三階半線性中立型時滯微分方程的振動性①

林靖杰，曾偉宏，李丹

(廣東石油化工學(xué)院 理學(xué)院，廣東 茂名 525000)

1 引言

考慮如下的一類三階半線性中立型時滯微分方程

[r(t)|Z″(t)|α-1Z″(t)]+q(t)|x(σ(t))|β-1x(σ(t))=0,0

(1)

的振動性，其中Z(t)=x(t)+p(t)x(τ(t))，β>0，α>0，α，β為兩個正奇整數(shù)之比。

假設(shè)下列條件成立

(A1)p(t),q(t)∈C([t0，∞)，(0，∞))，0≤p(t)≤p<1，q(t)>0；

(A3)τ(t),σ(t)∈C1([t0,∞)，(0，∞))，對任意t≥t0，都有

如果x(t)有任意大的零點，則式(1)的解稱為振動的，否則稱其為非振動的；若式(1)的所有解都是振動的，則稱方程(1)是振動的，否則稱其為非振動的[1]。

文獻[2-4]對二階半線性中立型微分方程

(r(t)|Z′(t)|α-1Z′(t))′+q(t)|x(σ(t))|β-1x(σ(t))=0

(2)

做了深入研究，給出一些新的振動準則。近年來，這一理論在應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域中得到了迅速的發(fā)展及廣泛的應(yīng)用，如：金融經(jīng)濟、化學(xué)反應(yīng)過程的穩(wěn)定性的研究、飛機和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究、人口統(tǒng)計等問題。

定理1 假設(shè)條件(H1)-(H5)[14]及

成立，如果

定理2 假設(shè)條件(H1)-(H5)[14]及

成立，如果

文獻[15]研究了式(1)在β>α情況下的振動性，得到的主要結(jié)果有：

定理3 若存在函數(shù)ρ∈C1([t0，∞),(0，∞))，滿足A1(t)>0和

定理4 若存在函數(shù)ρ∈C1([t0，∞),(0，∞))，使

[r(t)|Z″(t)|α-1Z″(t)]′+q(t)|x(σ(t))|α-1x(σ(t))=0,0

(3)

新的振動性結(jié)果。它推廣和改進了文獻中的一些結(jié)果，并將舉例說明主要結(jié)果的應(yīng)用及其先進性。

2 引理

引理1 若x(t)是式(1)的最終正解，則Z(t)只有下列兩種可能，即存在T≥t0，使得當(dāng)t≥T時,有(A)Z(t)>0，Z′(t)>0，Z″(t)>0；(B)Z(t)>0，Z′(t)<0，Z″(t)>0[4].

引理3 設(shè)u(t)>0，u′(t)>0，u″(t)≤0，t≥t0，對任一θ∈(0，1) ，則存在Tθ≥t0，使得u(σ(t))≥

引理4 設(shè)u(t)>0，u′(t)>0,u″(t)>0，u?(t)≤0,t≥Tθ，則存在γ∈(0,1)和Tγ≥Tθ，使得u(t)≥

γtu′(t)，t≥Tγ[6].

3 主要結(jié)果

為了方便，使用記號：對于ρ，σ∈C1([t0，∞),(0,∞))，設(shè)

定理5 若存在函數(shù)ρ∈C1([t0，∞)，(0，∞))，滿足A1(t)>0，且有

(4)

成立，則式(3)是振動的。

證明設(shè)式(3)有非振動解x(t)，由于x(t)=0無實際意義，只考慮x(t)≠0的情形。設(shè)x(t)為式(3)的最終正解，且x(σ(t))>0，x(τ(t))>0，t0≤t1≤t.

