“幾何畫板”融入高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)踐與研究

王雪梅 李龍華

【摘要】近年來，“幾何畫板”被廣泛地應(yīng)用于數(shù)學(xué)課堂，這是對(duì)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)模式的一大突破，不僅有助于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，而且可以推動(dòng)教師進(jìn)行教學(xué)方式的革新.教師利用“幾何畫板”進(jìn)行教學(xué)，能夠?qū)⒔虒W(xué)中的重點(diǎn)、難點(diǎn)更加直觀、形象地展示出來，能夠提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)學(xué)生自主探究的能力.在本文中，筆者將以高中數(shù)學(xué)課堂為研究對(duì)象，探究“幾何畫板”在高中數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用實(shí)踐，挖掘其輔助數(shù)學(xué)教學(xué)的深層特點(diǎn).

【關(guān)鍵詞】幾何畫板;高中數(shù)學(xué);教學(xué)實(shí)踐與研究

“幾何畫板”（The Geometers Sketchpad）是一個(gè)出色的學(xué)習(xí)和教學(xué)軟件，教師利用該軟件，可以精確地畫出各類圖像，直觀動(dòng)態(tài)地演示圖像，化靜為動(dòng)，營(yíng)造一種真實(shí)的環(huán)境，使教學(xué)效果更加逼真，從而降低學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的畏懼，使學(xué)生對(duì)知識(shí)、概念的理解更加清晰，同時(shí)也可以培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力.“幾何畫板”在課堂中的融入，有效改善了學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，改變了教師的教學(xué)方法，將課堂氛圍從枯燥無味轉(zhuǎn)化為生動(dòng)活潑.

一、利用“幾何畫板”創(chuàng)設(shè)豐富的教學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

將“幾何畫板”作為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的輔助工具，可以大大提高教學(xué)效率.教師借助“幾何畫板”可以為學(xué)生模擬出立體圖形的三維影像，使學(xué)生的注意力集中到屏幕上，提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的專注度并增強(qiáng)其好奇心，讓學(xué)生以積極愉悅的態(tài)度去對(duì)待課堂知識(shí)，主動(dòng)投身于教學(xué)情境中.

例如，在教學(xué)“指數(shù)函數(shù)及其圖像”時(shí)，教師先用“幾何畫板”創(chuàng)設(shè)一個(gè)細(xì)胞分裂的情境，這樣的導(dǎo)入貼近學(xué)生熟悉的實(shí)際生活，能夠引起學(xué)生極大的興趣.通過觀察細(xì)胞分裂的過程，學(xué)生可以根據(jù)觀察得出的規(guī)律歸納出細(xì)胞個(gè)數(shù)與細(xì)胞分裂之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，再結(jié)合有關(guān)指數(shù)函數(shù)的知識(shí)，求出函數(shù)解析式、定義域等內(nèi)容，此時(shí)教師再用“幾何畫板”繪制學(xué)生剛剛求得的指數(shù)函數(shù)的圖像，能夠讓學(xué)生留下深刻的印象.

數(shù)學(xué)是同日常生活聯(lián)系密切的學(xué)科，教師若在數(shù)學(xué)教學(xué)中利用“幾何畫板”創(chuàng)設(shè)情境，則可以將生活同學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)合起來，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科多幾分親切、少幾許陌生.例如，在“正弦函數(shù)的圖像”這一課的教學(xué)中，教師可以借助“幾何畫板”創(chuàng)設(shè)彈簧振子作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的情境，模擬出有關(guān)生活化景象，使學(xué)生對(duì)正弦函數(shù)圖像的記憶更加深刻.學(xué)習(xí)“橢圓”這一課時(shí)，教師若利用“幾何畫板”對(duì)行星的軌跡進(jìn)行模擬，則可以幫助學(xué)生去感受橢圓的應(yīng)用、感悟橢圓的本質(zhì)規(guī)律，學(xué)生對(duì)模擬出的畫面進(jìn)行思索時(shí)能夠更深入地理解橢圓的概念，這也是“幾何畫板”在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的影響之一.

