關(guān)注圓錐曲線綜合，開展解法探究思考

殷向陽

[摘 ?要] 圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)內(nèi)容，高考中通常以綜合題的形式出現(xiàn)，同時(shí)命題形式傾向于多樣復(fù)合、逐層設(shè)問，因此需要教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注知識關(guān)聯(lián)點(diǎn)，提升綜合能力.文章以一道圓錐曲線綜合題為例，進(jìn)行考題思路突破、解后剖析，提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 拋物線;等差數(shù)列;幾何圖形;面積最值

走進(jìn)考題

點(diǎn)A和B是拋物線y2=2px（p>0）上的兩個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)F為焦點(diǎn)，如果AF，MF，BF成等差數(shù)列，試回答下列問題.

（1）試分析線段AB的垂直平分線是否經(jīng)過定點(diǎn)，若經(jīng)過請寫出定點(diǎn)Q的坐標(biāo);

（2）如果MF=4，OQ=6（O為坐標(biāo)的原點(diǎn)），試求拋物線的方程;

（3）在條件（2）成立的條件下，連接AQ，BQ，構(gòu)建△AQB，試求△AQB面積的最大值.

思路突破

上述是高中數(shù)學(xué)典型的圓錐曲線考題，其中涉及等差數(shù)列、幾何圖形等內(nèi)容，需要結(jié)合相應(yīng)的知識逐步突破，下面開展思路探究.

1. 突破第（1）問

該問分析線段AB的垂直平分線是否經(jīng)過定點(diǎn)，可按照“假設(shè)→驗(yàn)證”的方式進(jìn)行. 首先結(jié)合題干條件推理出線段AB垂直平分線的斜率及所過的點(diǎn)，求解出相應(yīng)的方程式，然后變形解析式，探究所過定點(diǎn)坐標(biāo)，具體如下.

設(shè)關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)：A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），則AF=x1+ ，MF=x2+ ，MF=x0+ . 由等差數(shù)列規(guī)律可知2MF=AF+BF，分析可得x0= ，可將線段AB的中點(diǎn)設(shè)為（x0，t），其中t= ≠0. 線段AB的斜率可表示為kAB= ，由于點(diǎn)A和B均位于拋物線上，可對其變形轉(zhuǎn)化，即kAB= = = = . 因此可求得線段AB的垂直平分線方程為y=- （x-x0）+t，方程中t為未知參數(shù)，進(jìn)行參數(shù)提煉變形，可得t（x-x0-p）+yp=0，分析可知當(dāng)x=x0+p時(shí)，其結(jié)果就與t無關(guān)，此時(shí)y=0，即線段AB的垂直平分線經(jīng)過定點(diǎn)，且定點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x0+p，0）.

2. 突破第（2）問

該問求拋物線的方程，需要根據(jù)其中的線段長來構(gòu)建關(guān)于拋物線參數(shù)的方程，通過解方程來求出參數(shù)的值，即可獲得拋物線的方程，具體如下.

已知MF=4，OQ=6，結(jié)合（1）問所設(shè)內(nèi)容可得x0+ =4，x0+p=6，聯(lián)立方程可解得p=4，x0=2，所以該拋物線的方程為y2=8x.

3. 突破第（3）問

該問是以第（2）問所求拋物線為基礎(chǔ)構(gòu)建了△AQB，求△AQB的面積最值需要基于三角形面積公式來建立模型，然后建立關(guān)于坐標(biāo)參數(shù)的函數(shù)，后續(xù)利用函數(shù)的性質(zhì)來研究最值. 因此可按照如下步驟進(jìn)行：第一步，基于面積公式構(gòu)建模型;第二步，聯(lián)立拋物線與直線方程探究參數(shù)關(guān)系，建立關(guān)于坐標(biāo)參數(shù)的函數(shù);第三步，利用函數(shù)性質(zhì)分析面積函數(shù)，求解三角形面積最值，具體過程如下.

