拋物線與一元二次方程聯(lián)合解題常用方法分析

新疆維吾爾自治區(qū)喀什地區(qū)麥蓋提縣實(shí)驗(yàn)中學(xué) 木也色爾·木臺(tái)力甫

在初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有很多重要的知識(shí)點(diǎn)，例如拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)判定等，這些都是考試的重點(diǎn)。在解決這些問題時(shí)，通常會(huì)將拋物線與一元二次方程聯(lián)合起來，將問題簡化。下面我們主要結(jié)合例題，分析拋物線與一元二次方程聯(lián)合解題的方法，為開展初中數(shù)學(xué)教學(xué)提供借鑒。

一、將直線與拋物線的交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為根的判別式

（1）求證：該直線與拋物線之間總是存在兩個(gè)相交點(diǎn)。

（1）解：根據(jù)題意，將代表拋物線與直線的方程聯(lián)立成一個(gè)方程組，并將該方程組中的兩個(gè)方程式進(jìn)行組合、化簡可以得到這樣的方程式x2-（k+4）x-1=0，因?yàn)棣?大于0，因此該方程有兩個(gè)不相等實(shí)根，可以判定無論k值是多少，直線與該拋物線總有兩個(gè)交點(diǎn)。

解得x、y值，并進(jìn)一步解得A與B的坐標(biāo)。

如圖1，過點(diǎn)A作AF⊥x軸于F，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，因此可計(jì)算出AF的值。

所以△AOB的面積等于△AOC和△BOC相加之和。分別計(jì)算△AOC和△BOC的面積，進(jìn)而計(jì)算△AOB的面積。

解法2：如圖2，設(shè)A的坐標(biāo)為（x1,y1），B的坐標(biāo)為（x2,y2），

如圖2，過點(diǎn)A作AF⊥x軸于F，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，由此可得EF的值。

所以△AOB的面積等于△AOC與△BOC的面積之和，分別計(jì)算△AOC與△BOC的面積，將其相加，得出△AOB的面積。

點(diǎn)評(píng)：解法1 主要是運(yùn)用幾何知識(shí)進(jìn)行解題，解法2 是把幾何與系數(shù)等結(jié)合起來綜合解題，這兩種方法各有各的特點(diǎn)，解法1 需要進(jìn)行較多的計(jì)算，解法2 具有很強(qiáng)的技巧性。這兩種方法在初中階段經(jīng)常會(huì)用到。

二、拋物線與x 軸有唯一交點(diǎn)型

拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求交點(diǎn)橫坐標(biāo)最值。

（1）當(dāng) 時(shí)，求k的值。

（2）求證：直線與拋物線之間有兩個(gè)交點(diǎn)。

點(diǎn)評(píng)：在解答該例題時(shí)，需要掌握兩個(gè)重點(diǎn)，首先，對(duì)交點(diǎn)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，通過判定一元二次方程的兩個(gè)根，得出交點(diǎn)的兩個(gè)橫坐標(biāo)，再借助于根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)一步求解。其次，將最值問題轉(zhuǎn)化成為二次函數(shù)，并通過判定二次函數(shù)的增減性得出最值。

綜上可知，利用拋物線與一元二次方程聯(lián)合解題，能夠由此構(gòu)建起更加豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，從而更好地理解問題，讓復(fù)雜的問題變得簡單化，降低解題難度，并通過靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)有效解決問題，提高解題效率。