(wú)中生有,將“0”分解為兩個(gè)相反的量,加在方程里。因?yàn)槿魏蝺蓚€(gè)相反量的和是零,在方程中加一個(gè)“0”,即加兩個(gè)相反的量,方程的解是不變的。我們都熟悉的在數(shù)學(xué)上解方程“移項(xiàng)變號(hào)”法則其本質(zhì)就是“零分解”,在方程的兩邊加上相同的量就是在方程中加上了兩個(gè)相反的量,其結(jié)果就成了“移項(xiàng)變號(hào)”的解題法則。在應(yīng)用過(guò)程中根據(jù)解題需要針對(duì)性地選擇“無(wú)中生有”,“零分解”,使添加的兩個(gè)相反量與原方程中的已有量形成巧妙的組合,會(huì)使解題更方便簡(jiǎn)潔?!傲惴纸狻钡姆椒梢蕴娲褂谩胺菓T性參考系”引進(jìn)“慣性力”這個(gè)超過(guò)高中物理教學(xué)大綱的傳統(tǒng)方法,而且也開(kāi)辟了一個(gè)全新的思路,拓展了思維?!傲惴纸狻狈椒ǖ木唧w使用如下:

    如右圖,斜面體M向左做加速運(yùn)動(dòng),討論斜面上的物體m的動(dòng)力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題時(shí),傳統(tǒng)的方法是以斜面體M為參考系,給物體m添加一個(gè)向右的慣性力ma,從而解析物體m相對(duì)斜面體M的動(dòng)力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題?!傲惴纸狻钡姆椒ㄊ侨匀灰缘孛鏋閰⒖枷担盐矬wm的運(yùn)動(dòng)分解為與斜面體M相同的一個(gè)分運(yùn)動(dòng)和相對(duì)斜面體M的另一個(gè)分運(yùn)動(dòng)。應(yīng)用“零分解”,給物體m添加一對(duì)相反的力——向左的ma和向右的ma,向左的力ma就是物體與斜面體一起向左加速運(yùn)動(dòng)需要的力,向右的力ma與物體受到的真實(shí)的力的合力就是物體m相對(duì)斜面體M沿斜面運(yùn)動(dòng)的力。

    引進(jìn)非慣性系,添加慣性力的方法不但超過(guò)教學(xué)大綱、高考大綱,而且學(xué)生也難以理解,基本靠記憶式學(xué)習(xí)。而“零分解”的方法,根據(jù)教材上力的分解與運(yùn)動(dòng)的分解這個(gè)教學(xué)的基本內(nèi)容拓展、應(yīng)用,學(xué)生容易理解,能自覺(jué)使用,與教學(xué)教材、高考大綱一脈相通,改記憶式學(xué)習(xí)為理解基礎(chǔ)上的學(xué)習(xí)活動(dòng)。

    二、對(duì)一道高考題應(yīng)用“零分解”進(jìn)行分析、解答

    (2010年海南高考題)水平地面上有一楔形物塊A,其斜面上有一小物塊B,B與平行于斜面的細(xì)繩的一端相連,細(xì)繩另一端固定在斜面上,A與B之間光滑,A和B以共同速度在地面的光滑段向左運(yùn)動(dòng)。當(dāng)它們剛運(yùn)動(dòng)到粗糙段時(shí):(高考給出的標(biāo)準(zhǔn)答案是C選項(xiàng))

    圖1圖2

    A.繩的張力減小,B對(duì)A的正壓力減小

    B.繩的張力增加,斜面對(duì)B的正壓力增加

    C.繩的張力減小,地面對(duì)A的支持力增加

    D.繩的張力增加,地面對(duì)A的支持力減小

    如果選擇A、B及細(xì)繩整體為研究對(duì)象,在豎直方向有:N′=Mg+mg=N,水平方向有f=μN(yùn)′(本題不求摩擦力)。

    結(jié)論1:當(dāng)斜面受到的摩擦力比較小時(shí),斜面A做減速運(yùn)動(dòng)的加速度比較小,地面對(duì)A的支持力沒(méi)有變化。細(xì)繩對(duì)物體B的拉力變小。

