第十四個(gè)優(yōu)美不等式的進(jìn)一步推廣

葉專 溫志紅

【摘要】本文主要對(duì)安振平老師在文獻(xiàn)[1]中所提出的二十六個(gè)優(yōu)美不等式中的第十四個(gè)不等式給出進(jìn)一步推廣，并給出另一種全新的證明方法.

【關(guān)鍵詞】第十四個(gè)優(yōu)美不等式;條件極值;推廣

一、背 景

在文獻(xiàn)[1]中安振平老師提出了二十六個(gè)優(yōu)美不等式，這二十六個(gè)優(yōu)美不等式的出現(xiàn)引起了眾多的關(guān)注，不斷有數(shù)學(xué)愛好者和學(xué)者對(duì)這些不等式進(jìn)行證明和進(jìn)一步的推廣.本文關(guān)注的是第十四個(gè)優(yōu)美不等式：

若三個(gè)非負(fù)數(shù)a，b，c滿足a+b+c=1，則有

（1-a2）2+（1-b2）2+（1-c2）2≤6427，

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=13時(shí)，等號(hào)成立.

鄒生書老師在文獻(xiàn)[2]中通過構(gòu)造“尾舵函數(shù)”的方法給出了一種簡(jiǎn)捷的證明方法，并且對(duì)此不等式進(jìn)行了如下形式的推廣：若xi≥0（i=1，2，…，n），∑ni=1xi=1，則

∑ni=1（1-x2i）2≤3227n-1，

當(dāng)且僅當(dāng)xi=1n（i=1，2，…，n）時(shí)，等號(hào)成立.注意到，此推廣存在一定缺陷，僅對(duì)n=3的情況下成立.據(jù)此，文獻(xiàn)[3]和[4]針對(duì)此缺陷給出如下修正：

∑ni=1（1-x2i）2≤（n2-1）2n3.

同時(shí)，陳宇老師在文獻(xiàn)[5]中給出了下界估計(jì)，即

n-1≤∑ni=1（1-x2i）2.

二、主要結(jié)論及證明

本文主要對(duì)上面的結(jié)果進(jìn)行進(jìn)一步的推廣，并給出一個(gè)全新的證明.首先陳述本文的主要結(jié)果：

定理 若xi≥0（i=1，2，…，n），∑ni=1xi=1，則對(duì)任何實(shí)數(shù)k>1有

n-1≤∑ni=11-xkik≤n1-1nkk，

當(dāng)且僅當(dāng)xi=1，xj=0（j≠i）時(shí)，左邊等號(hào)成立;當(dāng)且僅當(dāng)xi=1n（i=1，2，…，n）時(shí)，右邊等號(hào)成立.

注：一方面，當(dāng)k=2時(shí)，我們的定理與文獻(xiàn)[3]至[5]的結(jié)果是一致的，因此我們的定理是前人結(jié)果的推廣.另一方面，“尾舵函數(shù)”的方法對(duì)于k≠2時(shí)的不等式證明即使有效也是非常復(fù)雜的.下面，本文給出的證明方法是簡(jiǎn)捷而全新的，僅供大家參考.

在定理的證明中需要用到一個(gè)關(guān)鍵引理，我們先敘述并證明它.

引理 設(shè)a，b∈（0，1）以及實(shí)數(shù)k>1，定義集合Ω瘙綆2如下：

Ω（a，b）：a-b=ak+1-bk+1，a≠b.

如果（a，b）∈Ω，則有a+b>1.

引理的證明.我們首先定義集合

ΩΩ∪{（0，1），（1，0），（（k+1）-1k，（k+1）-1k）}.

不難發(fā)現(xiàn)Ω為瘙綆2中的一條閉曲線段，從而Ω為瘙綆2中的有界閉集.于是a+b在Ω上必能取得最大值和最小值.事實(shí)上，我們接下來證明a+b只能在Ω中的兩點(diǎn)（0，1），（1，0）取到最小值1，從而當(dāng)（a，b）∈Ω，則有a+b>1.這里采用二元函數(shù)條件極值的方法給予證明.為此，令多元函數(shù)

G（a，b，λ）a+b+λ（ak+1-a-bk+1+b）.

對(duì)函數(shù)G求一階偏導(dǎo)數(shù)，并且令它們都等于零，則有

Ga（a，b，λ）=1+λ[（k+1）ak-1]=0，

Gb（a，b，λ）=1+λ[1-（k+1）bk]=0，

Gλ（a，b，λ）=ak+1-a-bk+1+b=0.

解此方程組可得其一組解滿足

a0=λ-1λ（k+1）1k，b0=λ+1λ（k+1）1k，λ-1λ+1=λk-1λk+1k，λ>1，……（Δ）

注意到，當(dāng)a，b≠（k+1）-1k，（k+1）-1k時(shí)，如下矩陣不降秩（滿秩1）

（k+1）ak-1，1-（k+1）bk，

而且約束集Ω為有界閉集，又沒有任何遺漏點(diǎn).因此，

我們不難得到a+b在Ω中的如下四點(diǎn)

（0，1），（1，0），（a0，b0），（（k+1）-1k，（k+1）-1k）

取得最值.