由引理1可知，存在t2>t1，使當(dāng)t≥t2時，Z(t)只有引理1中(A)與(B)兩種可能。

當(dāng)Z(t)滿足引理1中(A)時，由于τ(t)≤t，故Z(t)≥Z(τ(t))且x(t)≤Z(t)，進而有x(t)=Z(t)-

p(t)x(τ(t))≥Z(t)-p(t)Z(τ(t))≥(1-p(t))Z(t)≥(1-p)Z(t)則

xα(σ(t))≥(1-p)αZ(σ(t))α

(5)

因為Z″(t)>0，此時由式(3)和式(5)可得

(r(t)(Z″(t))α)′≤-q(t)(1-p)αZ(σ(t))α=-A2(t)Z(σ(t))α，t≥t2

(6)

考慮廣義Riccati變換

(7)

對式(7)中t進行求導(dǎo)，并由式(6)得

(8)

由(A2)可知，r(t)≥0，r′(t)≥0，且(r(t)(Z″(t))α)′=r′(t)(Z″(t))α+αr(t)(Z″(t))α-1Z?(t)≤0可得，Z?(t)≤0.

(9)

取T=max {t2,Tγ}，由引理3可得，令u(t)=Z′(t)，對任一θ∈(0,1)，存在Tθ≥t0，使得

(10)

由引理4可得，存在γ∈(0,1)和Tγ≥Tθ，使得

Z(σ(t))≥γσ(t)Z′(σ(t))，t≥Tγ

(11)

由式(9)～式(11)可得，此時式(8)為

(12)

當(dāng)Z(t)滿足引理1中(B)時，由于(r(t)(Z″(t)α)′≤0，且q(t)>0,1-ρ>0,Z′(t)<0，可得

(r(t)(Z″(t))α)′≤-q(t)(1-ρ)α(Z′(t))α=-A2(t)(Z′(t))α

(13)

考慮廣義Riccati變換

(14)

對式(14)中t求導(dǎo)，并利用式(13)的結(jié)果，可得

(15)

V′(t)<-A2(t)

(16)

令t→∞，根據(jù)式(4)可知，V(t2)→+∞，這與V(t)<0矛盾，故假設(shè)不成立，即當(dāng)Z(t)滿足引理1中(B)型時，x(t)是式(3)的振動解。

證畢。

定理6 若存在函數(shù)ρ∈C1([t0，∞)，(0，∞))使得A1(s)>0，式(4)成立，且滿足

(17)

則式(3)是振動的。

證明 設(shè)x(t)是式(3)的非振動解，如同定理5的證明，若Z(t)為引理1中(A)型，在這里，證明過程與定理5第一部分的證明過程一樣。即當(dāng)Z(t) 滿足引理1中(A)型，x(t)是式(3)的振動解。

當(dāng)Z(t)滿足引理1中(B)型時，由于(r(t)(Z″(t))α)′≤0，則(r(t)(-Z″(t))α)′≥0，且q(t)>0,1-p>0,Z′(t)<0，可得

(r(t)(-Z″(t))α)′≥q(t)(1-p)α(Z′(t))α=A2(t)(Z′(t))α

(18)

考慮廣義Riccati變換

(19)

對式(19)中t求導(dǎo)，并利用式(18)，可得

(20)

式(20)兩邊同時乘φα(t)，并從t2到t進行積分，可得

(21)

(22)

由于 (r(t)(Z″(t))α)′≤0，當(dāng)s>t時，有r(s)(Z″(s))α≤r(t)(Z″(t))α，即

(23)

對式(23)兩邊從t到l(l>s)對s進行積分，可得

(24)

證畢。

推論若存在函數(shù)H(t,s)∈F和ρ∈C1([t0，∞)，(0，∞))，使得式(4)成立，且

(25)

則式(3)是振動的。

注：(1)若取r(t)=1，p(t)=0，則式(3)即為文獻[13]所研究的時滯微分方程，即定理5的結(jié)論推廣了文獻[13]的結(jié)果，應(yīng)用更廣泛；(2)若取β=α，式(3)就是文獻[12]所研究的方程，因而定理5的結(jié)論改進了文獻[12]的相應(yīng)結(jié)果；(3)本文的研究結(jié)果改進了文獻[14]相應(yīng)的振動準則。

4 應(yīng)用

例 考慮如下的三階中立型微分方程

(26)

θ=1，γ∈(0,1).顯然有

顯然式(26)滿足定理5的條件式(4)，由此可知式(3)是振動的，而文獻[12]的研究結(jié)論不能應(yīng)用于此例。