    當(dāng)a≤gtanθ時(shí),A、B一起減速運(yùn)動(dòng),μ(M+m)g=(M+m)a,得μ≤tanθ,這時(shí)地面對(duì)A的支持力沒(méi)有變化;當(dāng)a>gtanθ,即μ>tanθ時(shí),B相對(duì)A沿斜面向上運(yùn)動(dòng),這時(shí)地面對(duì)A的支持力增大。

    結(jié)論2:當(dāng)斜面的加速度a>gtnaθ(即μ>tanθ)時(shí),地面對(duì)斜面體的支持力增大了,細(xì)繩對(duì)物體B的拉力變小。

    結(jié)論:當(dāng)μ≤tanθ時(shí),地面對(duì)A的支持力沒(méi)有變化;當(dāng)μ>tanθ時(shí),地面對(duì)A的支持力變大。細(xì)繩對(duì)物體B的拉力減小或沒(méi)有拉力。

    通過(guò)上面的分析得出兩種情況,其實(shí)再細(xì)致分析一下過(guò)程還是比較復(fù)雜的。我們知道地面對(duì)A的摩擦力是逐漸增大的,因?yàn)閒=μN(yùn)*,N*是壓在粗糙面上的壓力,N*是從零開(kāi)始逐漸增大的。這道題給的時(shí)空狀態(tài)是“剛運(yùn)動(dòng)到粗糙段時(shí)”,f從0開(kāi)始逐漸增大,a亦從0開(kāi)始逐漸增大,所以選擇地面對(duì)A的支持力沒(méi)有變化更妥當(dāng),因?yàn)橄到y(tǒng)剛運(yùn)動(dòng)到粗糙平面時(shí),摩擦力f很小, 加速度a也很小 , 這個(gè)從斜面A不斷進(jìn)入粗糙地面的過(guò)程是連續(xù)變化的,題設(shè)的“剛運(yùn)動(dòng)到粗糙段時(shí)”是過(guò)程的左極限時(shí)態(tài)。

    高考的答案,是C選項(xiàng)。但是通過(guò)上面的分析、解答,答案應(yīng)該是“細(xì)繩的拉力減小,地面對(duì)A的支持力不變”更符合題意。

    方法二:本題還可以從做功和能量變化來(lái)分析,系統(tǒng)進(jìn)入粗糙面后,若μ≤tanθ,A、B一起減速運(yùn)動(dòng),重力對(duì)B不做功,支持力對(duì)B做負(fù)功,細(xì)繩的拉力對(duì)B做正功,支持力增大,拉力減小,支持力與拉力做的總功是負(fù)功(因?yàn)樵诠饣矫鎰蛩龠\(yùn)動(dòng)時(shí)支持力與拉力的合力與重力平衡,支持力與拉力的總功是零),物體B可以與斜面體A一起做減速運(yùn)動(dòng)。若μ>tanθ,B相對(duì)A沿斜面向上運(yùn)動(dòng)沖上斜面,這時(shí)拉力為零,做負(fù)功的支持力增大,B的動(dòng)能減小,勢(shì)能增大,總能量減小。若斜面體A突然停止運(yùn)動(dòng),物體B一定沖上斜面,動(dòng)能減小,勢(shì)能增大,總能量不變,因?yàn)闆](méi)有耗散力做功。從功和能的角度分析也符合前面用牛頓運(yùn)動(dòng)定律分析的結(jié)果。用功和能來(lái)分析物理過(guò)程一般相對(duì)比較簡(jiǎn)單,因?yàn)楣湍苁菢?biāo)量,但是正因?yàn)楣κ沁^(guò)程量,能量是狀態(tài)量,分析的比較粗略;用牛頓運(yùn)動(dòng)定律分析物理過(guò)程比較細(xì)膩,往往要結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)的規(guī)律,一般關(guān)系方程比較多,稍顯復(fù)雜。兩種分析方法都要很好的掌握,互相驗(yàn)證,相得益彰。

    若應(yīng)用愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論“加速場(chǎng)等價(jià)于引力場(chǎng)”來(lái)分析這個(gè)問(wèn)題,A的加速度是向右的,等價(jià)的引力場(chǎng)是向左的,若B相對(duì)A沒(méi)有沿斜面向上加速運(yùn)動(dòng),A、B系統(tǒng)在豎直方向的外力沒(méi)有變化,即地面對(duì)斜面A的支持力沒(méi)有變化。若B相對(duì)A沿斜面向上加速運(yùn)動(dòng),則A、B系統(tǒng)豎直方向的合外力向下,地面對(duì)A的支持力FN<(mA+mB)g。

