“零分解”在解題中的應(yīng)用
——對(duì)2010年海南高考一道試題的解答與探討

郭秀麗，郭晉生

(呂梁市賀昌中學(xué)校，山西 呂梁 033000)

一、“零分解”的概念

“零分解”就是無(wú)中生有，將“0”分解為兩個(gè)相反的量，加在方程里。因?yàn)槿魏蝺蓚€(gè)相反量的和是零，在方程中加一個(gè)“0”，即加兩個(gè)相反的量，方程的解是不變的。我們都熟悉的在數(shù)學(xué)上解方程“移項(xiàng)變號(hào)”法則其本質(zhì)就是“零分解”，在方程的兩邊加上相同的量就是在方程中加上了兩個(gè)相反的量，其結(jié)果就成了“移項(xiàng)變號(hào)”的解題法則。在應(yīng)用過(guò)程中根據(jù)解題需要針對(duì)性地選擇“無(wú)中生有”，“零分解”，使添加的兩個(gè)相反量與原方程中的已有量形成巧妙的組合，會(huì)使解題更方便簡(jiǎn)潔?！傲惴纸狻钡姆椒梢蕴娲褂谩胺菓T性參考系”引進(jìn)“慣性力”這個(gè)超過(guò)高中物理教學(xué)大綱的傳統(tǒng)方法，而且也開(kāi)辟了一個(gè)全新的思路，拓展了思維?！傲惴纸狻狈椒ǖ木唧w使用如下：

如右圖，斜面體M向左做加速運(yùn)動(dòng)，討論斜面上的物體m的動(dòng)力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題時(shí)，傳統(tǒng)的方法是以斜面體M為參考系，給物體m添加一個(gè)向右的慣性力ma，從而解析物體m相對(duì)斜面體M的動(dòng)力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題?！傲惴纸狻钡姆椒ㄊ侨匀灰缘孛鏋閰⒖枷担盐矬wm的運(yùn)動(dòng)分解為與斜面體M相同的一個(gè)分運(yùn)動(dòng)和相對(duì)斜面體M的另一個(gè)分運(yùn)動(dòng)。應(yīng)用“零分解”，給物體m添加一對(duì)相反的力——向左的ma和向右的ma，向左的力ma就是物體與斜面體一起向左加速運(yùn)動(dòng)需要的力，向右的力ma與物體受到的真實(shí)的力的合力就是物體m相對(duì)斜面體M沿斜面運(yùn)動(dòng)的力。

引進(jìn)非慣性系，添加慣性力的方法不但超過(guò)教學(xué)大綱、高考大綱，而且學(xué)生也難以理解，基本靠記憶式學(xué)習(xí)。而“零分解”的方法，根據(jù)教材上力的分解與運(yùn)動(dòng)的分解這個(gè)教學(xué)的基本內(nèi)容拓展、應(yīng)用，學(xué)生容易理解，能自覺(jué)使用，與教學(xué)教材、高考大綱一脈相通，改記憶式學(xué)習(xí)為理解基礎(chǔ)上的學(xué)習(xí)活動(dòng)。

二、對(duì)一道高考題應(yīng)用“零分解”進(jìn)行分析、解答

(2010年海南高考題)水平地面上有一楔形物塊A，其斜面上有一小物塊B，B與平行于斜面的細(xì)繩的一端相連，細(xì)繩另一端固定在斜面上，A與B之間光滑，A和B以共同速度在地面的光滑段向左運(yùn)動(dòng)。當(dāng)它們剛運(yùn)動(dòng)到粗糙段時(shí)：(高考給出的標(biāo)準(zhǔn)答案是C選項(xiàng))

圖1圖2

A.繩的張力減小，B對(duì)A的正壓力減小

B.繩的張力增加，斜面對(duì)B的正壓力增加

C.繩的張力減小，地面對(duì)A的支持力增加

D.繩的張力增加，地面對(duì)A的支持力減小

如果選擇A、B及細(xì)繩整體為研究對(duì)象，在豎直方向有：N′=Mg+mg=N，水平方向有f=μN(yùn)′(本題不求摩擦力)。

結(jié)論1：當(dāng)斜面受到的摩擦力比較小時(shí)，斜面A做減速運(yùn)動(dòng)的加速度比較小，地面對(duì)A的支持力沒(méi)有變化。細(xì)繩對(duì)物體B的拉力變小。