事實(shí)上，a+b在點(diǎn)（0，1），（1，0）取得最小值1，在點(diǎn)（k+1）-1k，（k+1）-1k取得最大值.為此，我們證明2（k+1）-1k>a0+b0>1即可.這里我們首先驗(yàn)證a0+b0>1.從（Δ）式可得

a0+b0=λ-11k+λ+11kλ（k+1）1k=λ+11k1+λk-1λk+1λ（k+1）1k=2λ+11kλkλ（k+1）1k（λk+1）= 2k1+1λ1k（k+1）1kk+1λ.

對(duì)上式右端關(guān)于λ求導(dǎo)可知2k（k+1）1k·1+1λ1kk+1λ′=2k（k+1）1k·1+1λ1k-1λ3k+1λ21-1k>0.

由于λ>1，于是

a0+b0>21+1kk（k+1）1+1k.

下面驗(yàn)證對(duì)任意的k>1有

21+1kk（k+1）1+1k>1.

通過構(gòu)造輔助函數(shù)：

F（k）（k+1）ln 2+kln k-（k+1）ln（k+1），

不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)任意的k>1有F（k）>0.

這就意味著對(duì)任意的k>1有21+1[]kk[]（k+1）1+1[]k>1，

這就表明a0+b0>1.最后，證明2（k+1）-1k>a0+b0.事實(shí)上，只需驗(yàn)證

a0+b0=λ-11k+λ+11kλ（k+1）1k<2（k+1）1k.

這等價(jià)于

λ-11k+λ+11kλ1k<21-1λ1k+1+1λ1k<2.

為此，定義輔助函數(shù)ψ（λ）1-1λ1k+1+1λ1k，λ>1.

求導(dǎo)可得ψ′（λ）[ZK（]=1λ2k1-1λ1k-1-1λ2k1+1λ1k-1

=1λ2k1-1λ1k-1-1+1λ1k-1>0.[ZK）]

于是有

ψ（λ）<ψ（+∞）limt→+∞ψ（t）=limt→+∞1-1t1k+1+1t1k=2.

這就證明了2（k+1）-1k>a0+b0.

綜合上述的論證，當(dāng)（a，b）∈Ω時(shí)，則有a+b>1，故引理得證.

利用如上引理，我們開始本文定理的證明.

我們采用多元函數(shù)條件極值的方法證明如上定理，問題的實(shí)質(zhì)就是求函數(shù)

h（x1，x2，…，xn）∑ni=1（1-xki）k

在條件g（x1，x2，…，xn）∑ni=1xi-1=0下的最大值和最小值.應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法，我們令多元函數(shù)

f（x1，x2，…，xn，λ）∑ni=11-xkik+λ∑ni=1xi-1.

對(duì)函數(shù)求一階偏導(dǎo)數(shù)，并且令它們都等于零，則有

（R1）fx1=-k2xk-111-xk1k-1+λ=0，fx2=-k2xk-121-xk2k-1+λ=0，…fxn=-k2xk-1n1-xknk-1+λ=0，fλ=∑ni=1xi-1=0.

我們首先考慮情形：xi≠0，1（i=1，2，…，n），方程組（R1）的解.從（R1）中前n個(gè)方程不難得到

λ=k2xk-1i（1-xki）k-1，i=1，2，…，n.

這樣可以推出xi=xj，i≠j.

事實(shí)上，假如存在j≠l使得xj≠xl，則

k2xk-1j（1-xkj）k-1=k2xk-1l（1-xkl）k-1.

于是得到

xj（1-xkj）=xl（1-xkl）xj-xl=xk+1j-xk+1lxj-xk+1j=xl-xk+1l.

利用引理的結(jié)論知xj+xl>1，這與條件∑ni=1xi=1相矛盾，所以x1=x2=…=xn.

將其代入（R1）的最后一個(gè)方程可知

x1=x2=…=xn=1n，λ=k2nk-11-1nkk-1.

依題意知函數(shù)h（x1，x2，…，xn）=∑ni=11-xkik的一個(gè)極值可疑點(diǎn)為：x1=x2=…=xn=1n，

將此極值可疑點(diǎn)代入函數(shù)h得

A1h1n，1n，…，1n=n1-1nkk.

另一方面，當(dāng)某個(gè)xi=1，其余項(xiàng)xj=0（j≠i），λ=0時(shí)，也是（R1）的解.因而

這樣的點(diǎn)也是函數(shù)h的極值可疑點(diǎn)，將此極值可疑點(diǎn)代入函數(shù)h得到

A2h0，0，…，1↑第i個(gè)，…，0=n-1.

注意到如下矩陣不降秩（滿秩1）

（gx1，gx2，…，gxn）=（1，1，…，1），

而且約束集∑ni=1xi=1，xi≥0（i=1，2，…，n）為有界閉集，沒有任何遺漏點(diǎn)，因此，我們可得A1，A2即為函數(shù)h的最值.接下來，我們驗(yàn)證A1為最大值，A2為最小值，即對(duì)n≥2以及任何實(shí)數(shù)k>1有

n-1≤n1-1nkk.（?。?/p>

為此，將（?。┦礁膶懗?/p>

1-1n≤1-1nkk.（Β）

為方便起見，記

a=1n∈0，12，

則（Β）式等價(jià)于

1-a≤（1-ak）k.

事實(shí)上，經(jīng)過一系列計(jì)算不難驗(yàn)證函數(shù)H（x）=（1-ax）x在x>1時(shí)單調(diào)遞增，這表明（B）式成立，從而（A）式也成立.綜上所述，本定理證明完畢.

【參考文獻(xiàn)】

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