幾何輔助線的根源探索

李想

【摘要】幾何在數(shù)學(xué)中不同于代數(shù)，渾然天成的題目，簡(jiǎn)潔的條件和結(jié)論卻蘊(yùn)含著不簡(jiǎn)單的思想.幾何輔助線作為連接條件與結(jié)論的橋梁，是幾何中的難點(diǎn)，本文就幾種簡(jiǎn)單幾何輔助線的根源進(jìn)行探究，尋求幾何輔助線的規(guī)律性

【關(guān)鍵詞】平面幾何;輔助線

平面幾何曾被許多科學(xué)家、數(shù)學(xué)家稱為“思維的藝術(shù)體操”.在全國(guó)各省市的中考中，幾何證明題也是這場(chǎng)選拔性考試的分水嶺，題目主要考查考生對(duì)基本圖形的識(shí)別能力以及邏輯推理的能力，正確地連接輔助線是解決平面幾何問題的關(guān)鍵.但是，對(duì)許多學(xué)生來說，輔助線的選取只能就提論題，幾何問題的思維方法很難形成規(guī)律性，這也是長(zhǎng)期以來，教師覺得幾何難教，學(xué)生覺得幾何難學(xué)的原因.筆者在近日的教學(xué)中，以一道一題多解的幾何題為例，和學(xué)生分享輔助線的規(guī)律性，學(xué)生收獲頗豐.

例?如圖1所示，等腰直角△ABC中，AB=AC，P是BC中點(diǎn)，PD⊥PE，求證：PD=PE.

本題是一道等腰直角三角形的基礎(chǔ)題，題目本身并不難.

方法一?連接AP，如圖2所示，易證△BPD≌△APE，從而證得PD=PE.但學(xué)生思考的是輔助線連接AP有什么規(guī)律可循嗎？

了解簡(jiǎn)單基礎(chǔ)的平面幾何基本圖形，是研究平面幾何的基礎(chǔ)，實(shí)際上這也正是輔助線的由來，因此，對(duì)于輔助線連接AP，先和學(xué)生分享了一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型：

如圖3所示，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AB′C′，易證B′C′⊥BC.（簡(jiǎn)釋：如圖4所示，延長(zhǎng)B′C′交AB于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)H，∠B=∠B′，∠BAB′=∠B′HB=90°）

上述模型可以簡(jiǎn)單說成三角形繞一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°后，旋轉(zhuǎn)前后該頂點(diǎn)所對(duì)的邊垂直.那么當(dāng)PD⊥PE時(shí)，如何證明PD=PE呢？旋轉(zhuǎn)可以給我們提供一種思路，思考有沒有PD所在的三角形，旋轉(zhuǎn)90°之后可以得到PE所在的三角形呢？于是就有了連接AP，當(dāng)然題目中天然的垂直和相等讓題目更加和諧，即第三邊BD⊥AE，AP=BP.旋轉(zhuǎn)的思路在證明互相垂直的線段相等時(shí)有著廣泛的應(yīng)用.

方法二?如圖5所示，過點(diǎn)P作PM⊥AB，PN⊥AC，易證PM=PN（連接AP用角平分線的性質(zhì)，或PM=BPsinB，PN=CPsinC），接下來證明△PMD≌△PNE，從而證得PD=PE.

過點(diǎn)P分別向AB，AC兩邊作垂線是怎樣想出來的呢？再看一個(gè)基礎(chǔ)模型，如圖6所示，在四邊形ACPB中，AP平分∠BAC，∠B+∠C=180°，易證PB=PC（簡(jiǎn)釋：過點(diǎn)P作PN⊥AB，PM⊥AC，PM=PN，又∠B=∠PCM，△PCM≌△PBN，如圖7所示）.該模型常被稱為對(duì)角互補(bǔ)模型，作垂線的思路來源于角平分線的性質(zhì)，并且一箭雙雕，不僅邊相等，還得到了兩個(gè)直角.例題中，四邊形ADPE是對(duì)角互補(bǔ)的四邊形，而AP恰好是角BAC的角平分線，于是考慮作雙垂線.但不同的題目要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用.

方法三?四邊形ADPE對(duì)角互補(bǔ)，易證∠ADP=∠PEC，考慮等腰直角三角形的對(duì)稱性，取點(diǎn)D關(guān)于AP的對(duì)稱點(diǎn)D′，則PD=PD′，用對(duì)稱法將PD′作為橋梁，再通過證明△PD′E是等腰三角形即可完成證明，對(duì)稱法也是對(duì)角互補(bǔ)模型常見的思路.

方法四?如圖9所示，延長(zhǎng)DP至F使得DP=PF，連接FC，EF，易證△DPB≌△FPC，CF∥AB，∠FCA=90°，E，C，F(xiàn)，P四點(diǎn)共圓，∠EFP=∠ACB=45°，即△EPF是等腰直角三角形，所以PE=PF=PD.

方法四常被稱為倍長(zhǎng)中線，如圖10所示，通常題目中已知中點(diǎn)時(shí)，考慮用倍長(zhǎng)中線法構(gòu)造三角形全等，從而通過邊之間的等量關(guān)系和位置關(guān)系為已知和求證有效地搭建橋梁，完成間接證明.

結(jié)束語

幾何的和諧之美在于渾然天成，幾何方法瀚如星海，有繁簡(jiǎn)，但無好壞之分，每種方法的背后必有根源，無論教幾何，還是學(xué)幾何，深度探究幾何輔助線的根源都是學(xué)習(xí)幾何的法寶.

【參考文獻(xiàn)】

[1]郭光福.平面幾何輔助線的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016（18）：41-42.