關(guān)于高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路多元化的方法舉例探討

梁雄

【摘要】函數(shù)知識(shí)是高中數(shù)學(xué)學(xué)科的重要組成部分，函數(shù)不僅在高考中占據(jù)著較大比重，而且也是學(xué)好高等數(shù)學(xué)的重要保障.函數(shù)知識(shí)架構(gòu)煩瑣，涉及數(shù)學(xué)理論較多，學(xué)生不易掌握.基于此，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)不斷創(chuàng)新教學(xué)方法，在講解函數(shù)解題技巧時(shí)，應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，多元化、多層面地運(yùn)用不同方法解決函數(shù)題型.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)函數(shù);解題思路;多元化方法;舉例探討

在解決函數(shù)問(wèn)題時(shí)，由于學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)不牢固、解題思路不清晰、解題方法單一，使學(xué)生陷入解題誤區(qū)，日積月累，堆積了大量的未解函數(shù)題型.針對(duì)這一情況，數(shù)學(xué)教師應(yīng)及時(shí)了解和掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)態(tài)，正確引導(dǎo)學(xué)生拓展解題思路，以各種不同的解題方法解決相對(duì)應(yīng)的函數(shù)題型，進(jìn)而提升解題效率，提高數(shù)學(xué)成績(jī)[1].

一、高中數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)的現(xiàn)實(shí)狀況

（一）基礎(chǔ)知識(shí)欠缺，公式理解膚淺

由于許多高中生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差，在面對(duì)較為復(fù)雜的函數(shù)理論與題型時(shí)，往往措手不及，不知道從何處著手，高中數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，不能“一口吃個(gè)胖子”.尤其對(duì)于函數(shù)概念與一些固定公式，學(xué)生一般都采取死記硬背的方法，學(xué)習(xí)效率大打折扣.高中函數(shù)知識(shí)已經(jīng)從初中簡(jiǎn)單的函數(shù)問(wèn)題過(guò)渡到較為復(fù)雜和深?yuàn)W的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)以及三角函數(shù)等.

當(dāng)學(xué)生面對(duì)同一個(gè)函數(shù)題型時(shí)，應(yīng)根據(jù)題目中所給出的已知條件，合理選擇相對(duì)應(yīng)的解題方法.解題時(shí)，學(xué)生不但要熟記函數(shù)概念、性質(zhì)，而且對(duì)方程知識(shí)也應(yīng)該輕車(chē)熟路，否則在解決函數(shù)問(wèn)題時(shí)就會(huì)陷入解題瓶頸.

（二）解題方式單一，思想意識(shí)僵化

對(duì)于高中函數(shù)問(wèn)題，一般有多種解題方法，解題方向和角度也較為寬泛，而對(duì)部分學(xué)生來(lái)說(shuō)，依然沿用過(guò)去的解題方法解決函數(shù)問(wèn)題，固定的解題模式限制了學(xué)生的想象力與個(gè)人能力的發(fā)揮，使解題效果差強(qiáng)人意.在解決實(shí)際的函數(shù)題型時(shí)，許多學(xué)生直接從概念入手，按照固定的思維模式對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解，如果函數(shù)題型稍稍做以改變，學(xué)生就無(wú)從下手.因此，學(xué)生應(yīng)該轉(zhuǎn)變思想觀念，摒棄傳統(tǒng)固化的解題思維，跟上教師的授課節(jié)奏，充分發(fā)揮自身的發(fā)散思維，采用各種不同的解題方法解決實(shí)際問(wèn)題.

二、多元化解題方法應(yīng)用的實(shí)際意義

（一）提升學(xué)習(xí)效率，鍛煉邏輯思維

學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)培養(yǎng)和鍛煉學(xué)生的邏輯推理能力大有幫助，在面對(duì)函數(shù)題型時(shí)，學(xué)生通過(guò)運(yùn)用多元化的解題方法和解題思想，將所學(xué)過(guò)的公式、定理運(yùn)用到實(shí)際解題當(dāng)中，使解題過(guò)程更加清晰，解題方向更加明確，解題效率大大提升[3].

