“形同質(zhì)異”題組“對對碰”
——例析函數(shù)中易混淆問題

張桂華

(云南省紅河州蒙自市第一高級中學(xué) 661199)

高中數(shù)學(xué)中有好多形式相同但實質(zhì)不同的題目，它們有的語言表述的相似度很高，但解題方法卻截然不同，學(xué)生在處理這類問題時，稍不留神就會犯下一些“美麗”的錯誤，帶來一些負(fù)面影響.特別是對函數(shù)章節(jié)中的有些問題，同學(xué)們總是容易混淆，這就要求教師在平時的教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生對這類題仔細(xì)加以區(qū)分，培養(yǎng)學(xué)生的審題能力，辨析能力和慎思的學(xué)習(xí)品質(zhì)，提高對數(shù)學(xué)本質(zhì)問題的理解.下面是筆者在函數(shù)教學(xué)中嘗試將幾個常見的“形同質(zhì)異”問題利用題組的形式進(jìn)行歸納分析，以期對同學(xué)們有所幫助.

一、抽象函數(shù)的定義域

(1)若函數(shù)f(x)的定義域為(-1,0)，求f(2x+1)的定義域；

(2)若f(2x+1)函數(shù)的定義域為(-1,0)，求f(x)的定義域.

(2)由f(2x+1)的定義域為(-1,0)，得-1

評注正確理解函數(shù)定義城的含義是解決此題組的關(guān)鍵.

二、定義域與值域

(1)已知函數(shù)f(x)=lg(mx2+2x+1)的定義域為R，求實數(shù)m的取值范圍；

(2)已知函數(shù)f(x)=lg(mx2+2x+1)的值域為R，求實數(shù)m的取值范圍.

解(1)中條件可等價轉(zhuǎn)化為不等式mx2+2x+1>0在x∈R上恒成立，解得m>1.

(2)中條件即f(x)可取遍R上的一切值，即u=mx2+2x+1能取遍(0,+)上的一切值.

評注定義域和值城是兩個不同的概念.

三、函數(shù)定義域與函數(shù)有意義

解(1)中條件可等價轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的不等式1+3x·a≥0的解集為(-,1]，也就是說這是一個“恰成立”問題.由不等式與方程的關(guān)系，可解得

(2)中條件可等價轉(zhuǎn)化為不等式1+3x·a≥0在(-,1]上恒成立，即恒成立，也就是說這實際上是一個“恒成立”問題.由于是單調(diào)遞減函數(shù)，可解得

評注正確理解函數(shù)定義域的含義是解決題組的關(guān)鍵.

四、區(qū)間單調(diào)與單調(diào)區(qū)間

(1)已知函數(shù)y=-x2-2ax+a-1在區(qū)間[-2,+)上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)已知函數(shù)y=-x2-2ax+a-1的單調(diào)減區(qū)間是[-2,+∞)，求實數(shù)a的取值范圍.

解(1)中條件相當(dāng)于二次函數(shù)圖象的對稱軸x=-a在區(qū)間[-2,+)的左邊，即-a≤-2，得a≥2；

(2)中條件相當(dāng)于二次函數(shù)圖象的對稱軸x=-a就是x=-2，得a=2.

評注區(qū)間單調(diào)和單調(diào)區(qū)間不同.

五、有解與恒成立

(1)若不等式|x-2|-|x-3|>a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若不等式|x-2|-|x-3|>a有解，求實數(shù)a的取值范圍.

解設(shè)f(x)=|x-2|-|x-3|，因為||x-2|-|x-3||≤|(x-2)-(x-3)|=1，所以-1≤f(x)≤1.

(1)中條件等價于a

(2)中條件等價于a

評注正確理解數(shù)學(xué)中的幾個關(guān)鍵詞“任意”、“存在”、“恒成立”、“能成立”等.

六、函數(shù)單調(diào)性與數(shù)列單調(diào)性

(1)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax在區(qū)間[1,+)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；

(2)若數(shù)列{an}的通項公式為an=n2+an，且滿足an

評注數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，但數(shù)列中的n∈N*.

七、對稱與周期

(1)已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x都有f(1+x)=f(1-x)成立，且f(3)=4，求f(-1)的值；

(2)已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x都有f(x+1)=f(x-1)成立，且f(3)=4，求f(-1)的值.

解(1)由f(1+x)=f(1-x)知，函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為x=1，所以f(-1)=f(3)=4；

(2)由f(x+1)=f(x-1)知，函數(shù)f(x)的周期為T=2，故f(-1)=f(-1+4)=f(3)=4.

八、主元與次元

(1)對于任意x∈[-1,1]，函數(shù)y=x2+(a-4)x+4-2a恒大于零，求a的取值范圍；

(2)對于任意a∈[-1,1]，函數(shù)y=x2+(a-4)x+4-2a恒大于零，求x的取值范圍.

評注自變量不同，函數(shù)也就不同.

九、自對稱與互對稱

(1)函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(2-x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于____對稱；

(2)函數(shù)y=f(x+2)與y=f(2-x)的圖象關(guān)于____對稱.

解(1)是函數(shù)自身關(guān)于某直線對稱軸，即函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=2對稱；

(2)是兩個函數(shù)關(guān)于某直線對稱，取一個特例，如f(x)=x2就能得出函數(shù)y=f(x+2)與y=f(2-x)的圖象關(guān)于直線x=0對稱.

十、向左平移與向右平移

(1)已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，則f(x-2)圖象的對稱軸為____；

(2)已知函數(shù)f(x-2)是偶函數(shù)，則f(x)圖象的對稱軸為____.

解(1)由f(x)是偶函數(shù)，知f(x)的圖象關(guān)于x=0對稱，而函數(shù)f(x)的圖象向右平移2個單位得到函數(shù)f(x-2)的圖象，所以f(x-2)圖象的對稱軸為x=2；

(2)由f(x-2)是偶函數(shù)，知f(x-2)的圖象關(guān)于x=0對稱，而函數(shù)f(x-2)的圖象向左平移2個單位得到函數(shù)f(x)的圖象，所以f(x)圖象的對稱軸為x=-2.

縱觀以上各題組可知，它們都是“形同質(zhì)異”題，當(dāng)我們遇到該類型題時，不要“霧里看花”，而應(yīng)當(dāng)借助我們的一雙慧眼把它們看得清楚楚、明明白白、真真切切；同時做完題后有必要“殺回馬槍”，這也是一個高考制勝的“法寶”.