當(dāng)a≤gtanθ時(shí)，A、B一起減速運(yùn)動(dòng)，μ(M+m)g=(M+m)a，得μ≤tanθ，這時(shí)地面對(duì)A的支持力沒(méi)有變化；當(dāng)a>gtanθ，即μ>tanθ時(shí)，B相對(duì)A沿斜面向上運(yùn)動(dòng)，這時(shí)地面對(duì)A的支持力增大。

結(jié)論2：當(dāng)斜面的加速度a>gtnaθ(即μ>tanθ)時(shí)，地面對(duì)斜面體的支持力增大了，細(xì)繩對(duì)物體B的拉力變小。

結(jié)論：當(dāng)μ≤tanθ時(shí)，地面對(duì)A的支持力沒(méi)有變化；當(dāng)μ>tanθ時(shí)，地面對(duì)A的支持力變大。細(xì)繩對(duì)物體B的拉力減小或沒(méi)有拉力。

通過(guò)上面的分析得出兩種情況，其實(shí)再細(xì)致分析一下過(guò)程還是比較復(fù)雜的。我們知道地面對(duì)A的摩擦力是逐漸增大的，因?yàn)閒=μN(yùn)*，N*是壓在粗糙面上的壓力，N*是從零開(kāi)始逐漸增大的。這道題給的時(shí)空狀態(tài)是“剛運(yùn)動(dòng)到粗糙段時(shí)”，f從0開(kāi)始逐漸增大，a亦從0開(kāi)始逐漸增大，所以選擇地面對(duì)A的支持力沒(méi)有變化更妥當(dāng)，因?yàn)橄到y(tǒng)剛運(yùn)動(dòng)到粗糙平面時(shí)，摩擦力f很小, 加速度a也很小 , 這個(gè)從斜面A不斷進(jìn)入粗糙地面的過(guò)程是連續(xù)變化的，題設(shè)的“剛運(yùn)動(dòng)到粗糙段時(shí)”是過(guò)程的左極限時(shí)態(tài)。

高考的答案，是C選項(xiàng)。但是通過(guò)上面的分析、解答，答案應(yīng)該是“細(xì)繩的拉力減小，地面對(duì)A的支持力不變”更符合題意。

方法二：本題還可以從做功和能量變化來(lái)分析，系統(tǒng)進(jìn)入粗糙面后，若μ≤tanθ，A、B一起減速運(yùn)動(dòng)，重力對(duì)B不做功，支持力對(duì)B做負(fù)功，細(xì)繩的拉力對(duì)B做正功，支持力增大，拉力減小，支持力與拉力做的總功是負(fù)功(因?yàn)樵诠饣矫鎰蛩龠\(yùn)動(dòng)時(shí)支持力與拉力的合力與重力平衡，支持力與拉力的總功是零)，物體B可以與斜面體A一起做減速運(yùn)動(dòng)。若μ>tanθ，B相對(duì)A沿斜面向上運(yùn)動(dòng)沖上斜面，這時(shí)拉力為零，做負(fù)功的支持力增大，B的動(dòng)能減小，勢(shì)能增大，總能量減小。若斜面體A突然停止運(yùn)動(dòng)，物體B一定沖上斜面，動(dòng)能減小，勢(shì)能增大，總能量不變，因?yàn)闆](méi)有耗散力做功。從功和能的角度分析也符合前面用牛頓運(yùn)動(dòng)定律分析的結(jié)果。用功和能來(lái)分析物理過(guò)程一般相對(duì)比較簡(jiǎn)單，因?yàn)楣湍苁菢?biāo)量，但是正因?yàn)楣κ沁^(guò)程量，能量是狀態(tài)量，分析的比較粗略；用牛頓運(yùn)動(dòng)定律分析物理過(guò)程比較細(xì)膩，往往要結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)的規(guī)律，一般關(guān)系方程比較多，稍顯復(fù)雜。兩種分析方法都要很好的掌握，互相驗(yàn)證，相得益彰。