心理學(xué)研究表明：學(xué)生的思維活動(dòng)總是由問題開始的，并在解決問題的過程中得到發(fā)展.學(xué)生學(xué)習(xí)的過程就是一個(gè)不斷提出問題，又不斷解決問題的過程，因此在教學(xué)過程中教師要不斷創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生的求知欲.教師創(chuàng)設(shè)問題情境，并借助“幾何畫板”為學(xué)生提供主動(dòng)探索和發(fā)現(xiàn)問題的條件，使學(xué)生的思維能力在問題的猜想與驗(yàn)證中得到提升和發(fā)展.例如，研究?jī)绾瘮?shù)圖像的特征和性質(zhì)時(shí)，教師創(chuàng)設(shè)問題情境：“同學(xué)們能否利用‘幾何畫板在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=x，y=x2，y=x3，y=x12，y=x-1的圖像？通過繪制的各函數(shù)圖像的形狀和位置的比較，同學(xué)們可以歸納出冪函數(shù)的性質(zhì)嗎？”讓學(xué)生分小組動(dòng)手操作“幾何畫板”生成函數(shù)y=xα，α是參數(shù)，隨意改變?chǔ)恋闹?，?2，-3，-12，23，32，2，4，5等，觀察繪制出的各函數(shù)圖像，對(duì)冪函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行驗(yàn)證.教師要給學(xué)生充分的時(shí)間，給他們想、做、說的機(jī)會(huì)，讓他們討論、質(zhì)疑、交流，讓學(xué)生通過“幾何畫板”的輔助，揭示、驗(yàn)證冪函數(shù)的圖像特征和性質(zhì)結(jié)論，這樣原本靜止枯燥的數(shù)學(xué)課就會(huì)變成輕松、活潑能夠讓學(xué)生展示自我的舞臺(tái)，學(xué)生的積極性、參與度都會(huì)大大提高，從而在輕松愉快的氛圍中獲得知識(shí).

二、利用“幾何畫板”動(dòng)態(tài)展示教學(xué)內(nèi)容，領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想

在多年課堂教學(xué)實(shí)踐中我們發(fā)現(xiàn)：學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)的有關(guān)概念、平面解析幾何、立體幾何等有關(guān)知識(shí)時(shí)，都或多或少存在一定的學(xué)習(xí)障礙，“數(shù)”與“形”不能很好地“統(tǒng)一”.

數(shù)學(xué)家華羅庚說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”.然而，教學(xué)道具只有一塊黑板、一支粉筆式的教學(xué)在講解數(shù)形結(jié)合、圖像動(dòng)態(tài)變化、空間幾何體等內(nèi)容時(shí)比較困難，靜態(tài)的、粗糙的粉筆作圖很難把圖像準(zhǔn)確地描繪清楚.對(duì)此，利用“幾何畫板”可以展示圖形變化的動(dòng)態(tài)過程以及圖像變化時(shí)隨之出現(xiàn)的數(shù)值變化，將抽象的公式轉(zhuǎn)化為形象的圖像，把解題的過程直接呈現(xiàn)出來，真正意義上實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合.

比如，教師用“幾何畫板”教授“直線與圓的關(guān)系”一課時(shí)，能夠把教學(xué)內(nèi)容變得形象、直觀，一改枯燥無味的課堂氛圍.再如：“幾何畫板”可以用來研究線性規(guī)劃最優(yōu)解的問題.例如：求目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值和最小值，使式中x，y滿足下列約束條件： x-4y≤-3，3x+5y≤25，x≥1.

在實(shí)際教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生在尋找最優(yōu)解時(shí)常常出現(xiàn)一些問題：一是作圖精度不夠，很難準(zhǔn)確畫出可行域;二是不易控制目標(biāo)函數(shù)的平移，找到的最優(yōu)解出現(xiàn)錯(cuò)誤.教師借助“幾何畫板”就可以解決這些困難，“幾何畫板”不僅能夠精確畫出可行域和目標(biāo)直線，還可以清晰地演示自動(dòng)平移直線y=-2x+z尋找最優(yōu)解的動(dòng)態(tài)過程，讓學(xué)生充分體驗(yàn)用圖解法求最優(yōu)解的發(fā)現(xiàn)、探索過程，建立精準(zhǔn)的數(shù)形聯(lián)系，使線性規(guī)劃問題的求解深入淺出，通俗易懂.