（二）養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)

高中生的理性思維比較成熟，主觀能動(dòng)意識(shí)有了很大提升.而新課改要求每一名學(xué)生不僅要掌握必要的文化知識(shí)，同時(shí)也應(yīng)注重提升自身的綜合素養(yǎng).因此，通過(guò)在實(shí)際解題過(guò)程中運(yùn)用多元化的解題方法和思路，可以進(jìn)一步幫助學(xué)生養(yǎng)成一個(gè)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的提升.

（三）沖破傳統(tǒng)束縛，聯(lián)系課堂實(shí)際

在函數(shù)解題過(guò)程中，學(xué)生從各個(gè)不同角度，采用多種方法攻克一些較為復(fù)雜的題型，徹底沖破了傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)方法與解題方法的禁錮，改變了當(dāng)下固化的學(xué)習(xí)格局.此外，教師在課堂教學(xué)時(shí)，也應(yīng)該經(jīng)常講授一些函數(shù)題型的解題技巧與方法，將每一種方法都列舉出相對(duì)應(yīng)的題型，以點(diǎn)及面，讓學(xué)生將實(shí)際應(yīng)用與課堂教學(xué)相結(jié)合，以此提升學(xué)習(xí)效率.

三、多元化解題方法的舉例說(shuō)明

在遇到函數(shù)題型時(shí)，學(xué)生通常運(yùn)用函數(shù)的定義、定理和平時(shí)所學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行套用，久而久之就形成了一種固定的解題方法，這種單一的解題思路雖然迎合了教材內(nèi)容，但是卻限制了自身想象力以及創(chuàng)造力的提升，而這種方法也只適用于一些固定不變的題型，一旦題型發(fā)生改變，學(xué)生在解題時(shí)就會(huì)束手無(wú)策.面對(duì)這一情況，學(xué)生應(yīng)及時(shí)轉(zhuǎn)變思路，全方位、多角度地考慮問(wèn)題，從正到反，循序漸進(jìn)地分析函數(shù)題型當(dāng)中每一個(gè)變量間的具體關(guān)系，在明確題設(shè)條件的基礎(chǔ)上進(jìn)行計(jì)算，得出正確答案.

以高中函數(shù)題型中求值域問(wèn)題為例，通常運(yùn)用的解題方法包括：觀察法、反函數(shù)法、最值法、比例法、單調(diào)法、判別式法等[4].

（一）觀察法

這種方法通常應(yīng)用于一些簡(jiǎn)單的函數(shù)題型當(dāng)中，我們通過(guò)直觀的觀察，就可以快速地確定解題思路.比如，求函數(shù)y=3+2-3x的值域.對(duì)這道簡(jiǎn)單的求值域問(wèn)題，首先可根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)，求出2-3x的值域.解：由算術(shù)平方根的性質(zhì)，知2-3x≥0，故3+2-3x≥3.運(yùn)用觀察法求解類(lèi)似的函數(shù)題型，簡(jiǎn)單明了，也可以說(shuō)觀察法是一種較為常用的、也是易于學(xué)生掌握的解題技巧與方法.

（二）反函數(shù)法

這種解題方法通常用于函數(shù)本身存在反函數(shù)的情況，其反函數(shù)的定義域?qū)崉t就是原函數(shù)的值域.比如，求函數(shù)y=x+1x+2的值域.學(xué)生首先求出原函數(shù)的反函數(shù)，再求出其定義域.解：函數(shù)y=x+1x+2的反函數(shù)為x=1-2yy-1，其定義域?yàn)閥≠1的實(shí)數(shù)，故原函數(shù)的值域?yàn)閧y|y≠1，y∈R}.利用反函數(shù)解題也是解決函數(shù)題型的重要方法之一，運(yùn)用這種方法不但可以培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，同時(shí)也使解題效率大大提升.

（三）最值法

這種方法是指在封閉區(qū)間范圍內(nèi)，如果存在最值，就可以通過(guò)最值的獲得而得到函數(shù)的值域.比如，對(duì)閉區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)y=f（x），可求出y=f（x）在區(qū)間[a，b]內(nèi)的極值，并與邊界值f（a）、f（b）做比較，求出函數(shù)的最值，即得到函數(shù)f（x）的值域.比如，已知2x2-x-33x2+x+1≤0，且滿(mǎn)足x+y=1，求函數(shù)z=xy+3x的值域.點(diǎn)撥：根據(jù)已知條件求出自變量x的取值范圍，將目標(biāo)函數(shù)消元、配方，可求出函數(shù)的值域.解：∵3x2+x+1>0，上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解，解之得-1≤x≤32，又x+y=1，將y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x-1≤x≤32，∴z=-（x-2）2+4且x∈-1，32，函數(shù)z在區(qū)間-1，32上連續(xù)，故只需比較邊界的大小.