若應(yīng)用愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論“加速場(chǎng)等價(jià)于引力場(chǎng)”來(lái)分析這個(gè)問(wèn)題，A的加速度是向右的，等價(jià)的引力場(chǎng)是向左的，若B相對(duì)A沒(méi)有沿斜面向上加速運(yùn)動(dòng)，A、B系統(tǒng)在豎直方向的外力沒(méi)有變化，即地面對(duì)斜面A的支持力沒(méi)有變化。若B相對(duì)A沿斜面向上加速運(yùn)動(dòng)，則A、B系統(tǒng)豎直方向的合外力向下，地面對(duì)A的支持力FN<(mA+mB)g。

上面我們是把A、B基本視為質(zhì)點(diǎn)來(lái)分析的，若將B視為質(zhì)點(diǎn)(或非質(zhì)點(diǎn))，A視為剛體(非質(zhì)點(diǎn))，且μ足夠大，θ(斜面的傾角)足夠大，A、B系統(tǒng)的慣性力的力矩會(huì)大于系統(tǒng)重力的力矩(根據(jù)愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論慣性力與重力(引力)是等價(jià)的，均為主動(dòng)力)。系統(tǒng)會(huì)傾倒，傾倒的臨界狀態(tài)摩擦力與支持力的力矩均為零。如圖3。

圖3

從上面的分析、解答，可以看出高考題給出的標(biāo)準(zhǔn)答案是不正確的。筆者認(rèn)為答案應(yīng)該是：細(xì)繩的拉力減小或消失，A、B間相互作用的彈力增大，地面對(duì)A的支持力在μ≤tanθ沒(méi)有變化，在μ>tanθ增大。

若突出、強(qiáng)調(diào)“剛運(yùn)動(dòng)到粗糙平面時(shí)”這個(gè)時(shí)態(tài)，或把物體視為非質(zhì)點(diǎn)，對(duì)問(wèn)題的討論會(huì)更微妙和復(fù)雜一些，如上所述。

三、幾個(gè)應(yīng)用“零分解”解題的案例

例1 在光滑的水平面上有一質(zhì)量為M，傾角為θ的斜面，在斜面上的有一質(zhì)量為m的物塊受到一外力F的作用，F(xiàn)平行于斜面向上。物塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，若要使物塊在斜面上沿斜面向上相對(duì)滑動(dòng)，求F滿(mǎn)足的條件。(最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力)

提示：我們可以求臨界值F0，即此時(shí)系統(tǒng)(M和m)的加速度相同，令為a0，方向向左，M、m相互作用的摩擦力是最大靜摩擦力f0=μFN，a0=Fcosθ/(M+m)。用“零分解”的方法，給物塊m添加一對(duì)向左、向右的力ma0，除去向左的力ma0，(向左的力ma0看作是物塊m產(chǎn)生與斜面相同加速度的力)，其余的力(重力mg、拉力F0、支持力FN、摩擦力f0、還有向右的力ma0)滿(mǎn)足相對(duì)斜面靜止的平衡方程。

有：對(duì)系統(tǒng)

F0cosθ=(M+m)a0

(1)

對(duì)物塊，在垂直于斜面方向

FN=mgcosθ-ma0sinθ

(2)

在平行于斜面方向

F0=mgsinθ+ma0cosθ+μFN

(3)

得

(4)

當(dāng)m相對(duì)M發(fā)生向上相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，

例2 如圖，一物塊靜止放置在傾角為θ的斜面上，質(zhì)量為m，物塊與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，斜面在水平地面上以加速度a向右勻加速運(yùn)動(dòng)。求a滿(mǎn)足什么條件時(shí)物塊將開(kāi)始滑動(dòng)？

提示：可以用“零分解”來(lái)解答。給物塊m添加一對(duì)力，向左的力ma和向右的力ma，向右的力ma是物塊隨斜面一起做加速運(yùn)動(dòng)需要的力，向左的力ma、重力mg、支持力FN、沿斜面向上的摩擦力f，這些力滿(mǎn)足物塊相對(duì)斜面靜止(或勻速下滑)的動(dòng)力學(xué)條件，其中f=μFN。

在平行于斜面方向

f=mgsinθ+ma0cosθ

(5)

在垂直于斜面方向

FN=mgcosθ-ma0sinθ

(6)

又

f=μFN

(7)

例3 一個(gè)表面光滑的截面為直角三角形的楔形物體，斜面的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，斜面與底邊之間的夾角為θ，質(zhì)量為M，靜止于光滑的水平桌面上，將一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)放在斜面的頂端，該質(zhì)點(diǎn)從斜面自由滑下，