從平面圖形到空間立體圖形，是認(rèn)識(shí)上的一次飛躍，很多學(xué)生學(xué)得比較吃力，跟不上教師的節(jié)奏，將“幾何畫板”融入課堂教學(xué)可以解決這個(gè)問題.利用“幾何畫板”可以在極短時(shí)間內(nèi)描繪出需要的幾何圖形，甚至可以對(duì)部分重點(diǎn)圖形結(jié)構(gòu)、輔助線等進(jìn)行色彩標(biāo)注，也可以選擇設(shè)置閃爍效果，使其更為突出;利用“幾何畫板”構(gòu)造的立體圖形，可以旋轉(zhuǎn)，學(xué)生能夠清晰地看到圖形的多個(gè)角度，這與傳統(tǒng)教學(xué)方式中只能呈現(xiàn)圖形的一個(gè)角度顯著不同;利用“幾何畫板”可以將圖形動(dòng)態(tài)變化，有利于學(xué)生深入理解幾何圖形的面積、體積公式.

三、利用“幾何畫板”進(jìn)行發(fā)現(xiàn)式探究活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作、解決問題的能力

高中數(shù)學(xué)中有很多教學(xué)難點(diǎn)，為了突破教學(xué)難點(diǎn)，教師可以讓學(xué)生參與到精心設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)探究活動(dòng)中.學(xué)生以問題為載體，在教師的引導(dǎo)下進(jìn)行組內(nèi)探究學(xué)習(xí)，體驗(yàn)探究學(xué)習(xí)的樂趣，同時(shí)培養(yǎng)分析、解決、轉(zhuǎn)化問題的能力.

例如，在探究“三角形解的個(gè)數(shù)”時(shí)，對(duì)如下問題進(jìn)行變形轉(zhuǎn)換：

問題：在△ABC中，已知A=30°，a=1，b=2，求B;

變式1：在△ABC中，已知A=30°，a=12，b=2，求B;

變式2：在△ABC中，已知A=30°，a=3，b=2，求B;

變式3：在△ABC中，已知A=30°，a=32，b=2，求B;

變式4：在△ABC中，已知A=120°，a=3，b=2，求B;

變式5：在△ABC中，已知A=120°，a=1，b=2，求B.

探究：在三角形中，若兩邊和其中一邊的對(duì)角已知，那么在怎樣的情況下，求另一邊對(duì)角時(shí)會(huì)出現(xiàn)兩解的情況？一解、 無解呢？學(xué)生分組探究，合作交流，教師利用“幾何畫板”進(jìn)行探究和驗(yàn)證（如下圖）.

問題：一個(gè)解變式1：無解

變式2：一個(gè)解變式3：兩個(gè)解

變式4：一個(gè)解變式5：無解

在探究階段，教師借助“幾何畫板”的動(dòng)畫模擬功能，可以簡(jiǎn)潔而直觀地揭示出三角形解的情況，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究性問題的研究設(shè)計(jì).此時(shí)，對(duì)于學(xué)生來說，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變成了一種數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，大大提高了其學(xué)習(xí)積極性和解決實(shí)際問題的能力.

在研究三角函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像時(shí)，教師可以組織學(xué)生進(jìn)行自主探究.學(xué)校要為學(xué)生創(chuàng)造進(jìn)入電腦教室學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，同時(shí)給學(xué)生電腦安裝“幾何畫板”軟件.學(xué)生可以分組進(jìn)行探究，各小組探究y=Asin（ωx+φ）的參數(shù)A，ω，φ的變化對(duì)函數(shù)圖像的形狀和位置的影響.如在“幾何畫板”中畫出y=sin x，y=2sin x，y=3sin x，y=12sin x，y=13sin x的圖像（如下圖），合作探究參數(shù)A的變化對(duì)函數(shù)圖像有什么影響.

學(xué)生以“幾何畫板”為平臺(tái)進(jìn)行演示、探究，合作、交流，并歸納總結(jié)，最終得出結(jié)論.這樣的教學(xué)不但直觀、靈活地揭示了知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，也為學(xué)生提供了動(dòng)手機(jī)會(huì)，可以讓學(xué)生在實(shí)踐中習(xí)得真正的知識(shí).

總而言之，“幾何畫板”在高中數(shù)學(xué)教學(xué)課堂上可以發(fā)揮輔助工具的作用，教師利用“幾何畫板”進(jìn)行教學(xué)能夠?qū)F(xiàn)代信息技術(shù)與數(shù)學(xué)學(xué)科相互融合，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)自由的學(xué)習(xí)環(huán)境，幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)知識(shí)、提高自身能力.

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