可將△AQB視為是以AB為底、點(diǎn)Q為頂點(diǎn)的三角形，設(shè)點(diǎn)Q到線段AB的距離為d，結(jié)合面積公式可建立三角形模型，即S△AQB= ·AB·d.利用點(diǎn)坐標(biāo)可轉(zhuǎn)化AB長，即AB= ，而距離d可用點(diǎn)到直線的距離公式來轉(zhuǎn)化，其中直線AB的方程為y= （x-2）+t，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（6，0），則d= .聯(lián)立直線AB與拋物線的方程y2=8x，y= （x-2）+t， 整理可得y2-2ty+2t2-16=0，所以有（y1-y2）2=（y1+y2）2-4y1·y2=64-4t2，（x1-x2）2= （y1-y2）2= （16-t2），從而可建立面積函數(shù)，即S△AQB= ·AB·d= ?= · . 令u=4096+256t2-16t4-t6，求其導(dǎo)函數(shù)u′=512t-64t3-6t5. 令u′=0，可解得t=0或t2=-16或t=± ?，分析可知，當(dāng)t=± ?時(shí)，S△AQB可取得最大值，且最大值為 ?，即△AQB面積的最大值為 ?.

深入解剖

從內(nèi)容來看，上述考題是結(jié)合了幾何圖形、等差數(shù)列的綜合性問題，求解時(shí)需要基于數(shù)列規(guī)律來提煉線段關(guān)系，利用三角形特性來構(gòu)建面積模型，其解法思路具有一定的研究價(jià)值，下面對其核心突破點(diǎn)和價(jià)值內(nèi)容進(jìn)行深入剖析，并開展教學(xué)微設(shè)計(jì).

1. 考題突破的關(guān)鍵點(diǎn)

考題主要分為三問，從突破過程來看，第（1）問和第（2）問具有一定的難度，需要把握知識的關(guān)聯(lián)點(diǎn)來進(jìn)行問題轉(zhuǎn)化，模型提煉.其中第（1）問突破的關(guān)鍵點(diǎn)主要集中在對等差規(guī)律的處理和方程所過定點(diǎn)的探究上，前者需要利用等差數(shù)列規(guī)律來建立關(guān)于線段長的關(guān)系，從而構(gòu)建代數(shù)方程，后者則需要基于消參原則來提煉定點(diǎn)，即通過歸零的方式來去除參數(shù)對直線所過點(diǎn)的影響，確立定點(diǎn)坐標(biāo).

2. 解法學(xué)習(xí)的價(jià)值點(diǎn)

在考題探究過程中利用到了問題轉(zhuǎn)化、模型構(gòu)建、函數(shù)分析等內(nèi)容，這些內(nèi)容和解析方法是求解圓錐曲線考題的通性通法，具有極高的參考價(jià)值.例如在處理線段等差關(guān)系時(shí)，引入點(diǎn)的坐標(biāo)，從而將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于坐標(biāo)參數(shù)的方程;建立面積模型時(shí)，基于“幾何面積？葑線段關(guān)系？葑點(diǎn)參數(shù)方程”思路構(gòu)建方程;而分析函數(shù)最值引入了導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)來確定面積函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定最值情形. 從解題過程來看，圓錐曲線中“幾何圖形”與“線段關(guān)系”“點(diǎn)坐標(biāo)”之間的關(guān)聯(lián)是問題突破與轉(zhuǎn)化的核心所在，解析該類問題應(yīng)立足點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)系線段長來逐步轉(zhuǎn)化，構(gòu)建關(guān)于幾何模型的代數(shù)方程.

3. 考題教學(xué)微設(shè)計(jì)

開展考題微設(shè)計(jì)可以引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建解題思路，該考題具有極高的教學(xué)價(jià)值，下面以考題的第（3）問為例，進(jìn)行如下微設(shè)計(jì).

教學(xué)環(huán)節(jié)（一）——知識回顧，基礎(chǔ)構(gòu)建

點(diǎn)A和B是拋物線y2=8x（p>0）上的兩個(gè)動點(diǎn)，若線段AB經(jīng)過定點(diǎn)（2，0），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（6，0），試回答下列問題.

問題①：設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），t= ，試用t表示線段AB的方程;

問題②：試求點(diǎn)Q到直線AB的距離.

設(shè)計(jì)說明：引導(dǎo)學(xué)生強(qiáng)化基礎(chǔ)知識，復(fù)習(xí)方程求解和點(diǎn)到直線距離計(jì)算等知識，為后續(xù)探究做基礎(chǔ).

教學(xué)環(huán)節(jié)（二）——模型構(gòu)建，最值分析

在上述題干信息的基礎(chǔ)上，連接AQ和BQ，構(gòu)建△AQB，試回答下列問題.

