基于矩陣奇異值分解的曲線擬合

畢雄

[摘 ? ? ? ? ? 要] ?有關空間直線如何擬合的問題，目前最廣泛流行的擬合方法為數(shù)據(jù)直線擬合的最小二乘法，采用一種基于最小二乘法對矩陣奇異值進行分解的空間直線擬合方法。首先對一些已知數(shù)據(jù)進行中心化處理可得到一個矩陣，接著將矩陣進行奇異值分解，那么空間擬合直線方程中的系數(shù)可由相應的列向量確定。該擬合過程結合已給的數(shù)據(jù)進行實驗的結果也比最小二乘法更接近真實值。

[關 ? ?鍵 ? 詞] ?矩陣奇異值分解;曲線擬合;最小二乘法

[中圖分類號] ?G642 ? ? ? ? ? ? ? ? [文獻標志碼] ?A ? ? ? ? ? ?[文章編號] ?2096-0603（2020）36-0124-02

在日常生活中我們常常需要由點到一維直線再到二維平面來深入研究直線擬合幾何空間的各邊和各個平面，其中重要的直線擬合方法之一就是最小二乘直線擬合法。對二維平面上的直線已經有很完善的理論且主要方法是依賴于最小二乘直線擬合法。在《計算方法》一書中也詳細介紹了最小二乘直線擬合法的基本原理及其計算方法和步驟。但是對復雜的三維空間而言，直線的計算和擬合問題就變得復雜了，通過像二維空間那樣用最小二乘直線擬合法進行解決。可是這樣的方法得出的理論和結果準確度高嗎，能幫助大家更好地計算和擬合出一條跟實際的三位空間直線吻合度高的空間直線嗎？由此，本文將給出另外一種方法——矩陣的奇異值分解（singular value decomposition，簡稱SVD分解），在用這種直線擬合方法的時候不需要考慮矩陣中元素的誤差，同時也不需要對矩陣進行最小二乘法中的迭代算法，只需要對一個矩陣進行奇異值分解就可以幫助大家計算出三維空間直線的系數(shù)和較高的準確度，并且在本文還給大家計算出這兩種直線擬合方法結果準確度的比較。

一、空間曲線擬合理論

因為在二維空間中，常以平面直線的標準方程來研究二維平面上的曲線擬合法，所以同樣在三維空間中用空間直線的標準方程來研究空間曲線擬合法：

（4）得到的空間擬合直線的方程：

-0.3162y+0.9478z=0.00017-0.8452x+0.5071y+0.169z=-2.53577

空間擬合直線的方向向量可表示α=（0.5345 0.8018 0.2637）。

四、兩種方法的結果對比

矩陣奇異值分解方法的擬合原則就是根據(jù)各點到擬合直線距離的平方和最小，在擬合直線上任取一點Q，則已知點εi=（xi yi zi）（i=1，2，...，10）到直線的距離di=εiQ·sin∠（εiQ，α）

五、結論

本文中介紹利用矩陣的奇異值分解的方法求解出擬合直線。不用通過最小二乘法進行計算，也不需要對矩陣進行迭代算法，只需簡單地將矩陣奇異值進行分解即可確定擬合直線方程的各項系數(shù)。由數(shù)值實驗結果對比可以看出，如果不充分考慮測量誤差，該計算方法對擬合出的直線效果較好，且操作簡單易行。

參考文獻：

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編輯 王海文