邊以類聚 角以類分

何萍

【摘要】“等腰三角形”安排在“三角形”知識(shí)模塊的壓軸章節(jié)，在學(xué)習(xí)完“軸對(duì)稱”的相關(guān)性質(zhì)后閃亮登場(chǎng).“等腰三角形”的亮點(diǎn)在于它的邊與角，這種特殊性決定了它在初中數(shù)學(xué)教材中的位置，只有結(jié)合“軸對(duì)稱”“全等三角形”“垂直平分線”等相關(guān)知識(shí)才能更好地解決與“等腰三角形”相關(guān)的問題，也正因?yàn)槿绱耍暗妊切巍背蔀榻陙砀黝惪碱}中的重要考點(diǎn).

【關(guān)鍵詞】等腰三角形;腰;底

數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)上冊(cè)教材第十三章從性質(zhì)、判定及相關(guān)應(yīng)用這三個(gè)角度對(duì)“等腰三角形”層層深入地進(jìn)行講解，抽絲剝繭，逐步揭開“等腰三角形”的神秘面紗.在揭秘的過程中，它的特殊性逐漸顯現(xiàn)：一是它的邊分“腰”與“底”兩類，滿足三角形中的三邊關(guān)系;二是它的三個(gè)內(nèi)角分為“頂角”和“底角”，滿足三角形三個(gè)內(nèi)角的和為180°的性質(zhì).正是因?yàn)椤暗妊切巍敝小斑叀薄敖恰钡倪@些特殊性，才讓它成為各類考題青睞的對(duì)象.近年來的各類考題中，常出現(xiàn)以“等腰三角形”為基礎(chǔ)模型的幾何考題，考查學(xué)生的直觀感知能力、邏輯推理能力和空間想象能力.同時(shí)，考題的形式也靈活多樣，可能是選擇題、填空題、簡(jiǎn)答題或作圖題.為此，教師在教學(xué)過程中應(yīng)歸納總結(jié)相關(guān)解題方法，化難為易，使學(xué)生清楚掌握知識(shí)點(diǎn)，游刃有余地解決任何題型，這也是我們探究“等腰三角形”問題的方向與重點(diǎn).

一、原題呈現(xiàn)

例1 用一條長(zhǎng)為18 cm的細(xì)繩圍成一個(gè)等腰三角形.

（1）如果腰長(zhǎng)是底邊的2倍，那么各邊的長(zhǎng)是多少？

（2）能圍成有一邊的長(zhǎng)為4 cm的等腰三角形嗎？為什么？

分析 本題為人教版八年級(jí)上冊(cè)中的例題，考查“等腰三角形”中“邊”的特殊性.（2）中并未指明“腰”和“底”，此時(shí)教師需提醒學(xué)生進(jìn)行分類討論.因此，本題需將“長(zhǎng)為4 cm的邊”分為“腰”和“底”兩類分析，再與“三角形”三邊關(guān)系相結(jié)合，考查學(xué)生對(duì)三角形基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況.

例2 （1）等腰三角形的一個(gè)角是110°，它的另外兩個(gè)角是;

（2）等腰三角形的一個(gè)角是80°，它的另外兩個(gè)角是.[1]

分析 本題為人教版八年級(jí)上冊(cè)中的習(xí)題，考查“等腰三角形”中“角”的特殊性.題中并未指明“頂角”和“底角”，需將“110°”和“80°”分為“頂角”和“底角”兩大類討論，再結(jié)合“三角形三個(gè)內(nèi)角的和為180°”來完成求解.

感悟 由“三角形內(nèi)角和為180°”可以確定：當(dāng)已知等腰三角形中的一個(gè)角是銳角時(shí)，求另外兩個(gè)角有兩個(gè)答案;而當(dāng)已知等腰三角形中的一個(gè)角是鈍角時(shí)，求另外兩個(gè)角只有一個(gè)答案.

同樣地，如練習(xí)題中常出現(xiàn)“已知等腰三角形的一個(gè)外角為130°，求這個(gè)等腰三角形的頂角”.結(jié)合外角的概念可知，外角對(duì)應(yīng)的內(nèi)角為50°，則求等腰三角形的頂角需進(jìn)行分類討論.如果將題中的“130°”改成“50°”，則對(duì)應(yīng)內(nèi)角為130°，那么結(jié)合三角形內(nèi)角和為180°，則明確該角為頂角，無須分類討論.

二、應(yīng)用實(shí)踐

例3 （1）操作實(shí)踐：如圖1，△ABC中，∠A=90°，∠B=22.5°，請(qǐng)畫出一條直線把△ABC分割成兩個(gè)等腰三角形，并標(biāo)出分割成的兩個(gè)等腰三角形底角的度數(shù);（要求用兩種不同的分割方法）

（2）分類探究：△ABC中，最小內(nèi)角∠B=24°，若△ABC被一直線分割成兩個(gè)等腰三角形，請(qǐng)畫出相應(yīng)示意圖并寫出△ABC最大內(nèi)角的所有可能值.

分析 本題表面上看似考查等腰三角形的作圖，實(shí)際上是以“等腰三角形”的“對(duì)稱性”為基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，探究“等腰三角形”的性質(zhì)、判定及“軸對(duì)稱”“垂直平分線”的性質(zhì)等的應(yīng)用問題.本題對(duì)學(xué)生的求解能力要求較高，兩個(gè)小題的側(cè)重點(diǎn)有所不同，深入考查了學(xué)生的幾何直觀能力.

（1）如圖2，3所示.

（2）設(shè)分割線為AD，相應(yīng)的角度如圖4～7所示.

故△ABC的最大內(nèi)角可能值分別是117°，108°，90°，84°.