    上面我們是把A、B基本視為質(zhì)點(diǎn)來(lái)分析的,若將B視為質(zhì)點(diǎn)(或非質(zhì)點(diǎn)),A視為剛體(非質(zhì)點(diǎn)),且μ足夠大,θ(斜面的傾角)足夠大,A、B系統(tǒng)的慣性力的力矩會(huì)大于系統(tǒng)重力的力矩(根據(jù)愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論慣性力與重力(引力)是等價(jià)的,均為主動(dòng)力)。系統(tǒng)會(huì)傾倒,傾倒的臨界狀態(tài)摩擦力與支持力的力矩均為零。如圖3。

    圖3

    從上面的分析、解答,可以看出高考題給出的標(biāo)準(zhǔn)答案是不正確的。筆者認(rèn)為答案應(yīng)該是:細(xì)繩的拉力減小或消失,A、B間相互作用的彈力增大,地面對(duì)A的支持力在μ≤tanθ沒(méi)有變化,在μ>tanθ增大。

    若突出、強(qiáng)調(diào)“剛運(yùn)動(dòng)到粗糙平面時(shí)”這個(gè)時(shí)態(tài),或把物體視為非質(zhì)點(diǎn),對(duì)問(wèn)題的討論會(huì)更微妙和復(fù)雜一些,如上所述。

    三、幾個(gè)應(yīng)用“零分解”解題的案例

    例1 在光滑的水平面上有一質(zhì)量為M,傾角為θ的斜面,在斜面上的有一質(zhì)量為m的物塊受到一外力F的作用,F(xiàn)平行于斜面向上。物塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ,若要使物塊在斜面上沿斜面向上相對(duì)滑動(dòng),求F滿(mǎn)足的條件。(最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力)

    提示:我們可以求臨界值F0,即此時(shí)系統(tǒng)(M和m)的加速度相同,令為a0,方向向左,M、m相互作用的摩擦力是最大靜摩擦力f0=μFN,a0=Fcosθ/(M+m)。用“零分解”的方法,給物塊m添加一對(duì)向左、向右的力ma0,除去向左的力ma0,(向左的力ma0看作是物塊m產(chǎn)生與斜面相同加速度的力),其余的力(重力mg、拉力F0、支持力FN、摩擦力f0、還有向右的力ma0)滿(mǎn)足相對(duì)斜面靜止的平衡方程。

    有:對(duì)系統(tǒng)

    F0cosθ=(M+m)a0

    (1)

    對(duì)物塊,在垂直于斜面方向

    FN=mgcosθ-ma0sinθ

    (2)

    在平行于斜面方向

    F0=mgsinθ+ma0cosθ+μFN

    (3)

    (4)

    當(dāng)m相對(duì)M發(fā)生向上相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí),

    例2 如圖,一物塊靜止放置在傾角為θ的斜面上,質(zhì)量為m,物塊與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ,斜面在水平地面上以加速度a向右勻加速運(yùn)動(dòng)。求a滿(mǎn)足什么條件時(shí)物塊將開(kāi)始滑動(dòng)?

    提示:可以用“零分解”來(lái)解答。給物塊m添加一對(duì)力,向左的力ma和向右的力ma,向右的力ma是物塊隨斜面一起做加速運(yùn)動(dòng)需要的力,向左的力ma、重力mg、支持力FN、沿斜面向上的摩擦力f,這些力滿(mǎn)足物塊相對(duì)斜面靜止(或勻速下滑)的動(dòng)力學(xué)條件,其中f=μFN。

    在平行于斜面方向

    f=mgsinθ+ma0cosθ

    (5)

    在垂直于斜面方向

    FN=mgcosθ-ma0sinθ

    (6)

    f=μFN

    (7)

    例3 一個(gè)表面光滑的截面為直角三角形的楔形物體,斜面的長(zhǎng)度為L(zhǎng),斜面與底邊之間的夾角為θ,質(zhì)量為M,靜止于光滑的水平桌面上,將一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)放在斜面的頂端,該質(zhì)點(diǎn)從斜面自由滑下,