當(dāng)x=-1時(shí)，z=-5;當(dāng)x=32時(shí)，z=154.∴函數(shù)z的值域?yàn)閦-5≤z≤154.

（四）比例法

對(duì)一類(lèi)含約束條件的函數(shù)的值域的求法，可將約束條件轉(zhuǎn)化為比例式，代入目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)而求出原函數(shù)的值域.

比如，已知x，y∈R，且3x-4y-5=0，求函數(shù)z=x2+y2的值域.

本題是多元函數(shù)關(guān)系，一般含有約束條件，將約束條件轉(zhuǎn)化為比例式，設(shè)置參數(shù)，可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為單值函數(shù)的形式.

解：由3x-4y-5=0變形得x-34=y-13=k，∴z=x2+y2=（3+4k）2+（1+3k）2=（5k+3）2+1.當(dāng)k=-35時(shí)，x=35、y=-45，zmin=1，因此，該函數(shù)的值域是{z|z≥1}，這種解題方法體現(xiàn)諸多思想方法，具有一定的創(chuàng)新意識(shí).

（五）單調(diào)法

這種方法就是利用函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的情況來(lái)求得值域，這種方法在解決函數(shù)問(wèn)題時(shí)較為常用.比如，求函數(shù)y=4x-1-3xx≤13的值域.由已知的函數(shù)是復(fù)合函數(shù)，可設(shè)g（x）=-1-3x，f（x）=4x，y=f（x）+g（x），在此區(qū)間內(nèi)分別討論函數(shù)的增減性，從而確定函數(shù)的值域.解：設(shè)f（x）=4x，g（x）=-1-3xx≤13，易知它們?cè)诙x域內(nèi)為增函數(shù)，從而y=f（x）+g（x）=4x-1-3x在定義域內(nèi)為增函數(shù)，從而y≤f13+g13=43，∴所求的函數(shù)值域?yàn)閥y≤43.

（六）判別式法

如果關(guān)于某一個(gè)變量的二次方程可轉(zhuǎn)化為分式函數(shù)或者無(wú)理函數(shù)，學(xué)生在解題時(shí)就可以運(yùn)用判別式法進(jìn)行解題.比如，求函數(shù)y=2x2-2x+3x2-x+1的值域.首先將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量的二次方程，應(yīng)用二次方程根的判別式確定出原函數(shù)的值域.解：將上式化為（y-2）x2-（y-2）x+（y-3）=0，當(dāng)y≠2時(shí)，此方程有解，∴Δ≥0，即（2-y）2-4（y-2）（y-3）≥0，解得2

四、結(jié)束語(yǔ)

學(xué)生可以結(jié)合自身的學(xué)習(xí)能力以及對(duì)函數(shù)知識(shí)的理解能力，科學(xué)合理地選擇較為簡(jiǎn)捷的方法解決函數(shù)題型.如果在解題過(guò)程中遇到困難，學(xué)生可以通過(guò)組建學(xué)習(xí)合作小組的形式，利用團(tuán)隊(duì)的力量解決復(fù)雜的函數(shù)問(wèn)題.相信運(yùn)用多元化的解題方法解決函數(shù)問(wèn)題，必將收到理想的學(xué)習(xí)效果，進(jìn)而使數(shù)學(xué)成績(jī)得到快速提升.

【參考文獻(xiàn)】

[1]徐沛豐.關(guān)于高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路多元化的方法舉例探討[J].文化創(chuàng)新比較研究，2018（31）：179+181.

[2]武成豫.關(guān)于高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路多元化的方法舉例探討[J].未來(lái)英才，2018（2）：160-161.

[3]錢(qián)農(nóng)文.關(guān)于高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路多元化的方法舉例探索[J].文理導(dǎo)航，2017（26）：31.