問題①：試用t表示△AQB的面積;

問題②：分析△AQB的面積，求其最大值.

設(shè)計(jì)說明：引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合面積公式構(gòu)建關(guān)于三角形的面積模型以及對應(yīng)的面積函數(shù)，然后引導(dǎo)學(xué)生利用導(dǎo)函數(shù)來分析面積函數(shù)的性質(zhì)，求解最值.

上述是基于考題第（3）問開展的教學(xué)微設(shè)計(jì)，通過環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)完成了“基礎(chǔ)鞏固”到“最值分析”. 微設(shè)計(jì)的特點(diǎn)在于可以拆分問題，使學(xué)生親歷思路構(gòu)建的過程，而在實(shí)際教學(xué)中需要教師關(guān)注最基礎(chǔ)的公式定理，以解題策略的培養(yǎng)為教學(xué)重點(diǎn).

反思建議

圓錐曲線考題是高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)問題，上述對一道圓錐曲線綜合題進(jìn)行了思路突破和剖析，而開展考題教學(xué)可以充分挖掘考題的價(jià)值，引導(dǎo)學(xué)生掌握同類型題的解題思路，提升解題能力，下面提出幾點(diǎn)教學(xué)建議.

1. 關(guān)注考題設(shè)問，追問引導(dǎo)探究

考題教學(xué)的意義在于使學(xué)生掌握相應(yīng)的解題思路，形成解題策略，因此在教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生拆解考題，逐步思考，設(shè)問、追問是其中最為有效的方式，即以問題為媒介，讓學(xué)生在思考問題中體驗(yàn)思路構(gòu)建的過程. 以上述圓錐曲線綜合題為例，解析三角形面積最值，首先讓學(xué)生思考所求三角形的特性，如何構(gòu)建面積模型，然后引導(dǎo)學(xué)生思考如何聯(lián)系曲線方程來轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，最后引導(dǎo)學(xué)生思考如何分析函數(shù)的最值. 在追問中學(xué)生會充分調(diào)用基礎(chǔ)知識，有助于基礎(chǔ)知識鞏固.

2. 重視解后反思，深度挖掘考題

考題凝聚了眾多優(yōu)秀命題人的智慧，考題探究中可以學(xué)習(xí)其中的解法經(jīng)驗(yàn)，把握高中命題風(fēng)向. 因此完成考題思路突破后，還需要對考題進(jìn)行反思、剖解，提取考題特征，分析突破關(guān)鍵點(diǎn)，總結(jié)解題的價(jià)值內(nèi)容.教學(xué)中，教師可以選取具有代表性的考題進(jìn)行解法探究和反思教學(xué)，例如上述考題第（3）問分析三角形面積最值，其模型構(gòu)建和最值分析方法具有極高的參考價(jià)值，學(xué)生在反思過程中可以掌握類型題的突破思路，同時(shí)深度理解考題，達(dá)到“解題通法”的教學(xué)效果.

3. 倡導(dǎo)教學(xué)設(shè)計(jì)，提升綜合素養(yǎng)

微設(shè)計(jì)是考題教學(xué)的方法之一，通過微設(shè)計(jì)的方式可以引導(dǎo)學(xué)生全面了解考題結(jié)構(gòu)，掌握考題逐層突破的方法.例如上述在反思階段對第（3）問的教學(xué)微設(shè)計(jì)，學(xué)生可以理解解析圓錐曲線中三角形面積問題實(shí)際上就是面積函數(shù)的構(gòu)建過程，該過程中需要利用幾何與函數(shù)的關(guān)聯(lián)來構(gòu)建面積模型，利用函數(shù)性質(zhì)來解析面積最值. 進(jìn)行教學(xué)微設(shè)計(jì)時(shí)需要注意兩點(diǎn)：一是立足教材基礎(chǔ)，從定理公式出發(fā);二是實(shí)施分層設(shè)問，由淺入深逐步推理. 利用微設(shè)計(jì)的形式可使學(xué)生逐步體驗(yàn)基礎(chǔ)知識在考題解析中的價(jià)值，強(qiáng)化學(xué)生基礎(chǔ)，提升知識應(yīng)用的能力. 同時(shí)，微設(shè)計(jì)教學(xué)中必然涉及數(shù)學(xué)的思想方法，可以使學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想，促進(jìn)綜合素養(yǎng)的提升.