一題多解探圓錐曲線中的最值問題

錢見寶

摘?要：高中解析幾何研究的是一些平面幾何圖形，最值問題是一種常見題型，在解決問題的過程中，既要會(huì)關(guān)注圖形的結(jié)構(gòu)特征，找出幾何本源，也要會(huì)代數(shù)轉(zhuǎn)化思想，用代數(shù)方法解決.本文以一個(gè)拋物線最值問題為載體，通過多種解法的探索，展現(xiàn)圓錐曲線最值問題的常見解決方案.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線;拋物線;最值問題

最值問題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的常見問題，而圓錐曲線中的最值問題是一類綜合性強(qiáng)、變量多、涉及知識(shí)面廣的題目，是解析幾何中的難點(diǎn)問題，也是高考的熱點(diǎn)問題.

由于圖形問題代數(shù)化是解析幾何的核心，所以在圓錐曲線的最值問題中，可以根據(jù)幾何圖形的基本特征，找出幾何圖形的代數(shù)關(guān)系，以代數(shù)運(yùn)算為手段研究最值問題.同時(shí)，解析幾何問題的呈現(xiàn)方式是用幾何圖形來(lái)體現(xiàn)，所以圓錐曲線的最值問題也可以從形的角度去考慮問題，找出問題的本源，選擇對(duì)應(yīng)的知識(shí)解決問題.做到揭示數(shù)的性質(zhì)能找到形的對(duì)應(yīng)，形的特征能找到代數(shù)的表達(dá)，在認(rèn)知上，讓自然語(yǔ)言、幾何圖形、代數(shù)三者完美結(jié)合，從而使學(xué)生認(rèn)知的提高超出知識(shí)的本身，幫助學(xué)生理解解析幾何的本質(zhì)、數(shù)學(xué)的本質(zhì).

題目?已知拋物線C∶x2=4y焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q（0，-1），求|PF||PQ|的最小值.

分析1?幾何轉(zhuǎn)化結(jié)合題意，聯(lián)系拋物線定義，把|PF||PQ|轉(zhuǎn)化為研究直線PQ傾斜角正弦的最小值.

解法1?（利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線斜率）如圖1，過點(diǎn)P作PH垂直于拋物線C的準(zhǔn)線y=-1于點(diǎn)H，設(shè)直線PQ的傾斜角為α，由拋物線的定義得|PF||PQ|=|PH||PQ|=sinα.

由圖象知，當(dāng)直線PQ與拋物線C相切時(shí)，sinα最小，從而|PF||PQ|最小.

設(shè)切點(diǎn)為（x0，14x20），由y=14x2得y′=12x，所以切線斜率為12x0.

故切線方程為y-14x20=12x0（x-x0）.

因?yàn)榍芯€過點(diǎn)Q（0，-1），所以x0=±2.

根據(jù)拋物線的對(duì)稱性不妨取x0=2，則tanα=1.從而sinα= 22.所以|PF||PQ|的最小值為 22.

解法2?（利用方程組思想求切線斜率）如圖1，過點(diǎn)P作PH垂直于拋物線C的準(zhǔn)線y=-1于點(diǎn)H，設(shè)直線PQ的傾斜角為α，由拋物線的定義得|PF||PQ|=|PH||PQ|=sinα.

由圖象知，當(dāng)直線PQ與拋物線C相切時(shí)，sinα最小，從而|PF||PQ|最小.

結(jié)合圖象知切線斜率存在，所以可設(shè)切線方程為y=kx-1，與x2=4y聯(lián)立方程組消去y得x2-4kx+4=0.

由△=0得k=±1.根據(jù)拋物線的對(duì)稱性不妨取k=1，即tanα=1.從而sinα= 22.

所以|PF||PQ|的最小值為 22.

方法總結(jié)?圓錐曲線的定義反應(yīng)了圓錐曲線的本質(zhì)，理解定義、活用定義是解決圓錐曲線中有關(guān)長(zhǎng)度問題最值的關(guān)鍵，如：當(dāng)題目中涉及到拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離可轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，相反，涉及到拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離可轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)的距離;圓錐曲線上的動(dòng)點(diǎn)問題，若涉及另一個(gè)定點(diǎn)，可以轉(zhuǎn)化為直線的運(yùn)動(dòng)，探究運(yùn)動(dòng)過程中何時(shí)符合題意，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系;直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題通常用聯(lián)立方程組的思想解決，對(duì)于開口向上的拋物線方程可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，切線問題也可以利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義處理.

分析2?代數(shù)方法設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x0，y0），利用兩點(diǎn)間的距離公式建立函數(shù)模型研究最小值.

解法3?（用二次函數(shù)求最值）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x0，y0），則|PF||PQ|=y0+1 x20+（y0+1）2=y0+1 4y0+（y0+1）2.

即|PF||PQ|=y0+1 （y0+1）2+4（y0+1）-4.

設(shè)t=y0+1，因?yàn)閥0≥0，所以t≥1.

則|PF||PQ|=t t2+4t-4=1 -4t2+4t+1=1 -（2t-1）2+2≥1 2= 22.

所以當(dāng)t=2，即y0=1時(shí)，|PF||PQ|的最小值為 22.

解法4?（用基本不等式求最值）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x0，y0），則|PF||PQ|=y0+1 x20+（y0+1）2=y0+1 4y0+（y0+1）2.

即|PF||PQ|=1 4y0（y0+1）2+1≥1 4y04y0+1=1 2= 22.

所以當(dāng)且僅當(dāng)y0=1時(shí)，|PF||PQ|的最小值為 22.

方法總結(jié)?解析幾何的數(shù)學(xué)本質(zhì)是以數(shù)代形，在處理解析幾何中的很多問題時(shí)我們都要用到代數(shù)中的函數(shù)思想、方程思想等在圓錐曲線的最值問題中，當(dāng)條件中某個(gè)參數(shù)與所研究的目標(biāo)可以建立函數(shù)關(guān)系時(shí)，我們可以構(gòu)建函數(shù)關(guān)系，然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值的問題去解決，常用的有二次函數(shù)求最值、基本不等式求最值、導(dǎo)數(shù)法求最值、單調(diào)性法求最值，在求解過程中，由于幾何圖形的特征，一定要注意函數(shù)的定義域.

解析幾何最值問題通常有兩類：一類是長(zhǎng)度，一類是面積以上我們探索了一個(gè)拋物線長(zhǎng)度最值問題的多種解法，這也是處理解析幾何最值問題的常用方法總之，對(duì)于圓錐曲線中的最值問題，既要關(guān)注到幾何圖形的本身特征，找出幾何本質(zhì)，挖出本源;也要會(huì)把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，用代數(shù)知識(shí)解決，實(shí)現(xiàn)解析幾何與代數(shù)的相互融合，相互應(yīng)用，最終形成一個(gè)完美的組合.

參考文獻(xiàn)：

[1]楊云顯 拋物線中的幾類最值問題及解決方案舉例[J]. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2011（12）：37-39+41.

（收稿日期：2019-11-20）