解：令楔形物體M向左運(yùn)動(dòng)的加速度為a0，給視為質(zhì)點(diǎn)的物塊m一對(duì)力，向左的ma0和向右的ma0，向左的ma0是物塊m與楔形物體一起向左加速運(yùn)動(dòng)需要的力，重力mg、支持力FN、水平向右的力ma0，這三個(gè)力的合力是使物塊m相對(duì)楔形物體M沿斜面加速下滑的力。于是可以列出方程：

對(duì)物塊相對(duì)位移

(8)

a是物塊相對(duì)楔形物體的加速度

楔形物體的位移

(9)

平行于斜面方向

ma0cosθ+mgsinθ=ma

(10)

系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒

matcosθ=(M+m)a0t

(11)

由(11)式得

(12)

由(8)(9)(12)式得

(13)

由(10)(12)式得

(14)

將(14)式代入(8)式得

(15)

例4 三個(gè)物體通過(guò)滑輪組及細(xì)繩互相連接，它們的質(zhì)量m1=4 m，m2=2 m，m3= m，不計(jì)滑輪質(zhì)量和一切摩擦，求m1物塊的加速度和兩條繩上的張力。

(a1=2m/s2T1=2T2=3.2mg)

解：因?yàn)閙1>m2+m3，所以m1向下加速運(yùn)動(dòng)，令m1向下的加速度大小為a1，以地面為參考系，用“零分解”的方法，給m2添加一對(duì)向上、向下的力m2a1，給m3添加一對(duì)向上、向下的力m3a1，向上的力m2a1、m3a1是m2和m3隨動(dòng)滑輪向上加速運(yùn)動(dòng)需要的力，于是有：

m1g-T1=m1a1

(16)

m2g+m2a1-T2=m2a2

(17)

T2-m3g-m3a1=m3a3

(18)

T1=2T2

(19)

a2=a3

(20)

其中a1是m1相對(duì)地面的加速度，a2、a3分別是m2、m3相對(duì)動(dòng)滑輪的加速度。

由上面五個(gè)方程很容易求得解答。

用“零分解”解題，既很方便也很好理解。“零分解”的本質(zhì)就是添加一對(duì)相反量(其和是0)，不影響原題的數(shù)量關(guān)系?！傲惴纸狻边€可以用在其他問(wèn)題上。

例5 一個(gè)半徑為R的圓周上對(duì)稱(chēng)地分布著8個(gè)等量的點(diǎn)電荷，電荷量為q，其中一個(gè)為負(fù)電荷，其余為正電荷，求圓心處的電場(chǎng)強(qiáng)度。(E=4Kq/R2)

提示：在負(fù)電荷處添加一個(gè)正電荷和一個(gè)負(fù)電荷，此正電荷與其余7個(gè)正電荷由于對(duì)稱(chēng)分布，這8個(gè)電荷在圓心的場(chǎng)強(qiáng)為零，于是圓心處的場(chǎng)強(qiáng)就是-2q點(diǎn)電荷在該處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)。

一種方法不僅僅是一個(gè)技巧，其命名潛示著認(rèn)知角度、思想方法、物理理念。譬如引入“慣性力”，就是從參考系入手，為了使牛頓運(yùn)動(dòng)定律在非慣性系中也能適用而“憑空”添加的一個(gè)力。現(xiàn)在看來(lái)正是愛(ài)因斯坦廣義相對(duì)論的等價(jià)性原理，“加速場(chǎng)等價(jià)于引力場(chǎng)，加速場(chǎng)與引力場(chǎng)是不能區(qū)分的”?！傲惴纸狻卑岛现钪娲蟊ɡ碚?，我們的宇宙就是從一個(gè)奇點(diǎn)大爆炸而產(chǎn)生的，生成了正反兩種物質(zhì)，如果我們的宇宙沒(méi)有外宇宙的作用，宇宙的總能量、總動(dòng)量是守恒的，宇宙是一個(gè)自洽系統(tǒng)?！傲惴纸狻崩锩骐[含物理的味道，自然的氣息。也許這樣太浪漫了，宇宙就是浪漫的。

教學(xué)改革的核心就是激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，開(kāi)發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能。希望教師、學(xué)生能解放思想，開(kāi)拓創(chuàng)新，深化教學(xué)改革。