感悟 （1）（2）題側(cè)重考查“等腰三角形”中“角”的特殊性.學(xué)生常見的題型為“將頂角是36°的等腰三角形分割成兩個(gè)等腰三角形”，部分參考書稱該特殊三角形為“黃金等腰三角形”.而本題變式為“22.5°的直角三角形”，考查了學(xué)生的知識(shí)遷移能力.本題可補(bǔ)充“直角三角形斜邊上的中線可將直角三角形分割為兩個(gè)等腰三角形”的知識(shí)點(diǎn)，能使學(xué)生較快地解決部分問題.

例4 有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角邊長(zhǎng)分別為6 m，8 m，現(xiàn)在要將綠地?cái)U(kuò)充成等腰三角形，且擴(kuò)充部分是以8 m為直角邊的直角三角形，求擴(kuò)充后等腰三角形綠地的周長(zhǎng).

分析 上例是將已有的三角形分割成特殊的等腰三角形，本題是將已有的三角形擴(kuò)充為特殊的等腰三角形，且與直角三角形綜合考查，解題方法類似.如圖8～11所示，分別考慮以AB為腰（分為兩小類，以A為頂點(diǎn)，以B為頂點(diǎn)）和以AB為底兩種情況.

三、實(shí)踐提升

例5 （模擬考改編題）如圖12～15所示，在3×3的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，A，B兩點(diǎn)在網(wǎng)格格點(diǎn)上，若C點(diǎn)也在網(wǎng)格格點(diǎn)上，且以A，B，C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C有個(gè).

分析 題中并未指明等腰三角形的“腰”和“底”，則需從已知的邊AB入手，考慮AB為“腰”和“底”兩種情況.

（1）當(dāng)AB為腰時(shí)：

①如圖13所示，以A為等腰三角形的頂點(diǎn)時(shí)，以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫圓，交點(diǎn)在格點(diǎn)處的有3個(gè)，其中點(diǎn)C2與點(diǎn)A，B共線，去除此類情形后有2個(gè)點(diǎn);

②同理，如圖14所示，當(dāng)B為等腰三角形的頂點(diǎn)時(shí)，同①一樣也有2個(gè)點(diǎn).

（2）當(dāng)AB為底時(shí)，如圖15所示，點(diǎn)C在AB的垂直平分線上，有4個(gè)點(diǎn).

綜上所述，共有8個(gè)點(diǎn)使得以A，B，C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形.

例6 （中考改編題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（2，2），B（4，0），若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C有幾個(gè)？

分析 上例以網(wǎng)格紙作為背景來考查等腰三角形的分類情形，本題將等腰三角形“放”在平面直角坐標(biāo)系中，分類情況類似：

（1）當(dāng)AB為腰時(shí)：

①如圖16所示，以A為等腰三角形的頂點(diǎn)時(shí)，可以通過以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫圓，求與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的方法求得頂點(diǎn)坐標(biāo).此時(shí)可得到交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），（0，4），其中點(diǎn)（0，4）與點(diǎn)A，B共線，因此此類情形僅有1個(gè)點(diǎn)符合題意;

圖16圖17圖18

②如圖17所示，以B為等腰三角形的頂點(diǎn)時(shí)，可以通過以B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫圓，求得與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（4-22，0），（4+22，0），因此此類情形有2個(gè)點(diǎn)符合題意.

（2）當(dāng)AB為底時(shí)：點(diǎn)C在AB的垂直平分線上，同時(shí)要求在坐標(biāo)軸上，求二者的交點(diǎn)即可，如圖18所示，得交點(diǎn)為（2，0），（0，-2）.

感悟 題目中出現(xiàn)“等腰三角形”時(shí)，要根據(jù)題目中的條件判斷“腰”和“底”，如無法判定則需分類討論.總體上看，一般題目需分為“腰”和“底”兩大類考慮，對(duì)于其中“腰”的情況，又要分兩端點(diǎn)分別為等腰三角形頂點(diǎn)的情況考慮.

（改編變式）（原創(chuàng)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（2，2），B（4，0），在拋物線y=x2-8x+22x+16-82上存在幾個(gè)點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形？

分析 本題是將等腰三角形的模型“嫁接”在二次函數(shù)的問題中，其實(shí)解法與例6無異.本題同樣以等腰三角形的邊為研究對(duì)象進(jìn)行分類，只不過上例中是在題中要求的“坐標(biāo)軸”上找點(diǎn)，本題是在二次函數(shù)圖像上找點(diǎn)，方法完全一致.如圖19～21所示，同樣是按照等腰三角形的邊分為兩大類，可以直觀地看出共有7個(gè)點(diǎn)符合題意.

感悟 實(shí)際上，如果學(xué)生能夠完全掌握等腰三角形“邊”的這種分類，那么借助圓的知識(shí)就可以很容易求出第三個(gè)點(diǎn).這種分類方式可避免漏解，能夠幫助學(xué)生直觀找到各個(gè)不同點(diǎn).無論在哪類題型中，遇到類似情況，都能進(jìn)行知識(shí)的生成演變和應(yīng)用，從而達(dá)到“多題一解”的效果.

平面幾何是初中數(shù)學(xué)的重要組成部分之一，在中考中所占比例較大，而等腰三角形的特殊性更是近年來重點(diǎn)考查的對(duì)象，它可以和圓、垂直平分線、平行等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)綜合考查.2017年中考試卷中，烏魯木齊、南充等地均將等腰三角形與二次函數(shù)相結(jié)合的問題作為壓軸題的最后一步，可見等腰三角形的重要性.因此，學(xué)生只有掌握了等腰三角形的性質(zhì)、判定的應(yīng)用方法和技巧，并熟練把握它的特殊性，才能靈活應(yīng)對(duì)中考中相關(guān)的題型.

【參考文獻(xiàn)】

[1]林群.義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)[M].北京：人民教育出版社，2013.