    解:令楔形物體M向左運(yùn)動(dòng)的加速度為a0,給視為質(zhì)點(diǎn)的物塊m一對(duì)力,向左的ma0和向右的ma0,向左的ma0是物塊m與楔形物體一起向左加速運(yùn)動(dòng)需要的力,重力mg、支持力FN、水平向右的力ma0,這三個(gè)力的合力是使物塊m相對(duì)楔形物體M沿斜面加速下滑的力。于是可以列出方程:

    對(duì)物塊相對(duì)位移

    (8)

    a是物塊相對(duì)楔形物體的加速度

    楔形物體的位移

    (9)

    平行于斜面方向

    ma0cosθ+mgsinθ=ma

    (10)

    系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒

    matcosθ=(M+m)a0t

    (11)

    由(11)式得

    (12)

    由(8)(9)(12)式得

    (13)

    由(10)(12)式得

    (14)

    將(14)式代入(8)式得

    (15)

    例4 三個(gè)物體通過(guò)滑輪組及細(xì)繩互相連接,它們的質(zhì)量m1=4 m,m2=2 m,m3= m,不計(jì)滑輪質(zhì)量和一切摩擦,求m1物塊的加速度和兩條繩上的張力。

    (a1=2m/s2T1=2T2=3.2mg)

    解:因?yàn)閙1>m2+m3,所以m1向下加速運(yùn)動(dòng),令m1向下的加速度大小為a1,以地面為參考系,用“零分解”的方法,給m2添加一對(duì)向上、向下的力m2a1,給m3添加一對(duì)向上、向下的力m3a1,向上的力m2a1、m3a1是m2和m3隨動(dòng)滑輪向上加速運(yùn)動(dòng)需要的力,于是有:

    m1g-T1=m1a1

    (16)

    m2g+m2a1-T2=m2a2

    (17)

    T2-m3g-m3a1=m3a3

    (18)

    T1=2T2

    (19)

    a2=a3

    (20)

    其中a1是m1相對(duì)地面的加速度,a2、a3分別是m2、m3相對(duì)動(dòng)滑輪的加速度。

    由上面五個(gè)方程很容易求得解答。

    用“零分解”解題,既很方便也很好理解。“零分解”的本質(zhì)就是添加一對(duì)相反量(其和是0),不影響原題的數(shù)量關(guān)系?!傲惴纸狻边€可以用在其他問(wèn)題上。

    例5 一個(gè)半徑為R的圓周上對(duì)稱(chēng)地分布著8個(gè)等量的點(diǎn)電荷,電荷量為q,其中一個(gè)為負(fù)電荷,其余為正電荷,求圓心處的電場(chǎng)強(qiáng)度。(E=4Kq/R2)

    提示:在負(fù)電荷處添加一個(gè)正電荷和一個(gè)負(fù)電荷,此正電荷與其余7個(gè)正電荷由于對(duì)稱(chēng)分布,這8個(gè)電荷在圓心的場(chǎng)強(qiáng)為零,于是圓心處的場(chǎng)強(qiáng)就是-2q點(diǎn)電荷在該處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)。

    一種方法不僅僅是一個(gè)技巧,其命名潛示著認(rèn)知角度、思想方法、物理理念。譬如引入“慣性力”,就是從參考系入手,為了使牛頓運(yùn)動(dòng)定律在非慣性系中也能適用而“憑空”添加的一個(gè)力。現(xiàn)在看來(lái)正是愛(ài)因斯坦廣義相對(duì)論的等價(jià)性原理,“加速場(chǎng)等價(jià)于引力場(chǎng),加速場(chǎng)與引力場(chǎng)是不能區(qū)分的”?!傲惴纸狻卑岛现钪娲蟊ɡ碚?,我們的宇宙就是從一個(gè)奇點(diǎn)大爆炸而產(chǎn)生的,生成了正反兩種物質(zhì),如果我們的宇宙沒(méi)有外宇宙的作用,宇宙的總能量、總動(dòng)量是守恒的,宇宙是一個(gè)自洽系統(tǒng)?!傲惴纸狻崩锩骐[含物理的味道,自然的氣息。也許這樣太浪漫了,宇宙就是浪漫的。

    教學(xué)改革的核心就是激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,開(kāi)發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能。希望教師、學(xué)生能解放思想,開(kāi)拓創(chuàng)新,深化教學(xué)改革。

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