新疆維吾爾自治區(qū)喀什地區(qū)麥蓋提縣實(shí)驗(yàn)中學(xué) 木也色爾·木臺(tái)力甫
在初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有很多重要的知識(shí)點(diǎn),例如拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)判定等,這些都是考試的重點(diǎn)。在解決這些問題時(shí),通常會(huì)將拋物線與一元二次方程聯(lián)合起來,將問題簡化。下面我們主要結(jié)合例題,分析拋物線與一元二次方程聯(lián)合解題的方法,為開展初中數(shù)學(xué)教學(xué)提供借鑒。
(1)求證:該直線與拋物線之間總是存在兩個(gè)相交點(diǎn)。
(1)解:根據(jù)題意,將代表拋物線與直線的方程聯(lián)立成一個(gè)方程組,并將該方程組中的兩個(gè)方程式進(jìn)行組合、化簡可以得到這樣的方程式x2-(k+4)x-1=0,因?yàn)棣?大于0,因此該方程有兩個(gè)不相等實(shí)根,可以判定無論k值是多少,直線與該拋物線總有兩個(gè)交點(diǎn)。
解得x、y值,并進(jìn)一步解得A與B的坐標(biāo)。
如圖1,過點(diǎn)A作AF⊥x軸于F,過點(diǎn)B作BE⊥x軸于E,因此可計(jì)算出AF的值。
所以△AOB的面積等于△AOC和△BOC相加之和。分別計(jì)算△AOC和△BOC的面積,進(jìn)而計(jì)算△AOB的面積。
解法2:如圖2,設(shè)A的坐標(biāo)為(x1,y1),B的坐標(biāo)為(x2,y2),
如圖2,過點(diǎn)A作AF⊥x軸于F,過點(diǎn)B作BE⊥x軸于E,由此可得EF的值。
所以△AOB的面積等于△AOC與△BOC的面積之和,分別計(jì)算△AOC與△BOC的面積,將其相加,得出△AOB的面積。
點(diǎn)評(píng):解法1 主要是運(yùn)用幾何知識(shí)進(jìn)行解題,解法2 是把幾何與系數(shù)等結(jié)合起來綜合解題,這兩種方法各有各的特點(diǎn),解法1 需要進(jìn)行較多的計(jì)算,解法2 具有很強(qiáng)的技巧性。這兩種方法在初中階段經(jīng)常會(huì)用到。
拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),求交點(diǎn)橫坐標(biāo)最值。
(1)當(dāng) 時(shí),求k的值。
(2)求證:直線與拋物線之間有兩個(gè)交點(diǎn)。
點(diǎn)評(píng):在解答該例題時(shí),需要掌握兩個(gè)重點(diǎn),首先,對(duì)交點(diǎn)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,通過判定一元二次方程的兩個(gè)根,得出交點(diǎn)的兩個(gè)橫坐標(biāo),再借助于根與系數(shù)的關(guān)系,進(jìn)一步求解。其次,將最值問題轉(zhuǎn)化成為二次函數(shù),并通過判定二次函數(shù)的增減性得出最值。
綜上可知,利用拋物線與一元二次方程聯(lián)合解題,能夠由此構(gòu)建起更加豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò),從而更好地理解問題,讓復(fù)雜的問題變得簡單化,降低解題難度,并通過靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)有效解決問題,提高解題效率。